"Особенные" числа

[wpoms.]

Для каждого натурального числа, имеющего каноническое разложение на множители `n = p_1^{a_1} * p_2^{a_2} * \ldots * p_k^{a_k}`, определим `t(n) = (p_1 + 1)*(p_2 + 1)*ldots*(p_k + 1)`. Например, `t(20) = t(2^2 * 5^1) = (2 + 1)(5 + 1) = 18`, `t(30) = t(2^1 * 3^1 * 5^1) = (2 + 1)(3 + 1)(5 + 1) = 72` и `t(125) = t(5^3) = (5 + 1) = 6`. Назовем натуральное число `n` особенным, если `t(n)` является делителем `n`. Сколько среди положительных делителей числа `546^10` особенных чисел?

@темы: Теория чисел

Comments

[All_ex]

`546 = 2*3*7*13`, следовательно, положительные делители числа `546^10` имеют вид `n = 2^k*3^m*7^s*13^u`, где `k, m, s, u in {0; 1; ... ; 10}`...
Таким образом, для любого делителя `t(n)` может содержать только множители `(2+1) = 3`, `(3+1) = 2^2`, `(7 + 1) = 8 = 2^3` или `(13+1) = 14 = 2*7...

комментарий в исправлении...

~ghost,

[All_ex]

Если число `n` особенное, то наличие у него делителей 3, 7, 13 требует наличие определённой степени 2, которая в свою очередь влечёт наличие 3... наличие делителя 13 требует наличия 7...
Таким образом, особенное число `n` может иметь вид:
1) `n = 2^k*3^m , \ \ k >= 2, \ m >=1` - 90 вариантов...
2) `n = 2^k*3^m*7^s , \ \ k >= 5, \ m >=1, \ s >= 1` - 600 вариантов...
3) `n = 2^k*3^m*7^s*13^u , \ \ k >= 6, \ m >=1, \ s >=1, \ u >= 1` - 5000 вариантов...
ИТОГО: 5690 особых чисел...

~ghost, ещё раз ...

[~ghost]

Аll_ex, спасибо) хотя я же как раз ничего и не сделала.. =))

[All_ex]

~ghost, Аll_ex, спасибо) хотя я же как раз ничего и не сделала.. =)) - Как не сделали... пинка мне дали... ... и поделом...

[~ghost]

оу.. All_ex, что ж Вы такое пишете ?..)
и вообще, ведь Вы же решили!..

[All_ex]

~ghost, и вообще, ведь Вы же решили!... - Так Вы остановили ошибочное решение...