Число жителей

[wpoms.]

На некотором острове насчитывается 50 клубов. Каждый житель острова является членом одного или двух клубов. Каждый клуб имеет не более 55 членов, и для любых двух клубов есть житель острова, который является состоит в каждом из этих двух клубов. Сколько людей может жить на острове? Укажите все возможные варианты.

@темы: Комбинаторика, Теория чисел

Comments

[Груша Вильямс]

Пусть будет 49 клубов. Если выбрать 2 клуба, то найдется житель который состоит и там и там. Выбрать 2 клуба из 49 можно `n=(49*48)/2=1176` способами. То есть на острове должно быть не менее `1176` жителей. Например в каждом клубе разместим `1176/49=24` человека.

Если будет 50 клубов, то на острове должно быть не менее `1176+49=1225` жителей, то есть мы в 49 клубов добавили по одному человеку. Таким образом у нас имеется 49 клубов с 25 членами и 1 клуб с 24 членами, меньше 24 членов клуб не может содержать.
Думаю так можно начать, дальше вроде просто.

[Груша Вильямс]

Ой, 49 клубов с 25 членами и один пустой, но так как пустой быть не может, то туда перекинем кого-нибудь, не суть. Ясно, что все эти клубы можно максимально заполнить, `n=55*50=2750`.
Ответ: `n in[1225;2750].

p.s. вроде верно

[All_ex]

Ну, минимум вроде, 25 жителей... а в каждом клубе по одному члену...

А максимум у меня получается `54*50 + 25 = 2725`... то есть 54 индивидуальных члена в каждом клубе... и 25 человек с двойным членством для выполнения условия - и для любых двух клубов есть житель острова, который является состоит в каждом из этих двух клубов...

[Груша Вильямс]

All_ex, если 25 жителей, то каждый из них состоит в двух клубах. Пусть некий житель состоит в первом и втором клубе, тогда если взять первый и третий клуб, то не найдется общего жителя, так как если найдется, то в первом клубе будет два жителя, а у нас в каждом клубе по одному члену. Таким образом не будет жителя острова, который состоит в первом и третьем клубе.

[All_ex]

Груша Вильямс, Мдя... что-то не так прочитал...