суббота, 14 июля 2012
06:32

все записи пользователя в сообществе mpl


Niels Henrik Abel Mathematics Contest

abelkonkurransen.no

Соревнование имени Нильса Хенрика Абеля проводится для школьников старшей школы.

В настоящее время соревнование состоит из двух отборочных и финального раундов. В первом раунде участникам предлагают решить за 100 минут 20 задач с выбором одного из пяти ответов. Правильный ответ оценивается пятью баллами, один балл дают, если ответ не был указан, и за неверный ответ не начисляют ни одного балла.

Лучшие (10%) получают право на участие во втором раунде. В нем предлагают решить за 100 минут 10 задач, ответом на каждую из которых является неотрицательное целое число (0-999). За каждый верный ответ участник получает 10 баллов.

Результаты первых двух раундов суммируются и 20 (или немногим более) участников приглашаются принять участие в финальном раунде. В финале участникам предоставляют 4 часа для решения 4 задач.




В сообществе есть топики посвященные Н.Х. Абелю, о нем писали Felix_Holt (тут) и monsieur Rivarez (тут).

В комментариях приведены условия соревнований прошедшего учебного года.


@темы: Олимпиадные задачи

URL
Комментарии
14.07.2012 в 06:37

mpl
Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2011-2012
Første runde
3. november 2011
Ikke bla om før læreren sier fra!
Abelkonkurransens første runde består av 20 flervalgsoppgaver som skal løses i løpet av 100 minutter. Bare ett av de fem svaralternativene er riktig. Svarene skrives i skjemaet nede til venstre.
Du får 5 poeng for riktig svar, 1 poeng for blankt svar og 0 poeng for galt svar. Det gir en poengsum mellom 0 og 100. Blank besvarelse gir 20 poeng.
Ingen andre hjelpemidler enn kladdepapir og skriveredskaper er tillatt.
Når læreren sier fra, kan du bla om og begynne på oppgavene.

Oppgave 1
Hvor mange heltall fra og med 1 til og med 100 er slik at hvis man deler dem med 3 får man et heltall, men hvis man deler dem med 2 får man ikke et heltall?
Сколько целых чисел от 1 до 100, включительно, при делении на 3 дают целое, а при делении на два - нецелое число?
A 16 B 17 C 33 D 34 E 50

Oppgave 2
Det sitter 15 barn rundt et bord - både jenter og gutter. Hver jente sitter mellom en jente og en gutt, mens hver gutt sitter mellom enten to gutter eller to jenter. Hvor mange gutter sitter ved bordet?
Вокруг стола сидят 15 детей, девочек и мальчиков. Каждая девочка сидит между девочкой и мальчиком, мальчики сидят или между двумя мальчиками или между двумя девочками. Сколько парней сидит за столом?
A 5 B 6 C 7 D 8 E 9

Oppgave 3
`ABCD` er et kvadrat, og `ABE` er en likesidet trekant slik at `E` ligger inne i `ABCD`. Hvor stor er vinkelen `CDE`?
Дан квадрат `ABCD`, `ABE` - равносторонний треугольник, точка `E` лежит внутри квадрата`ABCD`. Найдите величину угла `CDE`.
A 10° B 12° C 15° D 18° E 20°

Oppgave 4
I salgsavdelingen i en bedrift er det en leder og mange selgere. Hver dag i løpet av en arbeidsuke - mandag til fredag - skriver hver av selgerne en rapport enten til lederen eller til en av de andre selgerne. En uke fikk halvparten av selgerne to rapporter hver, den andre halvparten fikk kun én rapport hver, mens lederen fikk 420 rapporter. Hvor mange selgere er det i avdelingen?
В отделе продаж компании работают начальник отдела и менеджеры по продажам. Ежедневно, с понедельника по пятницу, каждый менеджер пишет отчет о своей работе, который получает начальник отдела или другой менеджер. За прошедшую неделю половина менеджеров отдела получила по два отчета, вторая половина получила по одному отчету и начальник отдела получил 420 отчетов. Сколько менеджеров работает в отделе?
A 100 B 105 C 120 D 125 E 140

Oppgave 5
Ida og Kari går begge i klasse 1A. Denne klassen består av 20 elever. Ida har 13 venner i klassen, og Kari har 14 venner i klassen. Hva er det minste mulige antall venner de kan ha til felles i klassen?
Ида и Кари учатся в 1A классе. Всего в классе 20 учеников. У Иды в классе 13 друзей, у Кари их 14 . Чему может быть равно наименьшее количество общих друзей Иды и Кари?
A 5 B 7 C 8 D 9 E 11

Oppgave 6
Nils har fått i oppgave å velge ut noen av tallene fra og med 1 til og med 200, slik at summen av hvilke som helst to av dem er delelig med 12. Hvor mange tall kan han maksimalt velge?
Нильсу было предложено выбрать некоторые из чисел от 1 до 200, таким образом, чтобы сумма любых двух из них делилась на 12. Какое наибольшее количество чисел может выбрать Нильс?
A `16` B `17` C `18` D `33` E `34`

Oppgave 7
Sentrene i de tre sirklene i figuren ligger på en rett linje. Den mellomstore sirkelen har dobbelt så stort areal som den minste. Hvor stort er forholdet mellom arealet av den største og den minste sirkelen?
Центры трех кругов, изображенных на рисунке, лежат на одной прямой. Площадь среднего по размеру круга в два раза больше площади самого маленького круга. Найдите отношение площадей самого большого и самого маленького кругов.

A `4` B `5` C `2 + 2sqrt(2)` D `3 + 2sqrt(3)` E `3 + 2sqrt(2)`

Oppgave 8
Et firesifret tall `a` skrevet baklengs gir tallet `b`. Summen av `a` og `b` er 6985. Hva er summen av sifrene i `a`?
Записав в обратном порядке цифры четырехзначного числа `a` получаем число `b`. Сумма чисел `a` и `b` равна 6985. Чему равна сумма цифр числа `a`?
A `14` B `17` C `21` D `23` E `26`

Oppgave 9
Anne, Berit og Cecilie skal dele `2011` klinkekuler mellom seg slik at Cecilie får dobbelt så mange klinkekuler som Anne, mens Berit får flere enn Anne, men færre enn Cecilie. På hvor mange måter kan de få til dette?
Anne, Berit и Cecilie делят `2011` шариков так, чтобы Cecilie получила шариков в два раза больше, чем Anne, и чтобы Berit получила больше, чем Anne, но меньше, чем Cecilie. Сколькими способами они могут сделать это?
A `96` eller færre B `97` C `98` D `99` E `100` eller flere
A `96` или меньше B `97` C `98` D `99` E `100` или больше

Oppgave 10
Hva er de to siste sifrene i `2011^2012`?
Найдите две последние цифры числа `2011^2012`.
A `11` B `21` C `41` D `51` E `01`
URL
14.07.2012 в 06:39

mpl
Oppgave 11
La `x = 0,126126bar{126}`, der streken betyr at sifrene `126` gjentas i det uendelige. I alle svaralternativene nedenfor må `p` og `q` være positive heltall. Da gjelder
A `x` kan skrives på formen `p//q` med `q le 100`
B `x` kan skrives på formen `p//q` med `q le 300`, men ikke med `q le 100`
C `x` kan skrives på formen `p//q` med `q le 1000`, men ikke med `q le 300`
D `x` kan skrives på formen `p//q`, men ikke med `q le 1000`
E `x` kan ikke skrives på formen `p//q`
Пусть `x = 0,126126bar{126}`, где черта означает, что цифры `126` повторяются бесконечно. В вариантах ответов `p` и `q`обозначают целые положительные числа. Верно ли, что
A `x` можно представить в виде `p//q` с `q le 100`
B `x` можно представить в виде `p//q` с `q le 300`, но не с `q le 100`
C `x` можно представить в виде `p//q` с `q le 1000`, но не с`q le 300`
D `x` можно представить в виде `p//q`, но не с `q le 1000`
E `x` нельзя представить в виде `p//q`

Oppgave 12
I figuren er alle de markerte vinklene like store. Hvor store er disse vinklene, avrundet til nærmeste hele antall grader?
На рисунке все выделенные углы равны. Чему равна величина этих углов? Ответ округлите до ближайшего целого числа градусов.

A 22° B 23° C 24° D 25° E 26°

Oppgave 13
Hvor mange trekanter er det totalt i figuren?
Найдите количество треугольников на рисунке.

A `44` B `50` C `60` D `72` E `120`

Oppgave 14
Hvilket av tallene er størst?
Какое из чисел является наибольшим?
A `(pi+3)/2` B `(pi+6)/3` C `sqrt(3pi)` D `2/(1//pi + 1//3)` E `sqrt((pi^2+9)/2)`

Oppgave 15
Hva blir resten dersom en deler `1007^4 - 1005^4` på `2011`?
Чему равен остаток от деления `1007^4 - 1005^4` на `2011`?
A `2` B `5` C `11` D `21` E `1006`

Oppgave 16
Tre reelle tall a, b og c velges slik at `a//b`, `b//c` og `c//a` alle er heltall. Hvor mange forskjellige ordnede talltripler `(a//b, b//c, c//a)` kan du lage på denne måten? (Her regnes for eksempel `(1, 1, 2)`, `(1, 2, 1)` og `(1, 2, 2)` som tre forskjellige talltripler.)
Три действительных числа `a`, `b` и `c` выбраны так, что `a//b`, `b//c` и `c//a` - целые числа. Сколько различных троек вида `(a//b, b//c, c//a)` можно образовать? (Тройки `(1, 1, 2)`, `(1, 2, 1)` и `(1, 2, 2)` рассматриваются как различные.)
A `1` B `2` C `4` D `6` E `8`

Oppgave 17
Den lille prinsen bor på en kulerund planet med radius 2/pi km. En dag går han en tur. Han begynner ved huset sitt og går 1 km rett frem. Deretter vender han 90° mot høyre og går ytterligere 3 km rett frem. Herfra går han korteste vei hjem til huset sitt. Hvor langt går den lille prinsen totalt på denne turen?
Маленький принц живет на планете имеющей форму сферы радиуса `2//pi` км. Однажды, прекрасным солнечным днем, он решил совершить небольшую прогулку. Выйдя из своего дома он сначала прошел в одном направлении 1 км. После этого он повернул на 90° и прошел в одном направлении еще 3 км. После этого он пошел по кратчайшему направлению домой. Чему равно общее расстояние пройденное принцем?
A `4` km B `(4 + sqrt(2))` km C `(4 + sqrt(10))` km D `5` km E Ingen av disse

Oppgave 18
La oss si at et ord er godt om det ikke inneholder bokstavkombinasjonen BB. Hvor mange gode ord på åtte bokstaver kan man lage av bokstavene A og B?
Назовем слово хорошим, если оно не содержит двух стоящих подряд букв B. Сколько восьмибуквенных слов можно создать из букв A и B?
A `34` B `49` C `55` D `89` E `120`

Oppgave 19
Den likesidede trekanten i figuren har sidelengde 2. Sirkelen i figuren går gjennom et hjørne og tangerer motstående sidekant på midten. Hva blir arealet av området innenfor trekanten, men utenfor sirkelen?
Длина стороны равностороннего треугольника на рисунке равна 2. Окружность проходит через вершину треугольника и касается его противоположной стороны. Чему равна площадь той части треугольника, которая находится вне круга?

A `5/8 sqrt(3) - pi/4` B `5/8 sqrt(3) - pi/3` C `3/4 sqrt(3) - pi/3` D `sqrt(3) - pi/2` E `3/4 sqrt(3) - (sqrt(3)pi)/8`

Oppgave 20
Hvor mange nuller er det på slutten av `1^1 * 2^2 * 3^3 dots 98^98 * 99^99`?
На сколько нулей оканчивается `1^1 * 2^2 * 3^3 dots 98^98 * 99^99`?
A `450` B `500` C `600` D `950` E `1100`

Løsningene legges ut 4. november kl. 17.00 på
abelkonkurransen.no
URL
14.07.2012 в 06:43

mpl
Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2011-2012
Andre runde 19. januar 2012

Ikke bla om før læreren sier fra!
Abelkonkurransens andre runde består av 10 oppgaver som skal løses i løpet av 100 minutter. Svarene er heltall fra og med 0 til og med 999. Skriv svarene nede til venstre på skjemaet.
Du får 10 poeng for riktig svar og 0 poeng for galt eller blankt svar. Det gir en poengsum mellom 0 og 100.
Ingen andre hjelpemidler enn kladdepapir og skriveredskaper er tillatt. Når læreren sier fra, kan du bla om og begynne på oppgavene.

Oppgave 1
Kari har ti forskjellige bamser, og har bestemt seg for å ta med tre eller flere av dem på ferie. På hvor mange måter kan hun gjøre dette?
У Кари есть 10 плюшевых мишек и она хочет взять трех из них с собой. Сколькими способами она может выбрать мишек?

Oppgave 2
Tallene `a_1, a_2, a_3, dots` er slik at `a_1 = 2012`, og for `n > 1` er `a_n = 1/2 a_{n-1}` dersom `a_{n-1}` er et partall, og `a_n = a_{n-1} - 1` dersom `a_{n-1}` er et oddetall. For hvilken `n` er `a_n = 1`?
Числа `a_1, a_2, a_3, dots` удовлетворяют условиям: `a_1 = 2012`, для `n > 1` `a_n = 1/2 a_{n-1}`, если `a_{n-1}` - четное, и `a_n = a_{n-1} - 1`, если `a_{n-1}` - нечетное число. Для каких `n` `a_n = 1`?

Oppgave 3
Et tall er slik at hvis du deler det på 2010, får du 1000 i rest. Hvis du deler det på 2012, får du 100 i rest. Hva er resten hvis du deler tallet på 12?
При делении некоторого числа на 2010 получили остаток равный 1000, при делении этого же числа на 2012 получили остаток равный 100. Чему равен остаток от деления этого числа на 12?

Oppgave 4
Et punkt `P` inne i kvadratet `ABCD` ligger slik at `AP = sqrt(39)` og `BP = DP = 10sqrt(5)`. Bestem lengden `CP`.
Точка `P` принадлежит квадрату `ABCD`, `AP = sqrt(39)`, `BP = DP = 10sqrt(5)`. Найдите длину `CP`.

Oppgave 5
Hvor mange heltall `m`, der `2 <= m <= 10000`, er slik at `m^3 + m^2 - m - 1` er et kvadrattall?
Найдите количество целых чисел `m`, `2 <= m <= 10000`, таких, что `m^3 + m^2 - m - 1` является полным квадратом.

Oppgave 6
I femkanten `ABCDE` er de fire sidene `AB`, `BC`, `CD` og `DE` like lange, mens `/_AEC = 80^@` og `/_BAC = /_DEC = 40^@`. Finn `/_CAD` uttrykt i grader.
В пятиугольнике `ABCDE` длины сторон `AB`, `BC`, `CD` и `DE` равны, `/_AEC = 80^@` и `/_BAC = /_DEC = 40^@`. Найдите градусную меру `/_CAD`.

Oppgave 7
Fem venner skal gi hverandre gaver. De har laget en gave hver, som de skal gi bort til en av de andre. På hvor mange måter kan de fordele gavene slik at alle får en gave, og ingen får gaven de selv har lagd?
Пять друзья дарят друг другу подарки. Они делают подарки своими руками. Сколькими способами они могут подарить подарки, если каждый получает подарок, и никто не получает тот подарок, который он сделал сам?

Oppgave 8
Regn ut
Вычислите
`((2^2 + 4^2 + dots + 2010^2 + 2012^2)^2 - (1^2 + 3^2 + dots + 2009^2 + 2011^2)^2)/ (3018 * (1^2 + 2^2 + 3^2 + dots + 2011^2 + 2012^2))`

Oppgave 9
Trekanten `ABC` har areal lik `450`. Punktene `D` på siden `AB` og `E` på siden `CB` er slik at `AB = 3 * AD` og `CB = 3 * CE`. `F` er skjæringspunktet mellom linjestykkene `AE` og `CD`. Hva er arealet til trekanten `AFD`?
Площадь треугольника `ABC` равна `450`. Точка `D` лежит на `AB` и точка `E` лежит на `CB`, при этом `AB = 3 * AD` и `CB = 3 * CE`. `F` - точка пересечения отрезков `AE` и `CD`. Чему равна площадь треугольника `AFD`?

Oppgave 10
En liste med tall er skrevet på tavlen:
На доске записана последовательность чисел:

Hver gang noen går forbi tavlen, stryker hun ut de to tallene `a` og `b` som står først i listen, og føyer til `(ab)/(a + b)` bakerst. Til slutt står det igjen bare ett tall `x`. Hva er `1/x`?
За одну операцию стирают два числа `a` и `b`, стоящие в начале списка, и дописывают в его конец число `(ab)/(a + b)`. В конце концов на доске остается одно число `x`. Чему равно `1/x`?

Løsningene legges ut 20. januar kl. 17.00 på
abelkonkurransen.no
URL
14.07.2012 в 06:45

VEk
Белый и пушистый (иногда)
Спасибо!
URL
14.07.2012 в 15:43

вейко
что толку горевать?
Oppgave 1

3-9-15-21-27-33-39-45-51-57-63-69-75-81-87-93-99
3+16*6=99
итого 17
Oppgave 2
5(5 групп по 2 девочки и между ними 5 парней)

Oppgave 3
15 градусов
URL
14.07.2012 в 16:07

вейко
что толку горевать?
Oppgave 4
5х=420+х+0,5х
3,5х=420
ответ 120 (кенгуру напоминает конкурс)
Oppgave 5
ответ 9
Oppgave 6
ответ 33
Oppgave 7
`3 + 2sqrt(3)`
Oppgave 8
ответ 23
URL
14.07.2012 в 16:35

вейко
что толку горевать?
Oppgave 9
ответ 99
URL
14.07.2012 в 22:48

вейко
что толку горевать?
Oppgave 13
ответ 60
URL
14.07.2012 в 23:34

вейко
что толку горевать?
Oppgave 18

а вот у меня 52 получилось
проверьте кто нить
URL
15.07.2012 в 12:48

вейко
что толку горевать?
гм
так в ответах на 5ю задачу я считал что
они межу собой не могут дружить а если дружат то ответ 7

блин и 7 но это прото ответ не внимательно записал (1+2^0.5)^2=
`3 + 2sqrt(2)`конечно

ох и в 6 поторопился щас подумаем
6,18,30...198 ответ 17
URL
15.07.2012 в 13:10

вейко
что толку горевать?
и 9ая ошибка
опять неакуратно написал решение корректно
ответ 100
хех
URL
15.07.2012 в 16:24

mpl
Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2011-2012
Finale 8. mars 2012

Abelkonkurransens finale består av fire oppgaver (åtte punkter) som skal løses i løpet av fire timer. Svarene skal begrunnes og føres på egne ark. Begynn på nytt ark for hver oppgave.
Du får opptil 10 poeng på hver oppgave. Maksimal poengsum er dermed 40.
Ingen andre hjelpemidler enn kladdepapir, skriveredskaper og tospråklige ordbøker er tillatt.

Oppgave 1
a. Berit har `11` tjuekroner, `14` tikroner og `12` femkroner. En veksleautomat kan veksle tre tikroner til én tjuekrone og to femkroner, og omvendt. Den kan også veksle to tjuekroner til tre tikroner og to femkroner, og omvendt.
(i) Kan Berit få likt antall tjuekroner og tikroner, men ingen femkroner?
(ii) Kan hun få likt antall tjuekroner, tikroner og femkroner?
b. Hvert heltall er malt hvitt eller svart, slik at hvis m er hvitt så er `m + 20` også hvitt, og hvis `k` er svart så er `k + 35` også svart. For hvilke `n` kan eksakt `n` av tallene `1, 2, dots, 50` være hvite?
a. У Berit есть `11` монет по двадцать крон, `14` монет по десять крон и `12` монет по пять крон. Автомат может обменять три монеты по десять крон на монету в двадцать крон и две монеты по пять крон, и наоборот. Еще он может обменять две монеты по двадцать крон на три монеты по десять крон и две монеты по пять крон, и наоборот.
(i) Может Berit избавиться от монет по пять крон и получить равное количество монет по двадцать и десять крон?
(ii) Может она получить равное количество монет по двадцать, десять, пять крон?
b. Все целые числа раскрашены либо в черный, либо в белый цвет. Если число `m` - белое, то и число `m+20` - белое, если число `k` - черное, то и число `k+35` - черное. Для каких `n` точно `n` чисел из `1, 2, dots, 50` являются белыми?

Oppgave 2
a. To sirkler `S_1` og `S_2` ligger slik at de ikke overlapper hverandre, hverken helt eller delvis. De har sentre i henholdsvis `O_1` og `O_2`. Videre er `L_1` og `M_1` forskjellige punkt på `S_1` slik at `O_2L_1` og `O_2M_1` tangerer `S_1`, og på samme måte er `L_2` og `M_2` forskjellige punkt på `S_2` slik at `O_1L_2` og `O_1M_2` tangerer `S_2`. Vis at det finnes nøyaktig én sirkel som tangerer de fire linjestykkene `O_2L_1`, `O_2M_1`, `O_1L_2` og `O_1M_2`.
b. Fire sirkler `S_1`, `S_2`, `S_3` og `S_4` er plassert slik at ingen av dem overlapper hverandre, hverken helt eller delvis. De har sentre i henholdsvis `O_1`, `O_2`, `O_3` og `O_4`. For hvert par (`S_i`,`S_j`) av sirkler, med `1 <= i < j <= 4`, betrakter vi sirkelen `S_{ij}` som i del a. Sirkelen `S_{ij}` har radius `R{ij}`. Vis at
`1/{R_12} + 1/{R_23} + 1/{R_34} + 1/{R_14} =2 ( 1/{R_13} + 1/{R_24})`.

a. Даны две непересекающиеся окружности `S_1` и `S_2` с центрами `O_1` и `O_2`, соответственно. `L_1` и `M_1` различные точки окружности `S_1`, такие, что `O_2L_1` и `O_2M_1` - касательные к `S_1`, аналогично, `L_2` и `M_2` - различные точки окружности `S_2`, такие, что `O_1L_2` и `O_1M_2` - касательные к `S_2`. Покажите, что существует точно один круг, касающийся отрезков`O_2L_1`, `O_2M_1`, `O_1L_2` og `O_1M_2`.
b. Даны четыре непересекающиеся окружности `S_1`, `S_2`, `S_3` и `S_4` с центрами `O_1`, `O_2`, `O_3` и `O_4`, соответственно. Для каждой пары кругов (`S_i`,`S_j`), где `1 <= i < j <= 4`, рассмотрим окружность `S_{ij}` аналогичную рассмотренной в пункте a. Пусть радиус этой окружности `S_{ij}` равен `R_{ij}`. Докажите, что
`1/{R_12} + 1/{R_23} + 1/{R_34} + 1/{R_14} =2 ( 1/{R_13} + 1/{R_24})`.


Oppgave 3
a. Finn de tre siste sifrene i produktet `1 * 3 * 5 * 7 * dots * 2009 * 2011`.
Найдите три последние цифры произведения `1 * 3 * 5 * 7 * dots * 2009 * 2011`.
b. Hvilke positive heltall `m` er slik at `k^m - 1` er delelig med `2^m` for alle oddetall `k >= 3`?
Для каких положительных целых чисел `m` верно, что `k^m - 1` делится на `2^m` для всех нечетных чисел `k >= 3`?

Oppgave 4
a. To positive tall `x` og `y` er gitt. Vis at
Даны два положительных числа `x` и `y`. Докажите, что
`(1+x/y)^3+(1+y/x)^3 >= 16`.

b. Positive tall `b_1`, `b_2`, ..., `b_n` er gitt slik at
Даны положительные числа `b_1, b_2, dots, b_n`такие, что
`b_1 + b_2 + dots + b_n <= 10`.

Videre er `a_1 = b_1` og `a_m = s*a_{m-1} + b_m` for `m > 1`, der `0 <= s < 1`. Vis at
Кроме того, `a_1 = b_1` и `a_m = s*a_{m-1} + b_m` для `m > 1`, где `0 <= s < 1`. Докажите, что
`a_1^2 + a_2^2 + dots + a_n^2 <= 100/(1 - s^2).

URL
10.07.2020 в 23:52

wpoms.
Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
2016/17, final

1. a. Найдите все функции `f : RR \to RR` такие, что `f(x)*f(y) = f(x*y) + x*y` для всех `x, y \in RR`.
b. Найдите все функции `f : RR \to RR` такие, что `f(x)*f(y) = f(x + y) + x*y` для всех `x, y \in RR`.
обсуждение

2. О последовательности $a_n$ известно, что $a_0 = 2,$ $a_1 = 15,$ и $a_{n+2} = 15a_{n+1} + 16a_n$ для $n \geq 0.$ Докажите, что существует бесконечно много целых чисел $k$ таких, что $269\ |\ a_k.$
обсуждение

3. a. Номер телефона Нильса состоит из 8 различных цифр. Он написал на 28 карточках предложения вида “Цифра $a$ стоит раньше цифры $b$ в моем телефонном номере” --- по одному для каждой пары цифр в его телефонном номере.
Сколько карт может показать вам Нильс так, чтобы не раскрыть свой номер?

b. На бесконечной сетке из правильных треугольников Нильс и Генрих играют в придуманную ими игру. Каждый раз, после того как Нильс выберет треугольник и нарисует $\times$ в нем, Генрих выбирает треугольник и рисует в нем $\circ.$ Если игрок получает четыре в ряд в некотором направлении, то он выигрывает игру.

Определите, может ли один из игроков обеспечить себе победу, или оба игрока могут помешать выиграть сопернику.
обсуждение

4. Даны $a > 0$ и $0 < \alpha < \pi.$ В треугольнике $ABC$ длина $BC = a$ и $\angle BAC = \alpha,$ центр описанной окружности $O,$ ортоцентр $H.$ Точка $P$ лежит на луче из $A,$ проходящем через $O.$ Точка $S$ симметрична $P$ относительно $AC,$ точка $T$ симметрична $P$ относительно $AB.$ Пусть $SATH$ --- описанный четырёхугольник.
Покажите, что длина $AP$ зависит только от $a$ и $\alpha.$
обсуждение
URL