Математическая олимпиада Чехии и Словакии www.math.muni.cz/~rvmo/ skmo.sk Олимпиада проводится с 1952 (в то время она называлась Чехословацкая математическая олимпиада). Соревнование проводится в нескольких возрастных категориях A, B и C (они соответствую 11, 10 и 9 классам). Соревнования категории A состоят из трех раундов: школьный раунд (I), районный (II), финальный раунд (III). В категориях B и C соревнования состоят только из раундов I и II. читать дальше В комментариях приводятся задания 61 олимпиады для категории A. |  |
среда, 13 июня 2012
Комментарии
-
-
13.06.2012 в 06:20domácí/domáce kolo
A-I-1
Пусть n - сумма всех чисел, в десятичной записи которых использованы все цифры от 0 до 9. Найдите остаток от деления n на семьдесят семь.
A-I-2
На встрече было несколько людей. Любые двое, незнакомые друг с другом, имею двух общих знакомых. A и B были знакомы друг с другом и не имели общих знакомых. Докажите, что у A и B равное количество знакомых на этой встрече. Докажите, что на встрече было ровно шесть людей.
A-I-3
Обозначим S - центр вписанной окружности, T - центр тяжести и V - точка пресечения высот равнобедренного, но не равностороннего треугольника.
а) Докажите, что точка S принадлежит отрезку TV
б) Найдите отношение сторон треугольника, если точка S является серединой TV.
A-I-4
Пусть p, q - простые числа, m, n - натуральные числа и (mp-1)/q + (nq-1)/p - целое число. Докажите, что неравенство m/q + n/p > 1 верно.
A-I-5
Даны окружности k_1 и k_2, радиус каждой из них равен расстоянию между их центрами. A, B - точки пересечения окружностей. На окружности k_2 выбрана точка C так, что отрезок BC пересекает окружность k_1 в точке L, отличной от точки B. Прямая AC пересекает окружность k_1 в точке K, отличной от точки A. Докажите, что прямая, проходящая через медиану, проведенную через вершину C треугольника KLC проходит через одну и ту же точку, вне зависимости от положения вершины C.
A-I-6
Найдите наибольшее действительное число k такое, что неравенство (2(a^2+kab+b^2))/((k+2)(a+b)) >= sqrt(ab) выполняется для любых положительных a, b.
-
-
13.06.2012 в 06:21školní/školské kolo
A-S-1
Решить в действительных числах
y + 3x = 4x^3,
x + 3y = 4y^3.
A-S-2
Дана трапеция ABCD с основаниями AB и CD, точка M - середина AC. Докажите, что если площади ABM и ACD равны, то DM || BC.
A-S-3
Найдите все натуральные числа n такие, что (2^n + 1)(3^n + 2) делится на 5^n.
-
-
13.06.2012 в 06:21krajské kolo
A-II-1
Обозначим за S_n сумму всех n-значных чисел, в десятичной записи которых используются цифры 1, 2, 3, каждая хоты бы по разу. Найдите все целые числа n≥3, для которых число Sn делится на семь.
A-II-2
Дано целое число a большее 1. Найдите арифметическую последовательность, с первым членом a и содержащую только два числа из a^2, a^3, a^4, a^5, такую, чтобы ее разность была наибольшей. (Не предполагается, что разность будет целым числом)
A-II-3
В окружность вписан шестиугольник ABCDEF, в котором AB ⊥ BD, |BC| = |EF|. Пусть прямые BC, EF пересекает луч AD последовательно в точках P, Q. Пусть S центр диагонали AD и K, L центры окружностей вписанных в треугольники BPS, ESQ. Докажите, что KLD - прямоугольный треугольник.
A-II-4
Пусть положительные действительные числа a, b, c, d удовлетворяют ab + cd = ac + bd = 4 и ad + bc = 5.
Найдите наименьшее значение суммы a + b + c + d и покажите, при каких значениях a, b, c, d она достигается.
-
-
13.06.2012 в 06:22ústřední/celoštátne kolo
A-III-1
Найдите все целые числа n, при которых n^4-3n^2+9 является простым числом.
A-III-2
Выясните, чему равна наибольшая площадь треугольника ABC, если его медианы удовлетворяют условию t_a <= 2, t_b <= 3, t_c <= 4.
A-III-3
Докажите, что между любыми двумя действительными числами можно найти 101 число u и v, для которых
100* |u-v|*|1-uv| <= (1+u^2)(1+v^2).
A-III-4
Через точку X, лежащую внутри параллелограмма ABCD, провести прямую, которая делит параллелограмм на части, разность площадей которых максимальна.
A-III-5
В группе из 90 детей у каждого есть по крайней мере 30 друзей (дружба взаимна). Докажите, что они могут быть разделены на три группы по 30 детей так, чтобы каждый ребенок в группе имел хотя бы одного друга.
A-III-6
Решить в действительных числах систему уравнений
x^4 + y^2 + 4 = 5yz;
y^4 + z^2 + 4 = 5zx;
z^4 + x^2 + 4 = 5xy.
-
-
13.06.2012 в 16:10-
-
31.10.2019 в 22:141. На столе лежат сто пронумерованных алмазов, среди них 50 настоящих и 50 фальшивых. Пригласили эксперта, который может отличить настоящий алмаз от фальшивого. Эксперту показывают три алмаза, он указывает на два из них и говорит, сколько среди выбранных алмазов настоящих --- два, один или ни одного. Определите, можно ли найти все настоящие алмазы вне зависимости от того, какие пары алмазов выбирает эксперт.
обсуждение
2. Найдите все пары действительных чисел $k, l$ такие, что неравенство $ka^2 + lb^2 > c^2$ выполняется для длин сторон $a, b, c$ произвольного треугольника.
обсуждение
3. Найдите все функции $f: R -> R такие, что для всех действительных чисел $x, y$ выполняется $f(y-xy) = f(x)y + (x-1)^2f(y).$
обсуждение
4. Каждой последовательности, состоящей из $n$ нулей и $n$ единиц, ставится в соответствие число сегментов максимальной длины, состоящих из идущих подряд одинаковых цифр. (Например, в последовательности 00111001 есть 4 таких сегмента 00, 111, 00, 1.) Для данного $n$ мы суммируем числа, поставленные в соответствие всем таким последовательностям. Докажите, что полученное значение равно $(n+1)С_{2n}^{n}.$
обсуждение
5. Дан остроугольный треугольник $ABC$, в котором точка $H$ принадлежит всем высотам. Биссектриса угла $BHC$ пересекает сторону $BC$ в точке $D.$ Точки $E$ и $F$ являются образами точки $D$ при осевой симметрии относительно прямых $AB$ и $AC.$ Докажите, что описанная окружность треугольника $AEF$ проходит через центр $G$ дуги $BAC.$
обсуждение
6. Дано ненулевое целое число $k.$ Докажите, что равенству $k = (x^2 - xy + 2y^2)/(x + y)$ удовлетворяет нечётное количество упорядоченных пар целых чисел $(x, y),$ только когда $k$ делится на семь.
обсуждение