Дифуры

[ritmix10]

Всем всем привет=)

вот такие уравнения:
1.`x^2 * y''-3*x*y'+5*y=3*x^2`
2. `x^2 * y''-2*y=sin(lnx)`
3. `x^2 * y''-x*y'+y=ln(x)/x`

В первом
однородное решение получается в виде` y=exp^(2*x) * (c1*cosx+c2*sinx)`
делаю замену x=e^t и частное в таком виде искать `(At^2+Bt+C)*exp^t * t`?

@темы: Дифференциальные уравнения

Comments

[Гость]

У вас во втором не пропущен х около y'?

[ritmix10]

подправил

[ritmix10]

а во втором решение искать в виде `y=Aln(sinx)+Bln(cosx)`
в третьем `(Aln(x)+B)/x`
так да?

[_ТошА_]

2) сделайте замену t = ln(x) и пересчитайте (dy)/(dx) через (dy)/(dt)
3) аналогично

[ritmix10]

_ТошА_,
не понял...берем для второго например
`sin(lnx)->(x=e^t)->sint->Asint+Bcost->t=lnx->Asin(lnx)+Bcos(lnx)`

[_ТошА_]

при чём тут это.
был `y'_x`
Теперь `(dy)/(dx) = (dy)/(dt)*1/x`

[ritmix10]

_ТошА_, ммм... и куда это вставлять тогда?
просто в группе по другому делали..

[_ТошА_]

просто в группе по другому делали..
откуда я знаю, как делали в группе, я предлагаю способ, который мне пришёл в голову.

Как куда вставлять? Ясное дело куда.
`y'' = (d^2y)/(dt^2)*1/x^2 - (dy)/(dt)*1/x^2`
`y'' = 1/x^2((d^2y)/(dt^2) - (dy)/(dt))`
Тогда в задании 2) (производные тут по t)
`y'' - y' - 2y = sin(t)`
Ну а это элементарное уравнение.
`a^2 - a - 2 = 0`
`a = -1; a = 2`
`fi(t) = c_1*e^(-t) + c_2*e^(2t)`
`psi(t) = A*sin(t) + B*cos(t)`
итд. Потом переходите в найденном решении к х

[ritmix10]

_ТошА_, так блин ясен пень...я в сообщении от 21:46 сделал также...нашел у(частное)

[_ТошА_]

ну так а какие тогда вопросы? Найдите А и В

[ritmix10]

да вопрос ко всем: в таком ли виде искать в котором я привел?)

[_ТошА_]

Ну в таком конечно, т.к. 0 - не корень характеристического уравнения.

[ritmix10]

а в 1 и 3?

[_ТошА_]

какие там характеристические уравнения? мне лень считать

[~ghost]

Всем доброй ночи.
ritmix, для 3-его ур-ия - у Вас написано что-то верное в 21:25 (хотя с заменой `ln(x)=t` (`x=e^t`) это выглядит красивее);
для 1-ого у Вас написано что-то только в 19:45 - с той записью я бы не согласилась (по-моему, там не так).

[ritmix10]

для первого и третьего характеристические корни след:
1.`a1=2+i a2=2-i`
3. `a1,2=1`

[_ТошА_]

1) конечно не так всё. Т.е в частном решении всё напутано
3) тоже не так. То есть так прокатит, но это излишне

[ritmix10]

_ТошА_, в первом полином второй степени, значит искать нужно полином второй степени:
`(At^2+B*t+C)*e^2t`
а на t я умножил потому что есть реальная часть характеристического корня совпала со степенью полинома!

[_ТошА_]

После замены, у вас в правой части остаётся `e^(2t)`
Откуда там полином второй степени?
На t умножаете правильно, а полином остаётся той же степени, что и был, т.е. нулевой.
Итого будете искать в виде `A*t*e^(2t)`

[ritmix10]

точно...изначально был такой вариант...меня все `x^2` смущал...ага теперь понял, а с третьим?

[_ТошА_]

А в третьем правая часть вида `t*e^(-t)`
Раз корни уравнения равны 1, то тут вообще просто. Частное решение ищите в виде:
`(At + B)*e^(-t)`

[ritmix10]

_ТошА_, это записано в виде y(t), а если записать в виде y(x): то `(Alnx+B)/x` что и было в 21:25
только вот с первым проблемка
тоже записал в виде y(x)=`A*x^2 * lnx`
взял производные, подставил в исходное и получил что A=0...т.е. частного нет чтоли...? или ошибка?

[~ghost]

ritmix, на t я умножил потому что реальная часть характеристического корня совпала со степенью полинома
меня что-то пугает в этой записи...

[ritmix10]

~ghost, почему пугает?? все верно

[_ТошА_]

ritmix10,
потому что реальная часть характеристического корня совпала со степенью полинома
неверна сама запись. Там вещественная часть может совпадать не со степенью полинома, а с коэффициентом при х у экспоненты в показателе.
Только я и сам не заметил некой ошибки, у вас совпадение 2 раза, так что частное будет записываться немного по-другому. Проглядел, каюсь

[ritmix10]

_ТошА_, как? как в самом начале топика(в теме)или надо еще раз на t умножить?

[_ТошА_]

ещё на t

[ritmix10]

т.е. y(t)=`At^2 * e^(2t)`
а y(x)=`A*x^2 * (lnx)^2`

с третьим вопрос:
производные от частного решения ведь такие будут: `y'=(A-Alnx-B)/x^2 `
`y''=(-3Ax-2Alnx+2B)/x^3`

[_ТошА_]

~ghost, всё должно быть нормально, странно, что не доходят письма. Запись глянул, спасибо
ritmix10,
`y'' = (-Ax - 2x(A - Aln(x) - B))/x^4 = (-3A + 2Aln(x) + 2B)/x^3`

[ritmix10]

_ТошА_, ага увидел
а в первом:
`y' = 2Ax*(lnx)^2+2Ax*lnx`
`y''=2A(lnx)^2 + 6Alnx+2A`
?