Квадратный трёхчлен

[Новый гость]

`TZ`Можно ли квадратный трёхчлен x^2-24x-6=0 представить в виде суммы двух квадратных трёхчленов с нулевыми дискриминантами.[[/TZ]]
Подскажите, пожалуйста, в каком направлении идти и помогите закончить задачи eek.diary.ru/p135753344.htm

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[Alisa_Selezneva]

Если дискриминант квадратного трёхчлена `f(x)=kx^2+bx+c` равен нулю (`D=0`), то этот квадратный трёхчлен можно представить в виде `f(x)=k(x-a)^2`.

[_ТошА_]

Если D = 0, значит многочлен вида: (x +- a)^2
Вот и думайте, можно ли разбить.

[Alisa_Selezneva]

Запишите равенство: `x^2-24x-6=k_1(x-a)^2+k_2(x-b)^2`. Это равенство должно быть верно при любом `x in R`. Подставьте в него несколько конкретных значений `x`, тогда вы получите систему уравнений, из которой определите значения неизвестных `k_1, k_2, a, b`, при условии, если они существуют.

[_ТошА_]

Иначе нужно будет показать, что система решений не имеет *

[Новый гость]

Нужно будет решить систему из четырёх уравнений?

[_ТошА_]

да

[Alisa_Selezneva]

Новый гость
Нужно будет решить систему из четырёх уравнений?
Да.

[_ТошА_]

Или я думал несколько о другом решении
`(Ax + B)^2 + (Cx + D)^2 = (A^2 + C^2)x^2 + 2(AB + CD)x + B^2 + D^2`

Приравнивая соответствующие коэф. можно решить

[Новый гость]

Попробую что-нибудь сделать

[Alisa_Selezneva]

_ТошА_, можно и так! Но тогда получится система трёх уравнений с четырьмя неизвестными.

[_ТошА_]

Alisa_Selezneva это не мешает найти частное решение

[Alisa_Selezneva]

_ТошА_ Там получится переопределённая система (число неизвестных больше числа уравнений). Система может не иметь решения.
Получяется уже есть 2 способа решения. Пусть Новый гость попробует решить задачу любым из них.

[Alisa_Selezneva]

_ТошА_
Или я думал несколько о другом решении
`(Ax+B)^2+(Cx+D)^2=(A^2+C^2)x^2+2(AB+CD)x+B^2+D^2`

Приравнивая соответствующие коэф. можно решить

Я не согласна с таким представлением!

[Robot]

_ТошА_
Квадратный трехчлен может иметь дискриминант равный нулю, но не быть квадратом двучлена

[Новый гость]

А существуют ли какие-нибудь специальные методы решения систем четырёх уравнений с четырьмя неизвестными? Обычными способами (сложением, подстановкой) она не решается.

[_ТошА_]

Robot в смысле?
Новый гость выпишите сюда систему

[Robot]

ну,
`-x^2-4x-4=-(x+2)^2`
Alisa_Selezneva правильно писала

[Новый гость]

Сейчас выпишу, подождите.

[_ТошА_]

Robot да, логично

[Новый гость]

1. `x=0`
`-6=k_1a^2+k_2b^2`
2. `x=-1`
`19=k_1(1+2a+a^2)+k_2(1+2b+b^2)`
3. `x=1`
`-29=k_1(1-2a+a^2)+k_2(1-2b+b^2)`
4. `x=2`
`-50=k_1(4-4a+a^2)+k_2(4-4b+b^2)`

[Новый гость]

Так здесь всё-таки подстановкой решать?

[Alisa_Selezneva]

Предлагаю сделать следующее:
1) Рассмотрите равенство: `k_1(x-a)^2+k_2(x-b)^2=x^2-24x-6`.
2) Запишите многочлен, стоящий в левой части равенства в канонической форме: `Ax^2+Bx+C`.
3) Приравняйте соответствующие коэффициенты многочленов `x^2-24x-6` и `Ax^2+Bx+C`, тогда получите систему трёх уравнений с четырьмя переменными.
4) Найдите какое-нибудь решение системы, полученной в пункте 3). (чтобы найти такое решение, значение одной из переменных `a` или `b` положите равной нулю).
5) Подставьте найденные значения `k_1, k_2, a, b` в выражение `k_1(x-a)^2+k_2(x-b)^2`. Можете сделать проверку(`D_1=0, D_2=0`), но это не обязательно, там точно всё сойдётся.
В принципе систему из пункта 3) можно решить в общем виде, для этого нужно все неизвестные выразить только через `a` или только через `b`. Кстати, красивый ответ получится, если взять `b=2`. Таким образом, задача имеет бесконечное множество решений.

[Новый гость]

`k_1(x-a)^2+k_2(x-b)^2=k_1(x^2-2xa+a^2)+k_2(x^2-2xb+b^2)=(k_1+k_2)x^2-2(k_1a+k_2b)x+(k_1a^2+k_2b^2)`
Делаем вывод, что:
`k_1+k_2=1`;
`-2(k_1a+k_2b)=-24`, `k_1a+k_2b=12`;
`k_1a^2+k_2b^2=-6`.
Систему получил, а почему a или b должно быть равно 0?
Допустим, что а=0, тогда
`k_1+k_2=1`;
`k_2b=12`;
`k_2b^2=-6`.
Второе уравнение подставляем в третье, находим `b=-0,5`, и `k_2=-24`, и `k_1=25`
Подставляем в исходное:
`25x^2-24(x+0,5)^2=25x^2-24(x^2+x+0,25)=25x^2-24x^2-24x-24*0,25=x^2-24x-6`
Проверим дискриминанты:
`25x^2` `D_1=0`, `D_2=(-24)^2-4*(-24)*(-6)=0`
Задача решена? Ответ на вопрос задачи положительный?

[Alisa_Selezneva]

Новый гость
Да! У вас всё правильно!

[Alisa_Selezneva]

Новый гость
Систему получил, а почему a или b должно быть равно 0?
Дело в том, что система имеет бесконечное множество решений. Для решения задачи достаточно найти одно решение.

[Новый гость]

Спасибо за помощь. а можно было брать необязательно 0?

[Alisa_Selezneva]

Новый гость
Систему получил, а почему a или b должно быть равно 0?
Дело в том, что система имеет бесконечное множество решений. Для решения задачи достаточно найти одно решение.

[Alisa_Selezneva]

Новый гость
Нет, не обязательно нужно брать ноль!
Если хотите, то можно решить систему уравнений полностью (т.е. найти все её решения). Для этого выразите все переменные только через `a` (или только через `b`).
Тогда вы получите формулы выражающие все неизвестные только через `a` (или `b`). Подставляя в эти формулы конкретные значения переменной `a` ( или `b`) вы найдёте множество всех подходящих четвёрок `k_1, k_2, a, b`. Но в данной задаче это не требуется, поэтому можно ограничиться всего одним частным решением.

[Новый гость]

Ещё раз спасибо

[Alisa_Selezneva]

Новый гость
Пожалуйста!