Олимпиадные задачи

[Новый гость]

Здравствуйте, помогите, пожалуйста, разобрать задачи (2003), решений и ответов к которым меня нет:

11.1. `TZ`Среди точек плоскости, координаты которых (x;y) удовлетворяют условию `x^2+4y^2+4xy-5x-8y+7=0`, укажите точку с наименьшей абсциссой.[[/TZ]]
Представил уравнение как квадратное относительно у, нашёл дискриминант квадратного уравнения с чётным коэффициентом при у:
`D_1=(2x-4)^2-4*(x^2-5x+7)=4x^2-16x+16-4x^2+20x-28=4x-12`
`D_1>=0`
`4x-12>=0`
`x>=3`
`x_min=3`
Вроде бы всё правильно, в этом случае `y=-0,5`.
Ответ: (3;-0,5)
Нужно ли было решать квадратное уравнение относительно х?

11.2. `TZ`Решите систему трёх уравнений:
`{(√x+y=1),(y^3+z=5),(z^2+x=16.):}`[[/TZ]]
ОДЗ: y и z - любые числа, х - неотрицательное число.
Решить не получилось. Выражал из первого `√x`, а из второго z и подставлял в третье, но там получилось какое-то нехорошее уравнение с 6-й, 3-й, 2-й и 1-й степенями. Что нужно было сделать?

`TZ`11.3. Длины четырёх отрезков (числа a, b, c, d) удовлетворяют условию: `a^2+b^2+c^2+d^2=ab+bc+cd+da`. Верно ли, что объём куба, ребро которого равно одному из этих отрезков, равен объёму прямоугольного параллелепипеда, тремя рёбрами которого являются три других отрезка.[[/TZ]]
Решить не получилось. Даже не могу изобразить то, о чём говорится в задаче.

11.4. `TZ`Внутри равностороннего треугольника со стороной 8 находится равнобедренный треугольник АВС, в котором АС=АВ=1, угол С равен 120. Две вершины А и В могут лежать либо на одной стороне большого треугольника, либо на двух. Где при этом может оказаться вершина тупого угла - точка С? Нарисуйте это геометрическое место точек и найдите длину соответствующей линии.[[/TZ]]
Вообще не понимаю эту задачу. Единственное, на что способен мой разум здесь - найти `ВС=√3`. Помогите, пожалуйста.

11.5. `TZ`В треугольнике угол А равен 62. Точка М симметрична центру вписанной окружности относительно стороны ВС. Где лежит точка М - внутри круга, образованного описанной около треугольника АВС окружностью, или же вне этого круга?[[/TZ]]
Самый лучший из всех моих рисунков по этой задаче. В Paint сделать не получилось. Изображение довольно корявое, поэтому по нему нельзя судить о том, где находится точка М.
Подскажите, пожалуйста, как можно решить эти задачи.
Заранее спасибо.

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[_ТошА_]

1) Дискриминант неверно найден.

[_ТошА_]

2) `sqrt(x) = t >=0`
Попробуйте изобразить первое и третье уравнение, должно намекнуть

[_ТошА_]

3) Пусть ребро куба a;
`V_к = a^3`
`V_п = bcd`
Докажите, что из приведённого вами выражения => a^3 = bcd

[Гость]

5. Найдите угол `BO_1C`, затем докажите, что точка `O_1` расположена ближе к стороне `BC`, чем точка `O_2`.
4. В условии скорее всего ошибка, угол A должен быть тупым. Тогда задача становится простой.

[Новый гость]

_ТошА_ Почему дискриминант найден неверно?

[_ТошА_]

Новый гость да, верно. Я условие неверно записал

[Новый гость]

`4y^2+4xy-8y+x^2-5x+7=0`
`4y^2+2y(2x-4)+x^2-5x+7=0`
Общая формула дискриминанта для квадратного уравнения, у которого коэффициент при переменной в первой степени чётный: `D_1=k^2-ac`
`D_1=(2x-4)^2-4(x^2-5x+7)=4x^2-16x+16-4x^2+20x-28=4x-12`
Первая задача верно решена?
Что значит изобразить уравнения?

[Новый гость]

Попробуйте изобразить первое и третье уравнение, должно намекнуть
Каким образом это сделать - в системе xyz?

[_ТошА_]

В системе t, y, z

[Новый гость]

Ну и как-то пройдёт прямая у=1-т (не знаю, как её можно изобразить)

[Новый гость]

Мне кажется почему-то, что прямая не пересечёт окружность, верно?
Система не имеет решений!

[Новый гость]

Докажите, что из приведённого вами выражения => a^3 = bcd

Нужно выполнить преобразования? Ничего не получается...

[Новый гость]

Докажите, что из приведённого вами выражения => a^3 = bcd

Как же это сделать? Уже целый день мучаюсь.

[Гость]

Во первых не надо просить о решении этих задач в другом топике.
11.3 Домножьте данное равенство на 2, перенесите все в одну часть и посмотрите, что можно сделать.

[Новый гость]

Во первых не надо просить о решении этих задач в другом топике.

Виноват. Не буду
А получилось вот что:
`(a-b)^2+(b-c)^2+(a-d)^2+(c-d)^2=0`
Сумма квадратов равна нулю, когда каждый квадрат равен нулю. Из этого следует, что a=b=c=d. Равенство объёмов теперь очевидно.А что делать с остальными?

[Гость]

По задачам 4 и 5 вам советы были даны. используйте.

[Новый гость]

Уже сделал - исправил

[Новый гость]

А во второй что можно было сделать?

[Новый гость]

Угол `BO_1C` в пятой задаче найти невозможно, т.к. `O_1` - центр вписанной, а не описанной окружности

[Гость]

Вам уже советовали. Подставить `x` из первого уравнения в третье, слегка преобразовать полученное выражение и нарисовать графики получившегося и второго уравнения. Дальнейшее очевидно.

5/ Указанный угол находится элементарно учениками 8 класса.

[Новый гость]

Гость Я нарисовал график окружности, а как нарисовать прямую в пространстве? Когда пространство переносишь на плоскость, всё сливается и пересекается. Мне показалось, что они не пересекутся, поэтому система не будет иметь решения. Если бы это возможно было бы доказать аналитически, то было бы замечательно, вопрос только в том, как это сделать.

[_ТошА_]

Верный рисунок нарисуйте

[Новый гость]

5/ Указанный угол находится элементарно учениками 8 класса.

В восьмом классе у нас такого не было. Как же это делают восьмиклассники?

[Гость]

Новый гость Там не окружность, а только ее часть. И зачем все рисовать в пространстве. когда можно нарисовать на плоскости (yOz)?

[Гость]

Новый гость Углы считают. И вспоминают, чему равна сумма углов треугольника.

[Новый гость]

11.2 Замена: `√x=t,t≥0`
Из первого уравнения: `t=1-y`, подставим в третье: `z^2+(1-y)^2=16`. Из второго выражаем `z=5-y^3` и опять подставляем в третье, получаем страшное уравнение с шестой степенью.

[_ТошА_]

Во-первых, там не график окружности, там цилиндр. А прямую рисуете в плоскости, т.к. z любое, то прямая образует некую пл-ть, вот и посмотрите насчёт пересечений

[Гость]

Новый гость Прочитайте комментарий от 19:11 и сделайте, то, что там советовали.

[Новый гость]

Вторая задача никак не получается.

нарисовать графики получившегося и второго уравнения.

- для меня это невыполнимо

[_ТошА_]

Новый гость решайте следующую