Стереометрия из типовых тестовых заданий

[VEk]

TTZ - ЕГЭ 2010. Математика. Типовые тестовые задания / И.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, П.И. Захаров, B.C. Панферов, СЕ. Посицельский, А.В. Семенов, А.Л. Семенов, М.А. Семенова, И.Н. Сергеев, В.А. Смирнов, С.А. Шестаков, Д.Э. Шноль, И.В. Ященко; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. — М.: Издательство «Экзамен», 2010. — 55, [1] с. (Серия «ЕГЭ 2010. Типовые тестовые задания»)
TTZ_V6.C2. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1.

Указание 1. Продлим плоскость грани за ребро BB1 и проведем в ней прямую B1K параллельно C1B. Легко видеть, что BK=1, AB1=B1K=sqrt(2). Bo треугольника ABK по теореме косинусов AK=sqrt(3). Теперь косинус угла AB1K (теорема косинусов) равен 1/4.
Рисунок:

Указание 2. Векторный подход. Базис:. AB, AC, AA1. Разложения: AB1=AB+AA1, BC1= -AB+AC+AA1. Заметим, что AA1 перпендикулярно AB и AC, а угол между AB и AC = 60. Скалярное произведение векторов AB1 и BC1 равно -|AB|^2+AB*AC+|AA1|^2 = 0.5. Длины векторов AB1 и BC1 находим как корень квадратный из скалярного произведения вектора на себя: |AB1|^2=|AB|^2 +|AA1|^2=2, |BC1|^2=|AB|^2+|AC|^2-2AB*AC+|AA1|^2=2. Теперь легко подсчитать угол между векторами AB1 и BC1: cos(fi)=(AB1*BC1)/(|AB1|*|BC1|)=1/4.
Однако при использовании векторного подхода, всегда надо помнить, что угол между прямыми не бывает больше 90 градусов, в то время, как угол между векторами не превосходит 180 градусов.

TTZ_V7.C2.
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите тангенс угла между прямой (AA1) и плоскостью (BC1D).

Указание. Прямая (СС1) || (AA1) поэтому обе прямые образуют с указанной плоскостью равные углы. Проведем в кубе сечение AA1C1C и обозначим (OC1) – прямую пересечения плоскостей. Так как BD перпендикулярно AC и BD перпендикулярно AA1, то (BC1D) перпендикулярно (AA1C1C) и, следовательно, проекция CC1 на плоскость (BC1D) лежит на OC1. Значит, искомый угол – угол OC1C. Тангенс угла легко считается (можно взять ребро куба за 1): sqrt(2)/2.

TTZ_V8.C2.
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите тангенс угла между прямой (AC1) и плоскостью (BCC1)

Указание. Плоскость (BCC1) – плоскость грани куба, ортогональная проекция прямой AC1 на эту грань – прямая (BC1). Искомый угол AC1B. Беря ребро куба за 1, получаем AB = 1, BC1 =sqrt(2), значит, tg(угол AC1B) равен sqrt(2)/2.

TTZ_V9.C2.
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой AB и плоскостью SAD

Указание. Заметим, что AB перпендикулярно AD. Поэтому проекция AB на плоскость (SAD) будет перпендикулярна AD. Значит искомый угол – двугранный угол при ребре основания AD. Проведем высоту SK грани SAD, она равна sqrt(3)/2. Пусть O – проекция вершины S на плоскость основания, тогда OK=0.5. Поэтому косинус искомого угла равен sqrt(3)/3.

TTZ_V10.C2.
В правильной 6-угольной пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а сторона основания 1, найдите косинус угла между прямой AC и плоскостью SAF
Указание. Заметим, что AC перпендикулярно AF. Поэтому проекция AC на плоскость (SAF) будет перпендикулярна AF. Значит искомый угол – двугранный угол при ребре основания AF. Проведем высоту SK грани SAF, она равна sqrt(15)/2. Пусть O – проекция вершины S на плоскость основания, тогда OK= sqrt(3)/2. Поэтому косинус искомого угла равен sqrt(5)/5.

@темы: Стереометрия, ЕГЭ

---

Объявление

[Robot]

В связи с последними событиями (копированием материалов с diary/~eek на форум альбеги , выпуском коммюнике у нас в сообществе с последующим дублированием его на albega.ru и на форум Поступим.ру) вчера ночью у нас состоялась беседа с г-ном Стасом Левиным, техническим администратором проекта albega.ru.

При рассмотрении обсуждаемых вопросов обе стороны согласились, что копирование материалов было делом рук провокатора, личность которого выясняется. Очень жаль, что его поступок ухудшил отношения между двумя образовательными проектами, имеющими, кстати, общих пользователей.
Будем считать, что правых и виноватых нет, а проблема, по крайней мере эта, закрыта.
По поводу использования материалов данных двух ресурсов принято соглашение: около каждого решения/методической разработки и т.д., скопированных на форум albega.ru (ucheba.pro) с diary.ru/~eek и, наоборот, с форума albega.ru (ucheba.pro) на diary.ru/~eek, должны быть указаны ник пользователя diary.ru или ник пользователя форума albega.ru, решившего задачу, и ссылка на топик с соответствующим решением.
В настоящее время все задачи и разработки, скопированные 7 ноября 2009 года пользователем pokupator с diary.ru/~eek на albega.ru (ucheba.pro), согласно предоставленной мне информации удалены. По моей просьбе с ресурса albega.ru (ucheba.pro) удален мой профиль, а также все сообщения, затрагивающие мою личность. Так что инцидент исчерпан.
В качестве ответной меры и во избежание дальнейшего нагнетания обстановки последние два поста  Robot (в том числе и с текстом коммюнике), а также ряд сообщений, затрагивающих личность альбеги, будут удалены с нашего ресурса.
Будем надеяться, что тема, наконец, закрыта.
Большое всем спасибо!

@темы: Сообщество

---

[ПРогмаТ]

Плоскость Н в линейном пространстве определена направляющим подпространством L и вектором сдвига x, плоскость H' - направляющим подпространством L' и вектором сдвига х'. Докажите, что Н = H' в том и только том случае, если L = L' и разница (x - x' ) принадлежит L.

Первый курс

@темы: Линейная алгебра, Аналитическая геометрия

---

[LadyChaos]

Подскажите пожалуйста:

дана пирамида, координаты ее вершин. Нужно найти координаты точки, симметричной вершине А2 относительно плоскости грани А1А3А4. Я нашла уравнение плоскости, расстояние от точки до плоскости. а что дальше делать не знаю (

@темы: Аналитическая геометрия

---

Помогите ошибку найти пожалуйста.

[nvse]

Задание:найти координаты точки A'(x;y) симметричной A(-2;-1) относительно прямой x-3y-6=0.
Моё решение
Уравнение прямой AA': (x+2)/1=(y+1)/-3.Далее нахожу точку пересечения O прямых АА' и x-3y-6=0.
Получаю O(-3/2;-5/2).
Далее поскольку AO=OA',то
x+3/2=2-3/2;
y+5/2=-3/2;
Получается,что x=-1,y=-4.
Но,это не так(на компе графики строил),там скорее (1;-4) получается...
Заранее спасибо.

@темы: Аналитическая геометрия

---

Задачи по комбинаторике. (Финальный аккорд!)

[sugar/free]

У меня подходит к концу курс элементов комбинаторного анализа, в связи с чем предлагаю в последний раз помочь мне с задачками по этой теме.

1. Сколькими способами можно сделать браслет из 3 изумрудов, 2 рубинов и 1 сапфира?

Мысли.

Выбираем 3 из 6ти мест для изумрудов (С(6,3)), а затем выбираем 2 из оставшихся трёх мест для рубинов(С(3,2)) и остаётся 1 для сапфира. По правилу произведения перемножае. Верные мысли?

2.Сколькими способами можно из тридцати рабочих создать 3 бригады по 10 человек? А 10 бригад по 3 человека?

Мысли.

Выбираем 10 из 30 (С(30,10)), далее 10 из оставшихся 20 (С(20,10)) и остаётся третья бригада - всех чикаем по правилу произведения. И по аналогии с 10ю бригадами, только получится 9 множителей. Верные мысли?

---

несобственый интеграл

[isc9]

Oбъясните, пожалуйста, откуда после второго = перед 2 знак минус ?

---

Решение уравнения второй степени

[Arcade]

Здравствуйте!

Нужна ваша помощь в решении задания. Вот оно:

x^2 + 4xy + 4y^2 - 20x + 10y - 50 = 0.
Нужно преобразовать к каноническому виду данное уравнение линии и построить её.

По формуле дискриминанта старших членов ( δ = AC - B^2 ) получается, что искомая линия - параболическая (δ = 0).
Я "свернул" первые три члена уравнения ( (x + 2y)^2 ), а что делать с остальными тремя?

P.S. Я находил похожие задания в сообществе, но, мне кажется, тут решение иное.

@темы: Аналитическая геометрия, Линии второго порядка

---

[akaVbot]

Всем добрый вечер!!!!

Вобщем есть пирамида А(-2:0:0) В(2:1:2) С(3:-1:2) D(1:2:1)

Я обьемы площади углы между ребрами и тд и тп понаходил , вот незнаю как найти уравнение высоты пирамиды DO и координаты основания высоты DO !!

Помогите люди добрые !!!!

(дано указание)

@темы: Аналитическая геометрия, Векторная алгебра

---

Проверьте правильность, пожалуйста!

[Mashenka!]

http://static.diary.ru/userdir/1/4/1/1/1411719/48221482.jpg

@темы: Теория чисел

---

[distraction]

Здравствуйте!
Не могу понять, с какого бока начать решение такого вот задания:
Сравнить бесконечно малые функции при х— > 0
a(x)=e^(2x)-e^(4x) и b(x)=sin(3x).
В аналогичном решенном задании предлагается посчитать предел отношения этих двух функций. Собственно вопрос: как посчитать этот предел?

@темы: Функции, Пределы

---

Уравнения.

[;defect]

Здравствуйте.

Опять к вам с огромной прозьбой.

Завтра последний срок сдачи домашней контрольной работы. Вспоминаем как решать квадратные уравнения.

Прошу проверить то, что я нарешала и помочь разобраться с последними заданиями. Не понимаю алгоритм решения совершенно,хотя и приведён пример.

Задание номер 41,все чётные уравнения."решить уравнения, используя разложение на множетели спомобом групировки"

 

непонятные задания.

 

лист решений номер 1.

 

лист решений номер 2.

 

лист решений номер3.

---

Кривые второго порядка

[before_water]

Пожалуйста, помогите с решением следующих задач: (некоторые я сама сделала, но не уверена)
1. Найти эксцентриситет эллипса, если длина большой оси относится к длине малой оси, как 13:9
не знаю совпадают ли обозначения
2a -большая ось
2b -малая ось
2c - фокальная ось
я выразила а= 13b/9
потом в c^2=a^2-b^2 подставила это а, у меня получилось, что c^2= 88b^2/81
и потом а и с подставила в e и получилось (2корня из 22)/13 -но это число меня смущает

2. При записи канонического уравнения эллипса нужно ли считать квадраты a и b или можно так и оставить просто обозначения квадрата? (я имею в виду можно просто оставить 97^2 или нужно записать 9409)?
3. Расстояние между фокусами гиперболы равно 26, а между ее директрисами равно 18. Найти полуоси.
у меня получилось а=3корня из 13
b=2корня из 13
но как всегда к ответам с корнями я с недоверием отношусь.
4. Найти точки пересечения эллипаса и параболы, если известны их уравнения

я составила систему из этих двух уравнений.
но у меня получилось, что есть только одна точка пересечения (4;18корней из 2)
у второй отрицательный x, а по уравнению параболы это невозможно,т.к. она лежит в правой полуплоскости.

@темы: Линии второго порядка

---

проверьте пожалуйста!!!

[ученик75]

Проверьте пожалуйста правильность решения такой задачки:с помощью преобразований на плоскости построить график функции,используя график элементарной функции. у=х^2-5lxl+6.

@темы: Исследование функций

---

[Tanechka231187]

Помогите пожалуйста вычислить определитель четвёртого порядка предварительно приведя матрицу к треугольному виду.дана матрица /2412 -3205 1334 0834/,далее я переставила строки /1334 2412 -3205 0834/,теперь первую строку*2 выч.2ю строку /1334 0256 -3205 0834/, 1ю строку *-3 выч.3ю строку /1334 0256 -3205 0834/,далее 2ю строку*4 выч.4ю строку /1334 0256 0-11-9-17 00 17 20/, 3ю строку умножила *2 /1334 0256 0-22-18-34 00 17 20/, 2ю строку*-11 выч.3ю строку /1334 0256 00-37-32 00 17 20/,потом 4ю строку*37 /1334 0256 00-37-32 00 629 740/,3ю строку *-17 выч.4ю строку /1334 0256 00-37-32 000-196/.Ну а дальше стала раскладывать по элементам первого столбца у меня получается,что определитель=-192.А должен быть =-196!!!Определитель -196 получается во всех 3х случаях,а в треугольном(в 4м случае) у меня не получается.Помогите,пожалуйста.

---

Ньютон, Гаусс, Стирлинг и бессель

[vitaly158]

Плз, выложите пожалуйста формулу для вычисления первой и второй производной через первую интерполяционную формулу ньютона. меня интересует случай, когда значения производной вычисляются в точке, смещенной на некоторое расстояние от точек разбивки функции. Дело в том, что для Гаусса, Бесселя и Стирлинга все ясно (из контрольного примера), а вот с Ньютоном привели не очень удачный контрольный пример, поскольку вычисляют значения производных в точке, совпадающей с точкой определения функции и не дали обобщенной формулы. Это из книги Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. 'Практикум по вычислительной математике стр 124-126. меня интересует вариант когда t <>0

---

C1 Ященко, Шестаков Подготовка к ЕГЭ по математике в 2010г. Методические указания.

[noil]

Задания на решение систем. (оформлял в первый раз, поэтому тапками не бить, если обнаружите неточности/ошибки/опечатки в решении - сразу скажите.)

С1 Работа 5.

С1 Работа 5.
2^y+2*sin(x)=0,
tg(x)+1=1/(cos(x))^2

Из 1-ого ур-я системы следует, что sinx<0
1) Найдём x из 2-ого ур-я сист.
tg(x)+1=1/(cos^2(x))^2
По определению/ф-ле 1/(cos(x))^2=1+(tg(x))^2)
-> tg(x)+1=(tg(x))^2+1
-> tg(x)*(tg(x)-1)=0
a) tgx=0
тогда x=Pi*n, n in Z
-> sinx=0 - Из 1-ого ур-я системы
б) tg(x)=1
тогда x=Pi/4 + Pi*n, n in Z
-> sinx=sqrt(2)/2 - Из 1-ого ур-я системы
-> sinx= - sqrt(2)/2 -> x=(5Pi)/4 + 2*Pi*n, n in Z
2) Найдём y
Из 1-ого ур-я сист. 2^y=-2sin(x)
подставляем x и находим y:
2^y=2^(1/2) -> y=0.5
Ответ: x=(5*Pi)/4 + 2 Pi*n, n in Z; y=0.5

С1 Работа 6.

С1 Работа 6.
4^(sin(y))-5*2^(sin(x))+4=0,
sqrt(x)+5*cos(y)+1=0

1) ОДЗ: x>=0
Перепишем систему в виде
4^(sin(y))-5*2^(sin(x))+4=0, sqrt(x)=-5*cos(y)-1
Заметим, что второе уравнение системы имеет решение только если cosy <= -1/5
2) Найдём y из 1-ого, показательного ур-я системы:
2^(2sin(y))-5*2^(sin(y))+4=0
Замена 2^(sin(y))=t, где t>0
t^2-5t+4=0
По теореме Виета корни ур-я:
a) t_1=1
-> 2^(siny)=2^0
-> siny=0
-> y=Pi*n, n in Z
Поскольку должно выполняться условие cosy<=-1/5,то y=Pi+2Pi*n, n in Z
б) t_2=4
-> 2^(sin(y))=2^2
-> sin(y)=2
-> такого быть не может, по определению sin, поэтому t=4 не подходит
3) Найдём x из 2-ого ур-я сист. для y=Pi+2Pi*n, n in Z
sqrt(x)-5+1=0 -> x=16
Ответ: x=16; y=Pi+2Pi*n, n in Z

С1 Работа 7.

С1 Работа 7.
4*(cos(x))^2-12*cos(x)+5=0,
sqrt(y^2-4y+16)+4sin(x)=0.

1) ОДЗ: y^2-4y+16>=0, что равносильно y in R, таким образом, x и y - любые действительные числа.
Перепишем систему
4(cos(x))^2-12*cos(x)+5=0,
sqrt(y^2-4y+16)=-4sinx.
Отсюда видно, что для того, чтобы второе уравнение системы имело решение необходимо, чтобы выполнялось условие sinx<=0
2) Найдём x из 1-ого ур-я сист.
4*(cos(x))^2-12*cos(x)+5=0
Замена cosx=t, |t|<=1 (так как |cosx|<=1)
4t^2-12t+5=0
D=64
a) t_1=1/2
cosx=1/2 -> x=+-Pi/3+2*Pi*n, n in Z
Но sinx<=0 -> x=-Pi/3+2*Pi*n, n in Z
b) t_2=2.5 - не подходит по условию |t|<=1
3) Найдём y из 2-ого ур-я сист. (sqrt(y^2-4y+16)+4sin(x)=0)
sqrt(y^2-4y+16)=-4sin(x)
sqrt(y^2-4y+16)=2sqrt(3) возведём в квадрат
y^2-4y+16=12
(y-2)^2=0 -> y=2
Ответ: x=-Pi/3+2Pin, n in ZZ; y=2

С1 Работа 8.

С1 Работа 8.
sqrt(y+cos^2x-2)=cos(x),
(y*(sin(x))^2-sin(x)-1=0

1) ОДЗ
y+(cos(x))^2-2>=0
2) Найдём y из 1-ого ур-я сист.
sqrt(y+(cos(x))^2-2)=cos(x) учтя, что ур-е будет иметь решения только при cos(x)>=0, возведём его в квадрат
y+(cos(x))^2-2=(cos(x))^2
откуда y=2
3) Найдём x из 2-ого ур-я сист. подставив значение полученного y
2*(sin(x))^2-sin(x)-1=0
Замена sinx=t, где |t|<=1
решим кв. ур-е 2t^2-t-1=0
D=9
a) t_1=-1/2
откуда sinx=-1/2
-> x=-Pi/6+2Pi*n, n in Z - (учли, что cosx>=0)
б) t_2=1
откуда sinx=1
-> x=Pi/2+2Pi*n, n in Z
Ответ: x_1=-Pi/6+2Pi*n, n in Z; y_1=2;
x_2= Pi/2+2Pi*n, n in Z; y_1=2

С1 Работа 9.

С1 Работа 9.
(4^y) - 10*2^y+16=0,
cos(x)=sqrt(y-2).
1) ОДЗ y>=2
2) Найдём y из 1-ого показательного ур-я системы
2^(2*y)-10*2^y+16=0
Замена 2^y=t, где t>0
t^2-10t+16=0
решим кв. ур-е по теореме Виета
a) t_1=8
-> 2^y=2^3
-> y=3
б) t_2=2
-> 2^y=2^1
-> y=1 - по ОДЗ
3) найдём из 2-ого ур-я сист. x
cos(x)=sqrt(y-2)
оно имеет решения если 0<=cosx<=1;
при y=3 ур-е примет вид:
cosx=1
-> x=2Pi*n, n in Z
Ответ: `x=2Pi*n, n in Z; y=3

@темы: ЕГЭ

---

Верно ли решение

[vicrus]

Дана вот такая задача: Игральная кость бросается 2 раза подряд. Найти вероятность того, что во второй раз выпадет больше очков, чем в первый.

решение как я понимаю такое: 1/6+1/6=2/6=1/3

Правильно ли решение?

@темы: Теория вероятностей

---

Пример

[hoterwer]

Помогите решить
Найти частное решение и вычислить значение полученной функции при х=х0 с точностью до двух знаков после запятой.

@темы: Дифференциальные уравнения

---

подскажите...

[Althiere]

Задача:
Стрелок в одном выстреле попадает с вер-тью 1/5. Сколько нужно выстрелов, чтобы попасть не менее 2х раз с вероятностью не менее 0,9.

Вроде бы задача на геометрическое распределение со всеми вытекающими, но не могу понять как искать количество выстрелов?

@темы: Теория вероятностей