Белый и пушистый (иногда)
TTZ - ЕГЭ 2010. Математика. Типовые тестовые задания / И.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, П.И. Захаров, B.C. Панферов, СЕ. Посицельский, А.В. Семенов, А.Л. Семенов, М.А. Семенова, И.Н. Сергеев, В.А. Смирнов, С.А. Шестаков, Д.Э. Шноль, И.В. Ященко; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. — М.: Издательство «Экзамен», 2010. — 55, [1] с. (Серия «ЕГЭ 2010. Типовые тестовые задания»)
TTZ_V6.C2. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1.
Указание 1. Продлим плоскость грани за ребро BB1 и проведем в ней прямую B1K параллельно C1B. Легко видеть, что BK=1, AB1=B1K=sqrt(2). Bo треугольника ABK по теореме косинусов AK=sqrt(3). Теперь косинус угла AB1K (теорема косинусов) равен 1/4.
Рисунок:
Указание 2. Векторный подход. Базис:. AB, AC, AA1. Разложения: AB1=AB+AA1, BC1= -AB+AC+AA1. Заметим, что AA1 перпендикулярно AB и AC, а угол между AB и AC = 60. Скалярное произведение векторов AB1 и BC1 равно -|AB|^2+AB*AC+|AA1|^2 = 0.5. Длины векторов AB1 и BC1 находим как корень квадратный из скалярного произведения вектора на себя: |AB1|^2=|AB|^2 +|AA1|^2=2, |BC1|^2=|AB|^2+|AC|^2-2AB*AC+|AA1|^2=2. Теперь легко подсчитать угол между векторами AB1 и BC1: cos(fi)=(AB1*BC1)/(|AB1|*|BC1|)=1/4.
Однако при использовании векторного подхода, всегда надо помнить, что угол между прямыми не бывает больше 90 градусов, в то время, как угол между векторами не превосходит 180 градусов.
TTZ_V7.C2.
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите тангенс угла между прямой (AA1) и плоскостью (BC1D).
Указание. Прямая (СС1) || (AA1) поэтому обе прямые образуют с указанной плоскостью равные углы. Проведем в кубе сечение AA1C1C и обозначим (OC1) – прямую пересечения плоскостей. Так как BD перпендикулярно AC и BD перпендикулярно AA1, то (BC1D) перпендикулярно (AA1C1C) и, следовательно, проекция CC1 на плоскость (BC1D) лежит на OC1. Значит, искомый угол – угол OC1C. Тангенс угла легко считается (можно взять ребро куба за 1): sqrt(2)/2.
TTZ_V8.C2.
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите тангенс угла между прямой (AC1) и плоскостью (BCC1)
Указание. Плоскость (BCC1) – плоскость грани куба, ортогональная проекция прямой AC1 на эту грань – прямая (BC1). Искомый угол AC1B. Беря ребро куба за 1, получаем AB = 1, BC1 =sqrt(2), значит, tg(угол AC1B) равен sqrt(2)/2.
TTZ_V9.C2.
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой AB и плоскостью SAD
Указание. Заметим, что AB перпендикулярно AD. Поэтому проекция AB на плоскость (SAD) будет перпендикулярна AD. Значит искомый угол – двугранный угол при ребре основания AD. Проведем высоту SK грани SAD, она равна sqrt(3)/2. Пусть O – проекция вершины S на плоскость основания, тогда OK=0.5. Поэтому косинус искомого угла равен sqrt(3)/3.
TTZ_V10.C2.
В правильной 6-угольной пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а сторона основания 1, найдите косинус угла между прямой AC и плоскостью SAF
Указание. Заметим, что AC перпендикулярно AF. Поэтому проекция AC на плоскость (SAF) будет перпендикулярна AF. Значит искомый угол – двугранный угол при ребре основания AF. Проведем высоту SK грани SAF, она равна sqrt(15)/2. Пусть O – проекция вершины S на плоскость основания, тогда OK= sqrt(3)/2. Поэтому косинус искомого угла равен sqrt(5)/5.
TTZ_V6.C2. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1.
Указание 1. Продлим плоскость грани за ребро BB1 и проведем в ней прямую B1K параллельно C1B. Легко видеть, что BK=1, AB1=B1K=sqrt(2). Bo треугольника ABK по теореме косинусов AK=sqrt(3). Теперь косинус угла AB1K (теорема косинусов) равен 1/4.
Рисунок:
Указание 2. Векторный подход. Базис:. AB, AC, AA1. Разложения: AB1=AB+AA1, BC1= -AB+AC+AA1. Заметим, что AA1 перпендикулярно AB и AC, а угол между AB и AC = 60. Скалярное произведение векторов AB1 и BC1 равно -|AB|^2+AB*AC+|AA1|^2 = 0.5. Длины векторов AB1 и BC1 находим как корень квадратный из скалярного произведения вектора на себя: |AB1|^2=|AB|^2 +|AA1|^2=2, |BC1|^2=|AB|^2+|AC|^2-2AB*AC+|AA1|^2=2. Теперь легко подсчитать угол между векторами AB1 и BC1: cos(fi)=(AB1*BC1)/(|AB1|*|BC1|)=1/4.
Однако при использовании векторного подхода, всегда надо помнить, что угол между прямыми не бывает больше 90 градусов, в то время, как угол между векторами не превосходит 180 градусов.
TTZ_V7.C2.
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите тангенс угла между прямой (AA1) и плоскостью (BC1D).
Указание. Прямая (СС1) || (AA1) поэтому обе прямые образуют с указанной плоскостью равные углы. Проведем в кубе сечение AA1C1C и обозначим (OC1) – прямую пересечения плоскостей. Так как BD перпендикулярно AC и BD перпендикулярно AA1, то (BC1D) перпендикулярно (AA1C1C) и, следовательно, проекция CC1 на плоскость (BC1D) лежит на OC1. Значит, искомый угол – угол OC1C. Тангенс угла легко считается (можно взять ребро куба за 1): sqrt(2)/2.
TTZ_V8.C2.
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите тангенс угла между прямой (AC1) и плоскостью (BCC1)
Указание. Плоскость (BCC1) – плоскость грани куба, ортогональная проекция прямой AC1 на эту грань – прямая (BC1). Искомый угол AC1B. Беря ребро куба за 1, получаем AB = 1, BC1 =sqrt(2), значит, tg(угол AC1B) равен sqrt(2)/2.
TTZ_V9.C2.
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой AB и плоскостью SAD
Указание. Заметим, что AB перпендикулярно AD. Поэтому проекция AB на плоскость (SAD) будет перпендикулярна AD. Значит искомый угол – двугранный угол при ребре основания AD. Проведем высоту SK грани SAD, она равна sqrt(3)/2. Пусть O – проекция вершины S на плоскость основания, тогда OK=0.5. Поэтому косинус искомого угла равен sqrt(3)/3.
TTZ_V10.C2.
В правильной 6-угольной пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а сторона основания 1, найдите косинус угла между прямой AC и плоскостью SAF
Указание. Заметим, что AC перпендикулярно AF. Поэтому проекция AC на плоскость (SAF) будет перпендикулярна AF. Значит искомый угол – двугранный угол при ребре основания AF. Проведем высоту SK грани SAF, она равна sqrt(15)/2. Пусть O – проекция вершины S на плоскость основания, тогда OK= sqrt(3)/2. Поэтому косинус искомого угла равен sqrt(5)/5.
-
-
13.12.2010 в 19:28Плоскость (BCC1) – плоскость грани куба, ортогональная проекция прямой AC1 на эту грань – прямая (BC1)
можно объяснить попроще? мы понятие "ортогональная проекция" не изучали..
можно по-другому как-нибудь?
-
-
13.12.2010 в 19:30-
-
11.01.2011 в 20:29Если можно распишите подробно.
-
-
14.01.2011 в 16:16-
-
03.11.2011 в 17:02как решить эту задачу?
Высоты треугольника ABC пересекаются в точке Н. Известно, что отрезок CH равен радиусу окружности, описанной около треугольника. Найдите угол АСВ.
и еще вот эту? ну никак не понимаю((
-
-
09.01.2012 в 12:19-
-
09.01.2012 в 12:37-
-
09.01.2012 в 12:44-
-
09.01.2012 в 13:11-
-
09.01.2012 в 15:28Если не обосновывать некоторые факты, то можно потерять балл (один из двух) на ЕГЭ. Здесь многое зависит от проверяющих.
-
-
09.01.2012 в 16:34-
-
29.02.2012 в 09:22Не могу понять, почему сторона AK равна у вас sqrt(3). У меня она получается равна sqrt(2). Ведь
AK^2=BK^2+AB^2-2AB*BK*cosABK. Соответственно, подставляя => AK=sqrt(1+1-2*1*1*0)=sqrt(2). Не могу понять, где ошибка?
-
-
29.02.2012 в 10:08-
-
15.04.2012 в 12:47-
-
15.04.2012 в 13:03-
-
22.04.2012 в 15:27-
-
22.04.2012 в 15:31-
-
23.10.2013 в 19:42-
-
24.10.2013 в 01:21-
-
21.03.2014 в 16:08