Дан треугольник $ABC.$ Точки $D, E, F$ лежат соответственно на срединных перпендикулярах к $BC, CA, AB.$ Покажите, что прямые, проходящие через $A, B, C$ и перпендикулярные соответственно $EF, FD, DE,$ проходят через одну точку. |  |
Простые числа $p_1,p_2,p_3,\ldots$ пронумерованы в порядке возрастания. Пусть действительное число $x_0$ принадлежит интервалу $(0, 1).$ Для положительного целого числа $k$ определим $x_{k}=0,$ если $x_{k-1}=0$ и $x_{k}= \left\{\frac{p_{k}}{x_{k-1}}\right\},$ если $x_{k-1}\ne0,$ где $\{x\}$ обозначает дробную часть $x.$ (Дробная часть числа $x$ определяется как $x-\lfloor{x}\rfloor,$ где $\lfloor{x}\rfloor$ --- наибольшее целое число меньшее или равное $x$.) Найдите все $x_0,$ удовлетворяющие неравенствам $0 < x_0 < 1,$ для которых члены последовательности $x_0, x_1, x_2, \ldots$ начиная с некоторого номера становятся равными $0.$ | |
Определите (с доказательством) существует ли подмножество $X$ множества целых чисел, имеющее следующее свойство: для любого целого числа $n$ найдется ровно одно решение уравнения $a + 2b = n$ такое, что $a,b \in X$. | |
Дан треугольник $ABC.$ Его внутренняя точка $M$ выбрана так, что $\angle MAB=10^\circ,$ $\angle MBA=20^\circ,$ $\angle MAC= 40^\circ$ и $\angle MCA=30^\circ.$ Докажите, что треугольник является равнобедренным. | |
В $n$-элементной последовательности $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ каждый элемент равен 0 или 1. Назовем такую последовательность бинарной последовательностью длины $n$. Пусть $a_n$ равно равно количеству бинарных последовательностей длины $n,$ не содержащих трёх последовательных членов равных 0, 1, 0 (в этом порядке). Пусть $b_n$ равно количеству бинарных последовательностей длины $n,$ не содержащих четырёх последовательных членов равных 0, 0, 1, 1 или 1, 1, 0, 0 (в этом порядке). Докажите, что $b_{n+1} = 2a_n$ для всех положительных целых чисел $n.$ | |
Дан треугольник $ABC.$ Докажите, что найдётся прямая $l$ (в плоскости треугольника $ABC$) такая, что площадь пересечения треугольника $ABC$ и треугольника $A'B'C',$ симметричного $ABC$ относительно $l,$ составляет более чем $\frac{2}{3}$ площади треугольника $ABC$. | |
Для непустого множества действительных чисел $S$ пусть $\sigma(S)$ обозначает сумму элементов $S$. Дано множество $A,$ состоящее из $n$ положительных целых чисел. Рассмотрим набор всех различных $\sigma(S),$ получающихся при их вычислении для всех $S,$ являющихся непустыми подмножествами $A$. Докажите, что этот набор сумм может быть разбит на $n$ классов так, что в каждом классе отношение большей суммы к меньшей не превосходит 2. | |
