Новый год к нам мчится

[All_ex]

Дорогие сообщники, коллеги и все, все, все!

От лица сообщества поздравляю всех с наступающим (или уже наступившим) Новым Годом!!...

Всем здоровья... счастья для всех, даром... и мирного неба над головой!

Уходящий 2022 год был не простым.
Наступающий 2023 тоже будет не простым, так как 2023=7*17*17.
Но в разложении числа 2023 на простые множители есть три семёрки!
А это значит, что в наступающем 2023 нас ожидает счастье, нужно только постараться его найти!

@темы: Праздники

---

Башня степеней

[wpoms.]

Покажите, что для любого данного целого числа $n \geq 1$ последовательность $2, \; 2^2, \; 2^{2^2}, \; 2^{2^{2^2}},...$ mod(n) начиная с некоторого члена становится постоянной. Башня степеней определяется следующим образом: $a_1 = 2, \; a_{i+1} = 2^{a_i}$; а $a_i$ mod(n) означает остаток от деления $a_i$ на $n.$

@темы: Теория чисел

---

Чемоданы

[Холщовый мешок]

Имеется 5 закрытых чемоданов и 5 ключей к ним. При этом неизвестно, к какому чемодану подходит какой ключ. Какое наименьшее число попыток надо сделать, чтобы наверняка определить, какой ключ подходит к какому чемодану?

www.upload.ee/files/14769652/Zolotareva_Fedotov...

Вопрос: Какое наименьшее число попыток надо сделать

1. 10		3	(60%)
2. 15		1	(20%)
3. 20			(0%)
4. 25			(0%)
5. 30			(0%)
6. 36		1	(20%)
Всего:		5

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Трапеция

[Холщовый мешок]

Дана трапеция ABCD, в которой АВ || CD , АВ > ВС = CD = DA, /_ CBA = 60◦.
На отрезке BC выбрана точка E такая, что BE : EC = 2 : 1.

И, наконец, пусть L — основание перпендикуляра, опущенного из точки D на прямую AE.
Найдите CL, если CD = 42.

Что за птичка - невеличка?

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Наименьшее расстояние

[koki174lol]

Точки A и B с абсциссами 3 и -3 расположены на параболе y = (1/3)*(x^2). Найти
на этой параболе точку, сумма квадратов расстояний от которой до точек A и
B была бы наименьшей

@темы: Математический анализ

---

Отношение

[wpoms.]

Для произвольного числового множества $S$ пусть $\sigma(S)$ and $\pi(S)$ обозначают соответственно сумму и произведение элементов $S.$ Докажите, что $\sum \frac{\sigma(S)}{\pi(S)} = (n^2 + 2n) - \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} \right) (n+1),$ где "$\Sigma$" обозначает сумму, вычисляемую по всем непустым подмножествам $S$ множества $\{1,2,3, \ldots,n\}$.

@темы: Олимпиадные задачи, Теория чисел

---

Периметр

[wpoms.]

В треугольнике $ABC$ угол $A$ вдвое больше угла $B$, угол $C$ тупой, а длины трех сторон $a, b, c$ являются целыми. Найдите (с доказательством) наименьший возможный периметр треугольника.

@темы: Планиметрия

---

Игра

[wpoms.]

Витя и Маша играют в игру. Сначала Витя загадывает три различных целых числа. За один раз Маша может спросить одну из следующих величин: либо сумму чисел, либо сумму попарных произведений чисел, либо произведение чисел, загаданных Витей. Маша задаёт вопросы последовательно, причём Витя даёт ответ до того, как будет задан следующий вопрос. а) Докажите, что Маша всегда может отгадать числа, загаданные Витей. б) За какое наименьшее число вопросов Маша гарантированно сможет это сделать вне зависимости от того, какие числа загадал Витя?

@темы: Теория многочленов, Теория чисел

---

Вельвичия

[Холщовый мешок]

Ученые предполагают, что это растение может жить от 400 до 1500 лет. Открыл странный цветок португальский ботаник Фридрих Вельвич в 1860 году. Ученый заметил его в каменистых пустынях тропической Южной Америки.

Дана окружность радиуса 1 с диаметром $AG$, прямая $AF$ перпендикулярна $DC$. Внутри окружности расположены два квадрата, $ABDC$ и $DEGF$, вершины которых $B$ и $E$ лежат на окружности, а точки $A$, $D$ и $E$ лежат на одной прямой. Найдите площадь квадрата $DEGF$.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Колбасное дерево

[Холщовый мешок]

Поедатель колбасы

Окружности радиусов $R_1$ и $R_2$ касаются друг друга внешним образом. Помимо этого, обе окружности касаются полуокружности радиуса 1, как показано на рисунке.

a) Пусть $A_1$ и $A_2$ - точки касания окружностей с диаметром полуокружности. Найдите длину отрезка $A_1A_2$.

b) Докажите, что $R_{1}+R_{2} = 2\sqrt{R_{1}R_{2}}(\sqrt{2}-\sqrt{R_{1}R_{2}})$.

---

Многочлен

[wpoms.]

Многочлен $p(x)$ с целыми коэффициентами удовлетворяет равенству \[p(\sqrt2 + \sqrt3) = \sqrt2 - \sqrt3.\] а) Найдите все возможные значения $p(\sqrt2 - \sqrt3).$ б) Приведите пример хотя бы одного многочлена $p(x),$ удовлетворяющего условию.

@темы: Теория многочленов

---

Про Z-тетрамино

[wpoms.]

Клетчатую доску размера $2022 \times 2022$ разрезали на фигуры двух видов: L-тетрамино и Z-тетрамино. Каждое тетрамино состоит из четырёх единичных квадратов, тетрамино можно поворачивать и переворачивать. Определите, какое наименьшее количество Z-тетрамино могло получиться.

@темы: Дискретная математика

---

Кольца Борромео

[Холщовый мешок]

Герб древнего венецианского рода Борромео состоит из трёх колец, которые зацеплены друг за друга так, что разрыв любого из них приводит к распадению сразу всех колец. Сделать такой герб из абсолютно жёстких круглых колец невозможно. Но его легко изготовить из гибкой проволоки или трёх замкнутых резинок. А вы попробуйте теперь по тому же принципу зацепить друг за друга четыре резиновых кольца!

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Радиус

[wpoms.]

Внутри треугольника $ABC$ расположены три непересекающихся круга радиуса 1. (Круги могут касаться друг друга и сторон треугольника, но не могут иметь общих внутренних точек.) Найдите наибольшее значение $r,$ при котором можно гарантированно утверждать, что внутри треугольника возможно нарисовать четвёртый круг радиуса $r,$ не пересекающийся с уже нарисованными тремя кругами.

@темы: Планиметрия

---

Треугольник

[Холщовый мешок]

Стороны AB и BC треугольника равны 8 и 6, а угол между ними 150^∘. Из точки M, находящейся в одной полуплоскости с треугольником относительно AC, эти стороны видны под углами 30^∘. Найдите отрезок MB.

@темы: Планиметрия, ГИА (9 класс)

---

С праздником, коллеги!

[All_ex]

Дорогие сообщники, коллеги и все, кто имеет отношение к педагогическому корпусу!

От лица сообщества поздравляю всех с профессиональным праздником!!...

Всем здоровья и ... счастья для всех, даром...

---

Игра

[wpoms.]

Дана клетчатая доска размера $3 \times 2021,$ все клетки которой покрашены в белый цвет. Два игрока по очереди перекрашивают в чёрный цвет две не обязательно соседние белые клетки, расположенные либо в одной строке, либо в одном столбце. Игрок, который не может сделать ход, проигрывает. Кто из игроков может обеспечить себе выигрыш вне зависимости от игры соперника?

@темы: Дискретная математика

---

Российские школьники завоевали...

[All_ex]

Российские школьники завоевали три золотых медали на Международной математической олимпиаде



Российские школьники завоевали три золотых и три серебряных медали на 63-й Международной математической олимпиаде-2022. В неофициальном командном зачете наша сборная с 217 баллами, в случае допуска, заняла бы второе место, уступив лишь команде из Китая. Абсолютное первое место завоевала Галия Шарафетдинова из Казани, набравшая максимальные 42 балла. Об этом сообщил N + 1 руководитель команды Кирилл Сухов.

Международная математическая олимпиада ежегодно проводится среди учащихся старших классов, начиная с 1959 года, когда она проходила в Румынии с участием всего семи команд. В последние годы в олимпиаде участвуют уже более сотни сборных. Школьникам предлагается решить шесть задач из разных областей математики, например, из геометрии, теории чисел, алгебры и комбинаторики. Каждая из них оценивается в семь баллов, а общий результат команды для каждой задачи составляет 42 балла.

63-я Международная математическая олимпиада-2022 проходит в Осло с 6 по 16 июля. В отличие от прошлых лет, когда фактически соревнования проводились удаленно из-за пандемии коронавируса, в нынешнем году все команды, за исключением российских школьников, могли участвовать очно. Это произошло из-за того, что организаторы олимпиады отстранили Россию от участия в ней, но разрешили россиянам состязаться в качестве частных лиц, не представляющих национальную команду.

В нынешнем году в олимпиаде приняли участие шесть школьников из России, которые выступали под руководством Кирилла Сухова — преподавателя петербургского Президентского физико-математического лицея (ФМЛ) № 239. Золотых медалей удостоились Иван Бахарев (39 баллов) и Максим Туревский (39 баллов) из Санкт-Петербурга, а также Галия Шарафетдинова из Казани, набравшая 42 балла (впервые с 2006 года) и завоевавшая абсолютное первое место. Серебряные медали получили Таисия Коротченко (33 балла) и Роман Кузнецов (33 балла) из Санкт-Петербурга, а также Денис Мустафин (31 балл) из Москвы.

Если бы сборную России допустили до участия в качестве команды, то в ее активе было бы 217 баллов. Это позволило бы занять в неофициальном зачете сборных второе место, уступив лишь команде из Китая.

В минувшем году в неофициальном зачете школьники из России вернулись с пятью золотыми и одной серебряной медалью и заняли второе место, пропустив вперед лишь команду из Китая.

ссыль

@темы: Новости

---

Внутри квадрата

[wpoms.]

Внутри квадрата $ABCD$ отметили точку $P,$ а на его сторонах $AB,$ $BC,$ $CD$ и $DA$ отметили точки $K,$ $L,$ $M$ и $N$ соответственно. Прямые $KP,$ $LP,$ $MP$ и $NP$ пересекают стороны $CD,$ $DA,$ $AB$ и $BC$ в точках $K_1,$ $L_1,$ $M_1$ и $N_1$ соответственно. Оказалось, что \[ \frac {KP}{PK_1} + \frac {LP}{PL_1} + \frac {MP}{PM_1} + \frac {NP}{PN_1} = 4. \] Докажите, что $KP + LP + MP + NP = K_1P + L_1P + M_1P + N_1P.$

@темы: Планиметрия

---

Вертикаль

[Холщовый мешок]

Волчкевич М. Геометрия 7-9 класс, черновик - МЦНМО, 2023, 976 стр.

Материал данного пособия представляет собой курс геометрии за 7-9 класс для школ участников проекта Математическая вертикаль. Пособие позволит сформировать представления о геометрии, овладеть методами доказательств, дать представление о свойствах геометрических фигур и развить пространственное мышление, применять полученные знания на практике. В пособиях есть материал международных исследований, оценивающих уровень и качество математического и естественнонаучного образования учащихся 7-9 классов основной школы.

www.upload.ee/files/14497138/7-9_2023.pdf.html

P.S. В пособие добавлены две страницы, на которых рассказывается о центральной симметрии.
P.P.S. Пособие неудачно. Возможно, его можно использовать в качестве задачника.

@темы: Литература