Геометрия. Планиметрия. Определить сторону квадрата

[Artemchek11]

В квадрате ABCD  проведены дуги с центрами A и B и радиусом, равным стороне квадрата. Окружность радиуса 2 касается стороны AD и двух данных дуг (см. рисунок). Найдите сторону квадрата.

---

Уравнение в целых числах

[wpoms.]

Найдите все решения уравнения $(m^2+n)(m + n^2)= (m - n)^3$, где $m$ и $n$ --- ненулевые целые числа.

@темы: Теория чисел

---

Задача

[domzorgisto]

В одном из городов Казахстана часть жителей умеет говорить только по-казахски, часть — только по-русски. По-казахски говорят 90% всех жителей, по-русски — 80%. Сколько процентов всех жителей говорит на обоих языках?

libgen.st/book/index.php?md5=22003B3BD08022956F...

P.S. На 16:00 никто еще не дал правильного ответа

Вопрос: Сколько?

1. 10%			(0%)
2. 20%			(0%)
3. 30%			(0%)
4. 40%			(0%)
5. 50%			(0%)
6. 60%			(0%)
7. 70%		5	(71.43%)
8. 80%		1	(14.29%)
9. 90%			(0%)
10. 100%		1	(14.29%)
Всего:		7

@темы: Олимпиадные задачи, Литература

---

Отстаем

[domzorgisto]

MAT192H1: Liberating Mathematics

Hours
36L

Currently, mathematics is at a crossroads between tradition and progress. Progress has been led in large part by women mathematicians, in particular Black women, Indigenous women, and women from visible minorities. Intertwined in their studies of mathematics is a daring critique of traditional mathematics, re-imagining of mathematics culture, and more. This course will compare and contrast new forms of accessible mathematics with standard sources that draw dominantly on the experiences and narratives of men. Restricted to first-year students. Not eligible for CR/NCR option.

Prerequisite
High school level algebra.
Distribution Requirements
Science
Breadth Requirements
The Physical and Mathematical Universes (5)

artsci.calendar.utoronto.ca/course/mat192h1

@темы: Про самолеты

---

Последняя задача

[domzorgisto]

из сборника Волчкевич М. А. Уроки геометрии в задачах. 7–8 классы (3-е изд., стереотип. )
uchebnik.mos.ru/system_2/atomic_objects/files/0...

Канал: www.youtube.com/channel/UCUP_rddwdVwOMsHCc874wU...

@темы: Планиметрия

---

Функция

[wpoms.]

Пусть `a,` `b,` `c` - ненулевые действительные числа и функции `f,g : RR -> RR` удовлетворяют условию $a f(x+y)+ b f(x-y) = c f(x) + g(y)$ для всех действительных чисел `x` и `y` таких, что `y > 2018.` Докажите, что существует функция `h: RR -> RR` такая, что $f(x+y)+f(x-y) = 2f(x) + h(y)$ для всех действительных чисел `x` и `y.`

@темы: Функции

---

Эмигранты

[domzorgisto]

любят поговорить: устные олимпиады в Сиэтле
libgen.st/book/index.php?md5=794873E90F2C5CF467...

@темы: Олимпиадные задачи, Литература

---

Romanian Master of Mathematics

[domzorgisto]

Результаты: rmms.lbi.ro/rmm2021/index.php?id=results_math

Задачи

Day 1
1 Let $T_1, T_2, T_3, T_4$ be pairwise distinct collinear points such that $T_2$ lies between $T_1$ and $T_3$, and $T_3$ lies between $T_2$ and $T_4$. Let $\omega_1$ be a circle through $T_1$ and $T_4$; let $\omega_2$ be the circle through $T_2$ and internally tangent to $\omega_1$ at $T_1$; let $\omega_3$ be the circle through $T_3$ and externally tangent to $\omega_2$ at $T_2$; and let $\omega_4$ be the circle through $T_4$ and externally tangent to $\omega_3$ at $T_3$. A line crosses $\omega_1$ at $P$ and $W$, $\omega_2$ at $Q$ and $R$, $\omega_3$ at $S$ and $T$, and $\omega_4$ at $U$ and $V$, the order of these points along the line being $P,Q,R,S,T,U,V,W$. Prove that $PQ + TU = RS + VW$

Geza Kos, Hungary

2 Xenia and Sergey play the following game. Xenia thinks of a positive integer $N$ not exceeding $5000$. Then she fixes $20$ distinct positive integers $a_1, a_2, \cdots, a_{20}$ such that, for each $k = 1,2,\cdots,20$, the numbers $N$ and $a_k$ are congruent modulo $k$. By a move, Sergey tells Xenia a set $S$ of positive integers not exceeding $20$, and she tells him back the set $\{a_k : k \in S\}$ without spelling out which number corresponds to which index. How many moves does Sergey need to determine for sure the number Xenia thought of?

Sergey Kudrya, Russia

3 A number of $17$ workers stand in a row. Every contiguous group of at least $2$ workers is a $brigade$. The chief wants to assign each brigade a leader (which is a member of the brigade) so that each worker’s number of assignments is divisible by $4$. Prove that the number of such ways to assign the leaders is divisible by $17$.
$Mikhail$ $Antipov, Russia$

Day 2
4 Consider an integer \(n \ge 2\) and write the numbers \(1, 2, \ldots, n\) down on a board. A move consists in erasing any two numbers \(a\) and \(b\), then writing down the numbers \(a+b\) and \(\vert a-b \vert\) on the board, and then removing repetitions (e.g., if the board contained the numbers \(2, 5, 7, 8\), then one could choose the numbers \(a = 5\) and \(b = 7\), obtaining the board with numbers \(2, 8, 12\)). For all integers \(n \ge 2\), determine whether it is possible to be left with exactly two numbers on the board after a finite number of moves.

Proposed by China

5 Let \(n\) be a positive integer. The kingdom of Zoomtopia is a convex polygon with integer sides, perimeter \(6n\), and \(60^\circ\) rotational symmetry (that is, there is a point \(O\) such that a \(60^\circ\) rotation about \(O\) maps the polygon to itself). In light of the pandemic, the government of Zoomtopia would like to relocate its \(3n^2+3n+1\) citizens at \(3n^2+3n+1\) points in the kingdom so that every two citizens have a distance of at least \(1\) for proper social distancing. Prove that this is possible. (The kingdom is assumed to contain its boundary.)

Proposed by Ankan Bhattacharya, USA

6 Initially, a non-constant polynomial $S(x)$ with real coefficients is written down on a board. Whenever the board contains a polynomial $P(x)$, not necessarily alone, one can write down on the board any polynomial of the form $P(C + x)$ or $C + P(x)$ where $C$ is a real constant. Moreover, if the board contains two (not necessarily distinct) polynomials $P(x)$ and $Q(x)$, one can write $P(Q(x))$ and $P(x) + Q(x)$ down on the board. No polynomial is ever erased from the board.

Given two sets of real numbers, $A = \{ a_1, a_2, \dots, a_n \}$ and $B = \{ b_1, \dots, b_n \}$, a polynomial $f(x)$ with real coefficients is $(A,B)$-nice if $f(A) = B$, where $f(A) = \{ f(a_i) : i = 1, 2, \dots, n \}$.

Determine all polynomials $S(x)$ that can initially be written down on the board such that, for any two finite sets $A$ and $B$ of real numbers, with $|A| = |B|$, one can produce an $(A,B)$-nice polynomial in a finite number of steps.

Proposed by Navid Safaei, Iran

@темы: Олимпиадные задачи, Новости

---

Ковид

[domzorgisto]

14 октября в 10 школах столицы начинается экспресс-тестирование учащихся на коронавирус. Делается это ради того, чтобы как можно раньше выявить коварное заболевание и прервать цепочки заражений им в городе.

Вот список школ, учащиеся которого будут проходить такое тестирование бесплатно раз в две недели:

Школа № 548
Школа № 1363
Школа № 2123
Школа "Дмитровский"
Школа "Покровский квартал"
Школа № 2030
Школа № 57
Школа № 962
Школа № 1788
Школа № 1253

rg.ru

Интересно, по каким критериям отбирали школы для участия в эксперименте?

@темы: Новости

---

Прямоугольник

[domzorgisto]

Даны две полуокружности радиуса 6 см. Найдите площадь треугольника.

@темы: Планиметрия, Порешаем?!, ГИА (9 класс)

---

Сборник задач

[domzorgisto]

vk.com/club90389798?w=wall-90389798_51226

@темы: ЕГЭ, Литература

---

Доказать

[wpoms.]

Вписанная окружность треугольника `ABC` касается `AB` в точке `D.` Точка `P` лежит на `BC` и отлична от `B` и `C.` Точки `K` и `L` - центры вписанных окружностей треугольников `ABP` и `ACP,` соответственно. Описанная окружность треугольника `KPL` пересекает `AP` повторно в точке `Q.` Докажите, что `AD=AQ.`

@темы: Планиметрия

---

36 вариантов

[domzorgisto]

vk.com/oge_and_egee?w=wall-174100696_4235
Качество не очень

@темы: Литература, ГИА (9 класс)

---

И эти

[domzorgisto]

Первая панамериканская математическая олимпиада для девочек (PAGMO)

Организаторы: Brasil, Chile, Ecuador, España y México
Участники: Argentina, Bolivia, Brasil, Canadá, Chile, Colombia, Costa Rica, Ecuador, El Salvador, España, Guatemala, México, Panamá, Paraguay, Perú, República Dominicana, Trinidad y Tobago, Venezuela

Problem 1 There are $n \geq 2$ coins numbered from $1$ to $n$. These coins are placed around a circle, not necessarily in order.

In each turn, if we are on the coin numbered $i$, we will jump to the one $i$ places from it, always in a clockwise order, beginning with coin number 1. For an example, see the figure below.

Find all values of $n$ for which there exists an arrangement of the coins in which every coin will be visited.

Problem 2 Consider the isosceles right triangle $ABC$ with $\angle BAC = 90^\circ$. Let $\ell$ be the line passing through $B$ and the midpoint of side $AC$. Let $\Gamma$ be the circumference with diameter $AB$. The line $\ell$ and the circumference $\Gamma$ meet at point $P$, different from $B$. Show that the circumference passing through $A,\ C$ and $P$ is tangent to line $BC$ at $C$.

Problem 3 Let $\mathbb{R}$ be the set of real numbers. Determine all functions $f: \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ so that the equality $$f(x+yf(x+y)) +xf(x)= f(xf(x+y+1))+y^2$$is true for any real numbers $x,y$.

Problem 4 Lucía multiplies some positive one-digit numbers (not necessarily distinct) and obtains a number $n$ greater than 10. Then, she multiplies all the digits of $n$ and obtains an odd number. Find all possible values of the units digit of $n$.

Problem 5 Celeste has an unlimited amount of each type of $n$ types of candy, numerated type 1, type 2, ... type n. Initially she takes $m>0$ candy pieces and places them in a row on a table. Then, she chooses one of the following operations (if available) and executes it:

$1.$ She eats a candy of type $k$, and in its position in the row she places one candy type $k-1$ followed by one candy type $k+1$ (we consider type $n+1$ to be type 1, and type 0 to be type $n$).

$2.$ She chooses two consecutive candies which are the same type, and eats them.

Find all positive integers $n$ for which Celeste can leave the table empty for any value of $m$ and any configuration of candies on the table.

Problem 6 Let $ABC$ be a triangle with incenter $I$, and $A$-excenter $\Gamma$. Let $A_1,B_1,C_1$ be the points of tangency of $\Gamma$ with $BC,AC$ and $AB$, respectively. Suppose $IA_1, IB_1$ and $IC_1$ intersect $\Gamma$ for the second time at points $A_2,B_2,C_2$, respectively. $M$ is the midpoint of segment $AA_1$. If the intersection of $A_1B_1$ and $A_2B_2$ is $X$, and the intersection of $A_1C_1$ and $A_2C_2$ is $Y$, prove that $MX=MY$.

artofproblemsolving.com/community/c2499895

@темы: Олимпиадные задачи, Новости

---

Статград

[domzorgisto]

vk.com/math_for_100?w=wall-74867418_10378

С критериями
math100.ru/oge-statgrad-2190101-05-10-2021/
math100.ru/oge-statgrad-2190102-05-10-2021/
math100.ru/oge-statgrad-2190103-05-10-2021/
math100.ru/oge-statgrad-2190104-05-10-2021/

@темы: ГИА (9 класс)

---

Билеты

[wpoms.]

Имеется `2n+1` билет. Все написанные на билетах числа различны и нет билетов, на которых написано одно и тоже число. Сумма всех написанных на билетах чисел больше 2330, но сумма чисел написанных на любых `n` билетах не превосходит 1165. Чему равно наибольшее значение `n?`

@темы: Теория чисел

---

ЕГЭ, ОГЭ

[domzorgisto]

14 вариантов
may.alleng.org/edu/math3.htm

12 вариантов
may.alleng.org/edu/math7.htm

@темы: ЕГЭ, Литература, ГИА (9 класс)

---

Вертикаль

[domzorgisto]

Итоговые за 7, 8 класс

vk.com/wall-74867418_10359
vk.com/wall-74867418_10361

@темы: Про самолеты

---

Статград

[domzorgisto]

vk.com/math_for_100?w=wall-74867418_10342

С критериями
math100.ru/egeprofil-statgrad-2110109-28-09-202...
math100.ru/egeprofil-statgrad-2110110-28-09-202...
math100.ru/egeprofil-statgrad-2110111-28-09-202...
math100.ru/egeprofil-statgrad-2110112-28-09-202...

@темы: ЕГЭ

---

История

[domzorgisto]

Fukagawa, H. and Pedoe, D. Japanese Temple Geometry Problems : San Gaku
libgen.

Некоторые задачи, плоские и круглые, собранные в этой книге, решены в пособии Карлюченко А.В., Карлюченко О.А. Сангаку. Японская храмовая геометрия. - К.: Сталь, 2012. - 248 с.

P.S. Имеет смысл публиковать задачи из сборника?

@темы: История математики, Литература