8 класс

[domzorgisto]

600831 Arno hat ein Blech Zwetschgenkuchen gebacken. Der Kuchen ist rechteckig, und wenn er abgekühlt ist, will Arno ihn in rechteckige Stücke zerschneiden, das heißt parallel zu den Seiten und durchgehend von Rand zu Rand. Dabei möchte Arno seiner Schwester Iris eine Freude machen. Denn Iris mag am liebsten die knusprigen Randstücke. Also überlegt sich Arno, wie viele Paare $(m, n)$ natürlicher Zahlen es mit folgender Eigenschaft gibt:

Wenn der Kuchen längs in $m$ Streifen und dann nochmals quer in $n$ Streifen geschnitten wird, dann sind von den entstehenden $m \cdot n$ Stücken genau die Hälfte Randstücke.

a) Finde ein solches Paar $(m, n)$ und begründe, warum es den Bedingungen genügt.
b) Finde alle solche Paare $(m, n)$ und begründe, warum sie den Bedingungen genügen.

600832 Von dem berühmten Mathematiker Leonhard Euler (1707--1783) soll folgende Aufgabe stammen: „Ein Amtmann kauft Pferde und Ochsen für insgesamt 1770 Taler. Er zahlt je Pferd 31 Taler und je Ochse 21 Taler. Wie viele Pferde und wie viele Ochsen sind es gewesen?“

Ermittle alle Möglichkeiten, wie viele Pferde und Ochsen der Amtmann zu diesem Preis gekauft haben könnte.

600833 Beweise, dass für alle Punkte $A,$ $B,$ $C,$ $D$ und $E$ gilt:

Wenn die Punkte $A,$ $B,$ $C,$ $D$ und $E$ in dieser Reihenfolge auf einem Kreis $k$ liegen, die Geraden $AC$ und $BE$ aufeinander senkrecht stehen und $\overline{AD}$ ein Durchmesser des Kreises $k$ ist, dann ist das Viereck $BCDE$ ein gleichschenkliges Trapez.

600834 Es sei $ABCDEF$ ein regelmäßiges Sechseck. Die Mittelpunkte der Seiten $\overline{CD}$ und $\overline{DE}$ werden in dieser Reihenfolge mit $M$ bzw. $N$ bezeichnet sowie der Schnittpunkt der Strecken $\overline{AM}$ und $\overline{BN}$ mit $S$.

Untersuche, ob das Dreieck $ABS$ und das Viereck $DNSM$ gleichen Flächeninhalt haben.

600835 Linas Vater erzählt von seinem Einkauf, dass er in vier Geschäften war und insgesamt genau 77{,}75 Euro ausgegeben hat. Beim Bäcker hatte er etwas mehr als 4{,}30 Euro bezahlt. Danach hatte er in der Drogerie mehr als doppelt so viel bezahlt wie beim Bäcker, wobei die Anzahl der Cent gerade war. Danach hatte er im Getränkemarkt mehr als doppelt so viel bezahlt wie beim Bäcker und in der Drogerie zusammen, wobei die Anzahl der Cent ungerade war. Schließlich war Linas Vater noch im Supermarkt. Dort hatte er etwas mehr bezahlt als in den drei anderen Geschäften zusammen.

Untersuche, ob man aus diesen Angaben eindeutig ermitteln kann, wie viel Linas Vater in jedem der vier Geschäfte bezahlt hatte. Falls das möglich ist, gib diese Geldbeträge an.

600836 Untersuche, ob es geordnete Paare $(a, b)$ positiver ganzer Zahlen gibt, für die $a^2 - 2 \cdot b$ und $b^2 - 2 \cdot a$ positive Quadratzahlen sind.

Ожидает перевода.

@темы: Олимпиадные задачи

---

9 класс

[domzorgisto]

600931 Mareike fährt mit dem Fahrrad von Adorf nach Bedorf, Nina fährt dieselbe Strecke in die andere Richtung. Beide fahren zur selben Zeit los. Nach 21 Minuten sind sie 20 km voneinander entfernt. Nach weiteren 35 Minuten sind sie 12 km voneinander entfernt; zu diesem Zeitpunkt ist keine bereits an ihrem Ziel angekommen. Beide fahren die gesamte Strecke mit konstanter Geschwindigkeit, die beiden Geschwindigkeiten können sich aber unterscheiden.

Bestimmen Sie alle Möglichkeiten für die Gesamtlänge der Strecke von Adorf nach Bedorf. Geben Sie dabei jeweils auch geeignete Geschwindigkeiten für Mareike und Nina an.

600932 Gegeben sei ein Quadrat $ABCD$ mit der Seitenlänge 1. Ferner sei $E$ ein Punkt auf der Strecke $AD$. Die Strecke $\overline{BE}$ sei ein Durchmesser eines Kreises $k.$ Der Kreis $k$ schneide die Diagonale $\overline{BD}$ in einem von $B$ verschiedenen Punkt $S$ und berühre die Quadratseite $\overline{CD}$.

Berechnen Sie die Länge der Strecke $\overline{AE}$ und den Flächeninhalt des Dreiecks $EBS$.

600933 Die Marsmenschen haben eine zu unserem gregorianischen Kalender sehr ähnliche Zeitrechnung. Auch sie teilen das Jahr in 12 Monate ein, von denen jeder eine bestimmte Anzahl von Tagen hat, die für den betrachteten Monat jedes Jahr gleich ist mit einer Ausnahme: Manche (aber nicht alle) Jahre sind Schaltjahre, und in diesen hat der zweite Monat des Jahres einen Tag mehr als in Nicht-Schaltjahren.

Über die genaue Länge der einzelnen Marsmonate ist nichts bekannt; man weiß allein, dass jeder Monat mehr als 12 Tage hat. Je 7 aufeinanderfolgende Tage werden zu einer Woche zusammengefasst, die Wochentage wiederholen sich periodisch und heißen wie bei uns.

Für $1 \le t, m \le 12$ und $t \ne m$ bezeichnen wir den $t$-ten Tag des $m$-ten Monats als Spiegeltag, falls er in jedem Jahr auf denselben Wochentag fällt wie der $m$-te Tag des $t$-ten Monats.

a) Beweisen Sie, dass es bei den Marsmenschen mindestens 6 Spiegeltage gibt.
b) Bestimmen Sie alle Spiegeltage in dem bei uns üblichen gregorianischen Kalender.

600934 Wir betrachten die durch die Gleichung \[ f_a(x) = x^2 - 2ax + 5a^2 - 12a \] gegebene Funktionenschar mit reellem Parameter $a.$

a) Bestimmen Sie alle diejenigen Werte für $a,$ für welche die Funktion $f_a(x)$ genau zwei verschiedene Nullstellen hat.
b) Bestimmen Sie unter allen Werten für $a,$ für welche die Funktion $f_a(x)$ genau zwei verschiedene Nullstellen hat, diejenigen, für welche der Abstand dieser Nullstellen maximal ist.

600935 Zur diesjährigen MO-Bundesrunde haben sich Teammitglieder aus den beiden Bundesländern Obersachsen-Holstein (OH) und Anhalt-Südrhein (AS) ein Tippspiel überlegt: Jeder Teilnehmer soll für jedes der beiden Bundesländer vorhersagen, wie viele Punkte von dessen Team insgesamt erreicht werden. Hierbei werden nur positive ganze Zahlen als Tipps akzeptiert.

Ein Tipp für ein einzelnes Bundesland wird daran gemessen, um wie viel Prozent das tatsächliche Ergebnis vom gegebenen Tipp abweicht. Ist beispielsweise für ein Bundesland der Tipp 240 Punkte und das tatsächliche Ergebnis 300 Punkte, so ist der Absolutbetrag der Abweichung 60 (Punkte) und der Fehler gleich 25\%. Ist der Tipp 300 Punkte und das tatsächliche Ergebnis 240 Punkte, so ist der Absolutbetrag der Abweichung ebenfalls 60 (Punkte), aber der Fehler gleich 20\%.

Für jeden Teilnehmer wird auch ein Gesamtfehler durch die Formel \[\frac {\text{Summe der Absolutbeträge der Abweichungen bei den beiden Bundesländern}} {\text{Summe der getippten Punktzahlen für die beiden Bundesländer}} \cdot 100 \% \] berechnet.

a) Zeigen Sie, dass der Gesamtfehler jedes Teilnehmers mindestens so groß ist wie das Minimum seiner Fehler bei den beiden einzelnen Bundesländern und höchstens so groß wie das Maximum seiner Fehler bei den beiden einzelnen Bundesländern.
b) Angenommen, bei jedem der beiden Bundesländer macht Tippspielteilnehmer Anton einen kleineren Fehler als Tippspielteilnehmerin Berta. Kann es sein, dass Berta trotzdem einen kleineren Gesamtfehler hat als Anton?
c) Wie lautet die Antwort auf die Frage aus Teil b), wenn bei jedem Tipp der Fehler für einzelne Bundesländer als \[ \frac {\text{Absolutbetrag der Abweichung}} {\text{Tatsächlich erreichte Punktzahl}} \cdot 100 \% \] und für jeden Teilnehmer der Gesamtfehler durch \[ \frac {\text{Summe der Absolutbeträge der Abweichungen bei den beiden Bundesländern}} {\text{Summe der tatsächlich erreichten Punktzahlen für die beiden Bundesländer}} \cdot 100 \% \] berechnet werden? Gehen Sie hierbei davon aus, dass kein Bundesland mit 0 Punkten nach Hause fahren muss.

Hinweis: Jeder Teilnehmer kann, wie bei den Mathematik-Olympiaden üblich, eine Punktzahl $p$ erreichen, wobei p eine ganze Zahl mit $0 \le p \le 40$ ist.

600936 Wir betrachten in dieser Aufgabe eine gerade quadratische Pyramide. Im Inneren dieser Pyramide liege ein Würfel, der mit seiner Grundfläche auf der Grundfläche der Pyramide steht. Weiterhin sollen die Eckpunkte der Deckfläche des Würfels auf den Seitenkanten der Pyramide liegen.

Die Länge der Grundkanten der Pyramide wird im Folgenden mit $a,$ die Länge ihrer Höhe mit $h$ und schließlich die Länge der Würfelkanten mit $b$ bezeichnet.

a) Zeigen Sie, dass dann die Gleichung $b = \frac {a\cdot h}{a+h}$ gilt.
b) Geben Sie ein Beispiel an, bei dem $a,$ $h$ und $b$ positive ganze Zahlen sind und die Gleichung aus Teil a) gültig ist.
c) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von $b$ alle Paare $(a, h)$ positiver ganzer Zahlen, wenn $b$ eine Primzahl ist und die Gleichung aus Teil a) erfüllt sein soll.

Переведено.

@темы: Олимпиадные задачи

---

Объект «пирамидальной формы»

[domzorgisto]

"Объект «пирамидальной формы» был снят экипажем военного корабля США USS Russell у побережья Сан-Диего в июле 2019 года. Подлинность видео подтвердил Пентагон. Об этом пишет Daily Star со ссылкой на экс-сенатора Гарри Рида (Harry Reid). Речь идет о преследованиях военных кораблей США неким объектом «пирамидальной формы». Рид считает, что НЛО действовали по приказу российского лидера, и сомневаться в этом «нет никакого смысла»".

10 класс

601031 Mareike fährt mit dem Fahrrad von Adorf nach Bedorf, Nina fährt dieselbe Strecke in die andere Richtung. Beide fahren zur selben Zeit los. Nach 21 Minuten sind sie 20 km voneinander entfernt. Nach weiteren 35 Minuten sind sie 12 km voneinander entfernt; zu diesem Zeitpunkt ist keine bereits an ihrem Ziel angekommen. Beide fahren die gesamte Strecke mit konstanter Geschwindigkeit, die beiden Geschwindigkeiten können sich aber unterscheiden.

Bestimmen Sie alle Möglichkeiten für die Gesamtlänge der Strecke von Adorf nach Bedorf. Geben Sie dabei jeweils auch geeignete Geschwindigkeiten für Mareike und Nina an.

601032 Die Marsmenschen haben eine zu unserem gregorianischen Kalender sehr ähnliche Zeitrechnung. Auch sie teilen das Jahr in 12 Monate ein, von denen jeder eine bestimmte Anzahl von Tagen hat, die für den betrachteten Monat jedes Jahr gleich ist mit einer Ausnahme: Manche (aber nicht alle) Jahre sind Schaltjahre, und in diesen hat der zweite Monat des Jahres einen Tag mehr als in Nicht-Schaltjahren.

Über die genaue Länge der einzelnen Marsmonate ist nichts bekannt; man weiß allein, dass jeder Monat mehr als 12 Tage hat. Je 7 aufeinanderfolgende Tage werden zu einer Woche zusammengefasst, die Wochentage wiederholen sich periodisch und heißen wie bei uns.

Für $1 \le t, m \le 12$ und $t \ne m$ bezeichnen wir den $t$-ten Tag des $m$-ten Monats als Spiegeltag, falls er in jedem Jahr auf denselben Wochentag fällt wie der $m$-te Tag des $t$-ten Monats.

a) Beweisen Sie, dass es bei den Marsmenschen mindestens 6 Spiegeltage gibt.
b) Bestimmen Sie alle Spiegeltage in dem bei uns üblichen gregorianischen Kalender.

601033 Einen Punkt im kartesischen Koordinatensystem nennen wir rational, wenn beide Koordinaten rationale Zahlen sind. Eine Gerade nennen wir rational, wenn sie einer Gleichung $ux+vy = w$ mit ganzen Zahlen $u,$ $v$ und $w$ genügt, wobei $u$ und $v$ nicht gleichzeitig null sein dürfen.

Wir betrachten nun den Einheitskreis, beschrieben durch die Gleichung $x^2 + y^2 = 1.$

a) Weisen Sie nach, dass jede rationale Gerade, die den Einheitskreis nicht tangiert, mit dem Kreis entweder keinen oder genau 2 gemeinsame rationale Punkte hat.
b) Zeigen Sie, dass jeder von $(-1, 0)$ verschiedene rationale Punkt des Einheitskreises auf einer rationalen Geraden durch den Punkt $(-1, 0)$ liegt. Bestimmen Sie anschließend die Koordinaten dieses rationalen Punktes in Abhängigkeit von den Parametern $v$ und $w$ der Gleichung $ux + vy = w$ der zugehörigen rationalen Geraden.
c) Zeigen Sie: Zu jedem Zahlentripel $(a, b, c)$ nichtnegativer ganzer Zahlen mit $a^2 + b^2 = c^2$ und einander teilerfremden $a$ und $b,$ wobei $b$ gerade ist, existieren zwei teilerfremde ganze Zahlen $v$ und $w$ mit $0 \le w < v$ derart, dass $a = v^2 - w^2,$ $b = 2vw$ und $c = v^2 + w^2$ gilt.

601034 Wir betrachten die durch die Gleichung \[ f_a(x) = x^2 - 2ax + 5a^2 - 12a \] gegebene Funktionenschar mit reellem Parameter $a.$

a) Bestimmen Sie alle diejenigen Werte für $a,$ für welche die Funktion $f_a(x)$ genau zwei verschiedene Nullstellen hat.
b) Bestimmen Sie unter allen Werten für $a,$ für welche die Funktion $f_a(x)$ genau zwei verschiedene Nullstellen hat, diejenigen, für welche der Abstand dieser Nullstellen maximal ist.

601035 Für die nächste Bundesrunde der Mathematik-Olympiade haben sich die Organisatoren ein Tippspiel überlegt: Jeder Teilnehmer soll für jedes der 16 teilnehmenden Bundesländer vorhersagen, wie viele Punkte von dessen Team insgesamt erreicht werden. Hierbei werden nur positive ganze Zahlen als Tipps akzeptiert.

Ein Tipp für ein einzelnes Bundesland wird daran gemessen, um wie viel Prozent das tatsächliche Ergebnis vom gegebenen Tipp abweicht. Ist beispielsweise für ein Bundesland der Tipp 240 Punkte und das tatsächliche Ergebnis 300 Punkte, so ist der Absolutbetrag der Abweichung 60 (Punkte) und der Fehler gleich 25\%. Ist der Tipp 300 Punkte und das tatsächliche Ergebnis 240 Punkte, so ist der Absolutbetrag der Abweichung ebenfalls 60 (Punkte), aber der Fehler gleich 20\%.

Für jeden Teilnehmer wird auch ein Gesamtfehler durch die Formel \[ \frac {\text{Summe der Absolutbeträge der Abweichungen bei den 16 Bundesländern}} {\text{Summe der getippten Punktzahlen für die 16 Bundesländer}} \cdot 100 \% \] berechnet.

a) Zeigen Sie, dass der Gesamtfehler jedes Teilnehmers mindestens so groß ist wie das Minimum seiner Fehler bei den 16 einzelnen Bundesländern und höchstens so groß wie das Maximum seiner Fehler bei den 16 einzelnen Bundesländern.
b) Angenommen, bei jedem Bundesland macht Tippspielteilnehmer Anton einen kleineren Fehler als Tippspielteilnehmerin Berta. Kann es sein, dass Berta trotzdem einen kleineren Gesamtfehler hat als Anton?
c) Wie lautet die Antwort auf die Frage aus Teil b), wenn bei jedem Tipp der Fehler für einzelne Bundesländer als \[\frac {\text{Absolutbetrag der Abweichung}}{\text{Tatsächlich erreichte Punktzahl}} \cdot 100 \%\] und für jeden Teilnehmer der Gesamtfehler durch \[ \frac {\text{Summe der Absolutbeträge der Abweichungen bei den 16 Bundesländern}}{\text{Summe der tatsächlich erreichten Punktzahlen für die 16 Bundesländer}} \cdot 100\% \] berechnet werden? Gehen Sie hierbei davon aus, dass kein Bundesland mit 0 Punkten nach Hause fahren muss.

Hinweis: Jeder Teilnehmer kann, wie bei den Mathematik-Olympiaden üblich, eine Punktzahl $p$ erreichen, wobei $p$ eine ganze Zahl mit $0 \le p \le 40$ ist.

601036 In der Ebene sind ein rechtwinkliges Dreieck $MKZ$ mit der Hypotenuse $MZ$ und der Kreis $k$ durch $K$ mit Mittelpunkt $Z$ gegeben. Weiter sei $k'$ ein Kreis, dessen Mittelpunkt auf der Verlängerung der Strecke $\overline{MK}$ über $K$ hinaus liegt, der durch $K$ verläuft und der die Winkelhalbierende des Winkels $\angle KMZ$ berührt.

a) Der Punkt $P$ liege so auf $k,$ dass die Strecke $PM$ den Punkt $Z$ enthält. Weiter sei $X$ der Punkt der Strecke $PM,$ für den $|MX| = |MK|$ gilt. Zeigen Sie, dass $|\angle PKX| = 45^\circ$ ist.
b) Zeigen Sie, dass der Schnittpunkt $Y$ der Winkelhalbierenden des Winkels $\angle KMZ$ mit der Strecke $\overline{PK}$ auf dem Kreis mit Durchmesser $\overline{XP}$ liegt.
c) Zeigen Sie, dass kein Punkt des Kreises $k'$ außerhalb des Kreises durch $P$ mit dem Mittelpunkt $M$ liegt.

Переведено.

@темы: Олимпиадные задачи

---

История

[domzorgisto]

Очередная реконструкция облика Ивана палка галка Грозного.
На этот раз с помощью нейросети.

В этом году проходят юбилейные олимпиады в Болгарии, Германии, Чехословакии. Понятно, что переводить имеет смысл немецкую олимпиаду. Присоединяйтесь!

Задания третьего (земельного) этапа олимпиады.

11-12 классы.

601231 Man ermittle alle Paare $(x, y)$ reeller Zahlen, die das Gleichungssystem \[ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{25}{12},\ (1) \qquad x^2 - y^2 = 7\ (2) \] erfüllen.

601232 Gegeben ist ein Parallelogramm $ABCD$ mit dem Flächeninhalt $I.$ Über den Seiten werden nach außen Quadrate konstruiert. Die Mittelpunkte dieser vier Quadrate bilden ein Quadrat mit dem Flächeninhalt $Q_a.$ Weiterhin werden über den Seiten des Parallelogramms $ABCD$ nach innen Quadrate konstruiert. Die Mittelpunkte dieser vier Quadrate bilden ebenfalls ein Quadrat. Sein Flächeninhalt sei $Q_i.$

Man beweise, dass $Q_a - Q_i = 2I$ gilt.

601233 Für eine positive ganze Zahl $n$ werden quadratische Kuchen betrachtet, die in $n \times n$ quadratische Stücke geschnitten sind, wobei sich auf jedem der Stücke höchstens eine Erdbeere befindet. Ein solcher Kuchen heiße lecker, falls beide Diagonalen vollständig belegt sind und in jeder Zeile und jeder Spalte jeweils eine ungerade Anzahl von Erdbeeren liegt.

Man bestimme alle positiven ganzen Zahlen $n,$ für die es einen leckeren Kuchen mit genau
$\lceil n^2/2 \rceil$ Erdbeeren gibt.

Hinweis: Für eine reelle Zahl $x$ bezeichnet $\lceil x \rceil$ die kleinste ganze Zahl $m,$ die $m \ge x$ erfüllt.

601234 Die 60. Mathematik-Olympiade findet in den Jahren 2020 und 2021 statt. Emilia fällt bei der Vorbereitung auf, dass das Produkt $20\cdot21$ der beiden aus Zehner- und Einerziffer gebildeten zweistellig abgekürzten Jahreszahlen 20 und 21 durch die Jahrgangsnummer 60 teilbar ist, während im kommenden Jahr 61 kein Teiler von $21\cdot22$ ist. Sie fragt sich nun, ob eine derartige Teilbarkeit häufiger vorkommt.

Man bestimme alle Jahrgänge von der 40. Mathematik-Olympiade in den Jahren 2000 und 2001 bis zur 138. Mathematik-Olympiade in den Jahren 2098 und 2099, für die das Produkt der beiden zweistellig abgekürzten Jahreszahlen durch die Jahrgangsnummer teilbar ist.

601235 Die Kreise $k_1$ und $k_2$ schneiden sich in zwei Punkten und liegen innerhalb des Kreises $k,$ der die Kreise $k_1$ und $k_2$ in den Punkten $P$ beziehungsweise $Q$ so berührt, dass einer der Schnittpunkte von $k_1$ und $k_2$ auf der Strecke $\overline{PQ}$ liegt (Abbildung A 601235).
Man beweise, dass dann für die Radien $r_1,$ $r_2$ und $r$ der Kreise $k_1,$ $k_2$ und $k$ gilt: $r_1 + r_2 = r.$

601236 Für welche positiven ganzen Zahlen $n$ ist \[ \sum^{n^2}_{k=1} \left\lfloor \frac52 + \sqrt{k} \right\rfloor \] eine Primzahl?

Hinweis: Für eine reelle Zahl $x$ bezeichnet $\lfloor x \rfloor$ die größte ganze Zahl, die nicht größer als $x$ ist.

Переведено.

@темы: Олимпиадные задачи

---

2021

[domzorgisto]

На плоскости лежит 2021 точка, некоторые из них черные, остальные - зеленые. Каждая черная точка находится на расстоянии 2021 ровно от двух зеленых точек. Чему равно наименьшее возможное количество зеленых точек?

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Функции

[wpoms.]

Найдите все функции $f,$ определённые на множестве действительных чисел и принимающие действительные значения, такие, что $f(x^2 + f(y)) = f(xy)$ для всех действительных чисел $x$ и $y.$

@темы: Функции

---

Гуго Штейнгауз

[domzorgisto]

16.10.2014 в 01:51

Пишет [J]sexstant[/J]:

Замечательный польский математик Гуго Штейнгауз (1887-1972) написал много популярных книг по математике.
В этой заметке я хочу рассказать о его книге «Сто задач».

С 1948 года в Польше стал выходить математический журнал для учителей: Matematyka. Czasopismo dla nauczycieli. Раз в два месяца в нем публиковались задачи для читателей. Автором многих интересных и оригинальных задач был Гуго Штейнгауз.

В 1958 в Польше на польском языке вышла его книга, в которую вошли 100 его задач из этого журнала:
Steinhaus H. 100 zadań. – Warszawa, 1958. - 193 р.

В 1959 в СССР эта книга была сразу же переведена на русский язык:
Штейнгауз Г. Сто задач. - М.: Физматлит, 1959. - 156 стр.

В 1963 в Польше вышел уже английский перевод этой книги. Были добавлены новые задачи, а часть исключена:
Steinhaus H. - One Hundred Problems in Elementary Mathematics. Warszawa, 1963.
В 1964 в США этот английский вариант был издан с предисловием М.Гарднера:

Steinhaus H. - One Hundred Problems in Elementary Mathematics. 1964 -174 p. скачать с libgen.org

В 1976 в СССР выло второе издание польской книги "Сто задач" , но ее дополнили новыми задачами из английского перевода. Все последующие издания были стереотипными:
Штейнгауз Г. Сто задач. - М.: Наука, ФМ, 1976. - 146 стр.
Штейнгауз Г. Сто задач. - М.: Наука, ФМ, 1982. - 156 стр.
Штейнгауз Г. Сто задач. - М.: Наука, ФМ, 1986. - 156 стр.

В 1972 году в СССР известным переводчиком почти всей научно-популярной литературы по физике и математике (!) 70-80-хх годов Даниловым Ю.А. были отобраны еще сто задач Штейнгауза:
Штейнгауз Г. Задачи и размышления. - М.: Мир, 1972. - 400 стр.

Таким образом на русском языке имеется всего две книги задач Штейнгауза: "Сто задач" и "Задачи и размышления".

Но

В 1973 в ГДР выходит его книга на немецком языке, в которую вошли еще 100 новых задач. Причем в выходных данных была указана ссылка на перевод с несуществующей английской книги «Two Hundred Problems»:

Steinhaus H. 100 Neue Aufgaben Elementare Mathematik. Urania-Verlag, 1973 -176.p. скачать djvu (3,53 Мб) Эта книга попалась мне лет 20 назад на распродажи одной библиотеки. Это была вторая часть немецкого сборника задач Штейнгауза. Первую часть я не стал покупать, поскольку посчитал что она совпадает с нашей книгой. Может быть так и есть, но теперь я уже не уверен . В Польше тоже ничего не знают по этому поводу и переиздают именно этот немецкий вариант.

Меня заинтересовала задача №94 из этой книги:

Задача: Спрятанное сокровище Это был первый случай, когда доктор Абракадабра помогал Шерлоку Холмсу. Искали золотой ларец с алмазом. Ларец был спрятан в одном из многочисленных заброшенных колодцев города. Ватсон нашел чертеж (см.), на котором было изображено осевое сечения искомого колодца. По-видимому преступники использовали длинную палку, которая соединяла верхний край колодца с противоположной точкой на дне колодца. На чертеже число 3 означает, что длина диагонали составляет три ярда (1 ярд = 0,9144 м). Кольцо R скрепляло эту палку с другой наклонной палкой длиной 2, которая исходила из нижней точки дна колодца диаметрально противоположной первой стенке. Ларец был опущен на дно колодца с помощью веревки от точки R и там зарыт. После долгого молчания Шерлок Холмс заметил, что преступники хоть и были очень точны в указании размеров, но их рисунок сделан без должного соблюдения масштаба. Единственно, что он хотел бы знать, так это точный диаметр колодца. Вот если ли бы доктор Абракадабра смог подсказать ему диаметр колодца с точностью до одного дюйма (1 дюйм = 0,0254 м), то тогда он нашел бы этот колодец за час! Можем ли мы помочь Шерлоку Холмсу?

Вы наверное узнали эту задачу ?!

задачка из журнала djvu (1,00 Мб) Впервые с этой задачей мы ознакомились в 1966 году в январском номере журнала Наука и жизнь в рубрике «Математические досуги». Автором был указан С.Тымовский (г.Варшава). В заметке также упоминается «известный» египтолог В.Т.Детрие, который ныне на просторах Интернета совершенно не проглядывается . Так что задача эта наша современница и родом из Польши. А то я видел статьи о божественности данной задачи

Можете сравнить решение Штейнгауза. На мой взгляд оно красивее приведенных в журнале. К тому же легко реализуется, например в Excel.

Я уверен, что автором этой задачи является Гуго Штейнгауз.

@темы: Интересная задача!, Литература

---

Продолжение

[domzorgisto]

29 апреля девятиклассники матвертикали имели возможность еще раз написать контрольную по твисту.

Джим Керри и Джефф Дэниэлс, 1994

Формулировку девятой задачи поменяли и теперь она выглядит так:

Перед скачками обязательно проводится взвешивание жокеев. В заезде участвуют четыре жокея – Андрей, Борис, Владимир и Григорий. При взвешивании выяснилось, что вес у всех разный и что Андрей легче Владимира, а Владимир легче Григория. Какова вероятность того, что Борис окажется тяжелее Григория?

drive.google.com/file/d/1PX4EhJ_HoaD19wrxixW7-M...

Выберите ответ. При желании напишите, как вы его получили.

Вопрос: Ответ

1. 1/2		3	(50%)
2. 1/3			(0%)
3. 1/4		2	(33.33%)
4. 1/5		1	(16.67%)
5. 1/6			(0%)
6. 1/7			(0%)
Всего:		6

@темы: Теория вероятностей

---

Праздничная песня

[domzorgisto]

@темы: Праздники

---

Шашки

[domzorgisto]

Новости культуры. В Петербурге экскурсоводы не смогли поделить смотровую площадку.

Новости спорта.

Dany jest trójkąt równoramienny $ABC,$ w którym $AB = AC.$ Punkt $I$ jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $ABC.$ Prosta $BI$ przecina bok $AC$ w punkcie $D.$ Punkt $D$ jest środkiem odcinka $IX.$ Punkt $O$ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $BCX.$ Udowodnić, że proste $OD$ i $AC$ są prostopadłe.

@темы: Планиметрия

---

Доказать оценку:

[MisteryS]

Необходимо доказать, что данный интеграл оценивается именно таким образом:
`(∫_0^t (φ )^(p' ) (τ)dτ)^(1/p' )≥φ(t) t^(1/p' )`

Подскажите, пожалуйста, как получить такую оценку....не могу понять(

@темы: Математическая статистика, Функции нескольких переменных

---

Доброта спасет

[domzorgisto]

Новости культуры. Трое петербуржцев подрались в театре на Рубинштейна

Методика преподавания. Телеграм-канал Олимпиадная геометрия (@olympgeom) пишет: Федор Петров сдержал обещание и разобрал одну из геометрий со Всероссийской. Смотреть приблизительно с 11:30, очень красивое решение задачи 11.4. Правда, где-то в середине Федору пришлось проконсультироваться по телефону...

История. Результаты контрольной по ТВиСТу 9 классов матвертикали улучшались корректировались трижды - учителями, ЦПМ и ЦПМ. Удивительно, что организаторы не смогли с одной попытки достичь желаемого.
     26.04 Будьте внимательны. В Статграде появились обновленные протоколы работы 1 апреля и там есть оценки.
     28.04 Обновились протоколы еще раз. В них поправили ошибки.
„Неважно, как проголосовали, — важно, как подсчитали.“ — Иосиф Виссарионович Сталин. Впервые появилась в мемуарах перебежчика Б. Бажанова (во Францию, 1.1.1928), впервые опубликованных в 1930 г. на французском языке под заглавием «Со Сталиным в Кремле». Согласно Бажанову, фраза была произнесена на заседании Политбюро в дек. 1923 г., речь шла о голосовании в местных парторганизациях об отношении к платформе Л. Троцкого. Полная цитата: "Знаете, товарищи, — говорит Сталин, — что я думаю по этому поводу: я считаю, что совершенно неважно, кто и как будет в партии голосовать; но вот что чрезвычайно важно, это — кто и как будет считать голоса". Другие источники утверждают, что фраза была якобы произнесена на XVII съезде ВКП(б) в 1934 г. по поводу процедуры выборов Генерального секретаря ВКП(б). Также приписывалась диктатору Никарагуа Анастасио Сомосе (младшему) в виде «Вы выиграли выборы, а я — подсчёт голосов»

@темы: Олимпиадные задачи

---

Выпуск традиционного ежегодного сборника "Все задачи муниципального этапа ВОШ"

[wpoms.]

задерживается. Нет информации о задачах, использовавшихся в нескольких субъектах:

01 - Республика Адыгея
04 - Республика Алтай
06 - Республика Ингушетия
10 - Республика Карелия
13 - Республика Мордовия
17 - Республика Тыва
20 - Чеченская Республика
21 - Чувашская Республика
22 - Алтайский край
25 - Приморский край
34 - Волгоградская область
45 - Курганская область
49 - Магаданская область
51 - Мурманская область
60 - Псковская область
62 - Рязанская область
65 - Сахалинская область
69 - Тверская область
73 - Ульяновская область
75 - Забайкальский край
79 - Еврейская автономная область
83 - Ненецкий автономный округ
92 - Севастополь

@темы: Новости

---

Разности

[wpoms.]

Даны пять различных целых чисел. Рассмотрим десять разностей, образованных парами этих чисел. (Отметим, что некоторые из этих разностей могут быть равны.) Определите наибольшее целое число, которое будет делителем произведения этих десяти разностей вне зависимости от выбора пяти исходных целых чисел.

@темы: Теория чисел

---

Предложение

[webmath]

Несколько лет - без своего сайта. Работаю в Донецке, любые виды платежей в России - проблема. Нужна помощь с хостингом, а материала с живой математикой (и не только) - тьма. Пропадет для широкой аудитории. Может, кого-то заинтересует совместный проект?

запись создана: 13.04.2021 в 18:32

@темы: Поиск

---

Журбин

[domzorgisto]

Прочитал о том, как в советские времена находившаяся у нас с официальным визитом депутат мексиканского парламента, музыкант в прошлой жизни, попросила познакомить ее с кем-то из советских деятелей искусств. Ее отвели к композитору Журбину. Тот распустил хвост, пел песни, рассказывал про 2000 постановок "Орфея и Эвридики", тетка млела, композитор Журбин расцветал, дарил пластинки и всячески выказывал немножко снисходительное внимание. Чиста из вежливости попросил гостью сыграть что-нибудь. Та долго отказывалась, а потом сказала, что в молодости тоже написала одну песенку, и сейчас, хоть ей и очень не ловко, она сыграет. Песенка называлась "Bésame mucho", а женщину звали Консуэло Веласкес.

www.facebook.com/sergey.maximishin/posts/453182...

Sea $AB$ un diámetro de una circunferencia de radio $5\sqrt{2}$. Sea $CD$ una cuerda en el círculo que corta a $AB$ en un punto $E$ de tal forma que $\angle AEC = 45^\circ$. ¿Cuál es el valor de $CE^2 + DE^2$?

@темы: Планиметрия

---

Компьютеры

[domzorgisto]

Новости культуры. В Питере подрались из-за места в читальном зале библиотеки.
Технологии. Почтальонов 20 лет сажали в тюрьму из-за ошибки в По.
https://www.cnews.ru
Олимпиады. На финале некоторым школьникам скорректировали уменьшили опубликованные в личных кабинетах баллы еще до апелляции. Но было и хорошее, одному школьнику удалось объяснить свое решение членам жюри и он получил 7 баллов за задачу вместо 0. Да что же за жюри работало на олимпиаде? После олимпиады стало очевидно, что провальное выступление московской команды может быть связано с вредительской деятельностью той же группы товарищей.

Ирина Хованская
Вспомнив печальные разговоры в разных Московских кругах, посмотрела на состав жюри заключительного этапа на предмет аффилированности с конкретными школами. Впечатляет

Константин Кноп
Ирина Хованская а как помогает или мешает аффилированность при проверке работ вслепую?

Рубанов Игорь
Ирина Хованская За честность работы жюри заключительного этапа ручаюсь головой. Разговоры в московских кругах печальны самим своим фактом.

Константин Кноп
Игорь , на чужой роток не накинешь платок. Просто надо понять, что такие разговоры теперь будут всегда. И если прогнуться и устраивать ротацию жюри, - тоже будут. Мне кажется, что аргумент «у нас нет случайных победителей, все подтверждают свои умения на международном уровне» работает как минимум не хуже, чем порука головой.

Рубанов Игорь
Константин Кноп На чужой не собираюсь накидывать. Но и на свой - тоже. Хорошо тебе известные разговоры в НЕмосковских кругах об олимпиадах в Москве огорчают меня не меньше.

Ирина Хованская
Мне сложно поддерживать этот разговор, т.к. я довольно сильно вне олимпиадного контекста. Но в взгляд извне контекста как раз подсказывает, что лучше, когда судят те, кто лично не заинтересован. Константин Кноп (Konstantin Knop) , про не случайных можно сказать, что те, кто не попали на межнар, у тех и шансов подтвердить состоятельность не было. Но, ещё раз оговорюсь, я просто проговариваю формальные возражения, я не внутри, не в курсе, не имею в виду никого и ничего конкретного.

Рубанов Игорь
Ирина Хованская Такие формальные возражения крайне опасны, ибо склоняют начальство к мысли, что из жюри олимпиад надо удалить всех, кто учит детей. Олимпиада была задумана не как изолированное соревнование, а как звено в работе с одаренными детьми. Поэтому жюри олимпиады ДОЛЖНО состоять из людей, работающих с детьми. Цена их удаления из жюри ради абстрактной "борьбы с коррупцией" (Генпрокуратура, инициировавшая идею ротации жюри на всех уровнях, аплодирует!) будет чудовищно высока.

Константин Кноп
Ирина Хованская Смотрите, тут вовсе не надо быть "в контексте". Как может (абстрактный коррумпированный) член жюри повлиять на результаты и исказить объективную картину?
Вариант А. Он каким-то чудом умеет отличать почерка "своих" от "чужих", при этом чужих безжалостно пессимизирует до такой степени, что у них просто не остается шансов.
Это очень странный вариант, потому что каждую работу школьника читает не один член жюри, а минимум 8 разных - в каждый день по каждой задаче своя бригада. Ни у кого из жюри нет шансов "повлиять" более чем по двум задачам из восьми. (Мне кажется, что этот аспект работы зря не объясняют в публичном поле, потому что его понимание сильно облегчает доказательство того, что такой вариант нереализуем)
Вариант Б. Член жюри, заранее зная задачи, "сливает" их своим ученикам. Либо ученикам своего кружка, либо (на сборах) ученикам своего региона. "Слив" может быть не самым "палевным" - например, можно просто активно тренировать те методы, которые помогают решить конкретные задачи этого класса.
Это менее странный вариант, и насколько я знаю, большинство конспирологических теорий про аффилированных членов жюри так или иначе подразумевают именно его. Но тогда, очевидно, результатом олимпиады должно стать неединичное появление "странных победителей", то есть таких детей, которые хорошо "умеют решать" задачи только тех олимпиад, в составлении которых участвует их учитель/тренер. Именно здесь и начинает работать аргумент про сборы к межнару: вот мы каждый год берем достаточно широкий слой победителей (~60-70) и начинаем их всех одинаково тренировать, а также проверять их умения решать задачи самого разного происхождения. Если "странные победители" существуют, то они должны прекрасно выявляться такими испытаниями - попросту говоря, проваливаться на них. Но такого фактически нет.
Результаты на разных задачах у разных детей, несомненно, отличаются, но в целом корреляция с любой отдельной олимпиадой (в том числе и Всероссом) положительна.

Григорий Кондаков
Константин Кноп конечно работает Вариант Б, причем не так примитивно, как ты описываешь, а несколько сложнее, так как речь идет не о разовом мероприятии, а системе в которой ученик участвует в олимпиадах годами. Это по большому счету профессиональный спорт, примерно как фигурное катание. В фигурном катании идею, что в качестве арбитров будут выступать тренеры детей, по понятным причинам давно признали плохой. Казалось бы математики с их высоким айкью и знанием теории игр (надеюсь) могли бы это тоже понять. Но увы. Эмоции сильнее.
В плане сфокусированности на олимпиадах по математике Питер уже более сорока лет является явным лидером. Продвинутые олимпиадные кружки с пятого класса были еще в восьмидесятые годы, если мне не изменяет память. Поэтому ничего удивительного в том,что если нет четкой регламентации правил, то наблюдается подмеченный Ирина Хованская эффект. И если в Москве будут такие же преподаватели энтузиасты олимпиад как в Питере, то результаты скорее всего тоже изменятся.

Константин Кноп
Григорий Кондаков обрати внимание на подмену тезиса. В фигурном катании, да и в любом спорте с арбитрами нет анонимного оценивания. Арбитр всегда знает, кого он судит. В Евровидении, хоть это и не спорт, это попытались решить через невозможность проголосовать за "своего", - после этого возникли разные кооперации между странами-соседями.
И самое главное - поскольку участники соревнуются не друг против друга, а против задач, а жюри не влияет на выбор задач для соревнования (это делает ЦПМК), то аффилированность надо смотреть вообще НЕ ДЛЯ ЖЮРИ.

Константин Кноп
А с тезисом "если в кружке больше учить олимпиадным вещам и меньше учить другим вещам, то результаты на олимпиаде, скорее всего, вырастут" я, безусловно, согласен. Проблема с ним только в том, что есть не так много вещей, которые являются чисто олимпиадными. И не так много вещей, которым можно научить школьника, но которые при этом будут заведомо неприменимы ни на каких олимпиадах.
Ну вот такая вот диалектика. Нет границы между олимпиадностью и наукой.

Майя Мустафина
Константин Кноп , зашла на днях в один почти анонимный (со всеми вытекающими) родительский чат, где мамки обсуждали результаты 9 класса. Понятно, что одни эмоции. Но один аргумент показался мне интересным, поскольку мама пыталась провести анализ с цифрами. Она сравнила распределение дипломов победителя в 9 классе в 2019 и 2021 году. Указала, что в 2019 дипломы получили дети с 50 и 49 баллами, третий в списке с 43 баллами был уже призером. В 2021 году победителей в 9 классе 10 ребят (от 49 и до 39 баллов включительно). И, конечно, оказалось что в 2019 и первые два победителя и третий призер из Москвы, а в 2021 нижние победители с 39 из Санкт-Петербурга. Далее шел вывод о том, какой регион имеет более сильные позиции в жюри и об отношении регионов между собой.
Возникает вопрос, может быть возможно как то регламентировать распределение дипломов, чтобы нельзя было предъявить аргументированную претензию. Если же этот процесс уже регламентирован, то можно ли огласить регламент? Например, почему дали победителя детям с 39 в 9 классе, а не, например, детям с 44 в 11-м?

Константин Кноп
Майя Мустафина давайте расскажу по порядку. И то, что регламентировано, и практику "правоприменения".
1. У жюри Всеросса нет строгих рамок для определения границ дипломов, кроме одной, установленной Министерством - нельзя давать диплом призёра участникам, набравшим менее 50% от максимально возможной суммы баллов. Так как исторически все задачи по математике оцениваются в 7 баллов, то максимальный балл 56, а нижняя граница дипломов, тем самым, - 28.
А, ну еще есть какой-то лимит "45%". Не более указанного количества от всех участников финального этапа могут стать его призёрами. Вроде бы мы почти никогда столько не награждаем. Но право есть.
2. Обе границы - и нижняя граница победителей, и нижняя граница призёров, - устанавливаются решением жюри "втёмную". До разбора, до показа работ, до вскрытия шифров. То бишь практически никто никого в этот момент не знает. (В этом году как-то так случилось, что несколько членов жюри по какой-то уважительной причине узнали расшифровку для части участников. Они не принимали участие в этом голосовании.)
3. После всех апелляционных процедур происходит финальное заседание жюри, на котором все утверждается уже "в открытую". На нем на голосование ставится единственный вопрос - "утвердить ли ранее принятые границы для дипломов призёров и победителей" - и сколько я помню такие заседания, голосование по этому пункту обычно единогласно. Потом еще дополнительно голосуются спецпризы и похвальные грамоты, но это уже мелочи.
Теперь неформальности.
4. Математическое жюри стремится к тому, чтобы границы проводились не только "в баллах", но прежде всего по "содержательным достижениям". Например, по 5 с половиной задачам. Или по 5 задачам. Половиной задачи обычно считается набор хотя бы 4 баллов по ней (иногда - и 3 тоже, но это еще и от задачи зависит). Однако из-за мелких недочётов дети с указанным числом задач могут быть в таблице довольно далеко друг от друга, а между ними могут вклиниться и другие с меньшим числом решенных задач. Во всех таких случаях жюри старается провести границу по _нижнему_ участнику с указанным числом задач, а всех, кто набрал не меньше набранного им числа баллов, считает "подклеившимися" и также получившими право на соответствующий диплом.
5. Именно пункт 4 (применённый втёмную к списку участников) оставляет жюри не очень много вариантов разумно выбрать две границы, поэтому не стоит удивляться, что в одном году так, а в другом эдак. Задачи были разными, достижения победителей тоже были разными, в одном случае подклеилось больше участников, в другом - никто не подклеивался...
Из каких они при этом регионов, ВООБЩЕ никем не может быть учтено и проконтролировано.
6. Конкретно по 9 классу этого года я еще не успел забыть расклад.
Мы проголосовали за проведение границы победителей по шести решенным задачам - последний из таких участников в момент заседания "втёмную" имел 39 баллов, у него были решены 5 задач и две "половинки".
Ниже него не было ни одного участника даже с 5.5 задачами, так что эта граница представлялась самой естественной из возможных. Но ее можно было сформулировать и как "6 задач", и как "5.5 задач". Мы голосовали даже не две, а три разных альтернативы в этом месте - подробности я, с вашего позволения, опущу. Победил именно вариант "6". Позднее выяснилось, что если бы мы проголосовали за 5.5, то после апелляции к победителям бы добавилось еще сколько-то участников - точнее, один бы добавился, а остальные подклеились бы к добавленному. Так что задним числом мы понимаем, что даже этот выбор на первом голосовании был сделан правильно.
Надеюсь, что ответил достаточно полно

Майя Мустафина
Константин Кноп , спасибо за подробный ответ.

Dimitri Zvonkine
У меня вот был такой случай. Мы в Париже проверяли работу школьника из Лиона. Он попытался решить геометрическую задачу подсчётом в координатах, исписал 4 страницы вычислениями, ошибся и ничего не доказал. Мы, ничтоже сумняшеся, поставили 0 баллов. Понятно, что решать таким способом геометрию, значит идти ва-банк: удалось досчитать -- молодец, не удалось -- увы.
Однако руководитель главного лионского кружка (сам бывший олимпиадник) был искренне шокирован нашей оценкой. Он заметил, что первые две с половиной страницы вычислений верны, а если на третьей исправить одну ошибку и провести ещё одно преобразование, то получится решение. На его взгляд, мы должны были поставить 5 баллов.
Это я всё к тому, что теоретически могу себе представить эффект местной культуры на количество баллов. В данном случае, одно жюри задачу бы засчитало как (почти) решённую, а другое как вовсе нерешённую. Вероятно и на кружке у него отношение к решениям в координатах не такое, как было бы на моём.

Григорий Кондаков
Dimitri Zvonkine да, по информатике для студентов и школьников у нас примерно такое различие, у студентов (решил/не решил), у школьников на какой процент решил задачу.

www.facebook.com/kostyaknop/posts/1022189690482...

---

Фаградальсфьядль

[domzorgisto]

Reglulegum 18 hyrningi er skipt í 18 fimmhyrninga sem allir eru eins og fimmhyrningurinn ABCDE á meðfylgjandi mynd. Hliðar fimmhyrningsins ABCDE eru allar jafnlangar.

Ákvarðið stærð hornanna A, B, C, D og E í fimmhyrningnum og sýnið að punktarnir X, Y og Z liggja á sömu línu.

@темы: Планиметрия

---

Векторное пространство

[Jfresearch]

Здравствуйте, имеется пространство векторов высоты 5 у которых сумма координат с четными номерами равна сумме координат с нечетными номерами и при этом третья координата вдвое больше пятой. Необходимо найти какой-нибудь его базис, состоящий из векторов с ненулевыми координатами.

Как понимаю, нужно составить систему уравнений, а вот предположения о том, как двигаться дальше, нет, подскажите, пожалуйста

@темы: Векторная алгебра

---

Подводная лодка

[domzorgisto]

На стороне $AB$ неравностороннего треугольника $ABC$ лежат точки $M$ и $N$ такие, что $AN =AC$ и $BM =BC.$ Прямая, перпендикулярная $BC$ и проходящая через точку $M$, и прямая, перпендикулярная $AC$ и проходящая через точку $N$, пересекаются в точке $S.$ Докажите, что $\angle CSM = \angle CSN.$

@темы: Планиметрия