[Trotil]

Широко известна задача о трёх мудрецах.

Три мудреца поспорили, кто из них самый умный и обратились к четвертому, чтобы он их рассудил. Судья сообщил мудрецам, что у него есть три белых колпака и два черных, после чего надел каждому колпак на голову так, чтобы каждый видел только колпаки двух других мудрецов. Мудрецам требовалось угадать цвет колпака на собственной голове. Через некоторое время один из мудрецов сообщил, что у него на голове белый колпак и выиграл состязание. Как он смог догадаться?

На видео ниже объясняется решение аналогичной задачи о пяти мудрецах (вместо колпаков - красные/зеленые бумажки на лбу):

Зубков: www.youtube.com/watch?v=f7e0ddWsH8E&t=743s
Трушин: www.youtube.com/watch?v=f2VLdwU9xc4&t=1381

Если бы на лбу у меня была бы красная бумажка, то все остальные догадались бы на день раньше, если на лбу у нас были бы две красные бумажки, то остальные догадались бы на два дня раньше и так далее. Считается, что менее, чем за пять дней догадаться нельзя.

Меня смущает индукционный переход от КЗЗЗЗ к случаям KЗЗKK и KЗKKK.
Ведь явно случаев KЗЗKK и KЗKKK нет, каждый видит 4 зелёные бумажки перед собой.

Рассуждение сводится к тому, что в первый или во второй день никто не ушёл, значит перед нами не KЗККК и не KЗЗКК, так они и так об этом знали, так как перед собой видели зелёные бумажки перед собой. То есть они должны догадаться быстрее. Где я не прав?

---

Нечто с синусами

[wpoms.]

Пусть $A + B + C$ кратно $\pi$. $x, y,$ и $z$ — действительные числа. Пусть $x \sin(A) + y \sin(B) + z \sin(C) = x^2 \sin(2A) + y^2 \sin(2B) + z^2 \sin(2C) = 0.$ Покажите, что $x^n \sin(nA) + y^n \sin(nB) + z^n \sin(nC) = 0$ для любого целого положительного $n$.

@темы: Тригонометрия, Теория чисел

---

Сообразим на троих

[wpoms.]

Найдите максимально возможное количество трехчленных арифметических прогрессий в монотонной последовательности из $n$ различных действительных чисел.

@темы: Прогрессии, Комбинаторика

---

"5:0 в пользу Дилетант"

[All_ex]

Дорогая Дилетант!

От имени и по поручению, поздравляем тебя с Днём рождения!

Желаем здоровенного здоровья... грандиозных планов, их свершения и новых грандиозных планов!...

@темы: Праздники

---

Взвешивание

[wpoms.]

Разноплечный эквилибр (весы) имеет чаши различного веса. Он используется для взвешивания трех объектов. Первый объект уравновешивается весом $A$, если его кладут на левую чашу весов, и весом $a$, если его кладут на правую чашу. Соответствующие веса для второго объекта равны $B$ и $b$. Третий объект уравновешивается весом $C$, если его кладут на левую чашу. Каков его настоящий вес?

@темы: Текстовые задачи

---

Делимость

[wpoms.]

Покажите, что для любого целого числа `k > 1` найдется целое положительное, меньшее `k^2,` число `m` такое, что `2^m-m` длится на `k`.

@темы: Теория чисел

---

[Trotil]

Вашему вниманию предлагается неплохая подборка учебной и занимательной литературы:

vk.com/@partizanxyz-ponyat-vysshuu-matematiku
vk.com/@partizanxyz-neobychnye-matematicheskie-...

@темы: Литература

---

[sholnik71]

Доброго утра, прошу помочь разобраться в номерах 1-7, возможно за некоторую плату:

1.Следующее высказывание о натуральных числах запишите на языке
предикатов, используя кванторные операции. Определите область истинности
высказывания:
«Для любого натурального числа существует большее его натуральное число»
2. Представьте следующее предложение формулой логики предикатов,
определив подходящую сигнатуру.
Только один студент сдал все экзамены на отлично.
3. Проверить истинность формул методом резолюций



4. Выразите множества истинности сложного предиката через множества
истинности входящих в него элементарных предикатов:
(((-R(x)→-P(x))→(Q(x)v-P(x)))v(-Q(x)v-P(x))-R(x)
5. Определите, является ли один из следующих предикатов, заданных на
множестве действительных чисел, следствием другого: «x2 < y», «y  0»
6. Используя теорему дедукции (если F1,...,Fm 1,Fm G,  − то
Fm− Fm →G  F1,..., 1 ) докажите, что справедлива следующая выводимость:
Ex(G→F(x))|→G→Ex(F(x))
7. Найти все возможные резольвенты следующих дизъюнктов:

@темы: Математическая логика

---

[asde21as1]

Закрытая запись, не предназначенная для публичного просмотра

---

Одна-одинёшенька

[wpoms.]

Отразим симметрично произвольную внутреннюю точку `P` остроугольного треугольника относительно его сторон. Докажите, что существует ровно одна точка такая, что при произвольном выборе `P` она принадлежит треугольнику, образованному точками, симметричными точке `P`

@темы: Планиметрия

---

Целые корни уравнения

[wpoms.]

Сумма целых чисел `a_0, a_1, \ldots, a_{10}` равна 11. Какое наибольшее количество целых решений может иметь уравнение `a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_{10}x^{10} = 1` с переменной `x`?

@темы: Теория многочленов, Рациональные уравнения (неравенства)

---

Дроби

[wpoms.]

(a) Докажите, что если `n` рациональных чисел `a_i/b_i` (не обязательно различных) принадлежат интервалу (0; 1), то сумма их знаменателей по крайней мере равна `({2\sqrt{2}/3)^{n^{3/2}}.` (b) Докажите, что если мы суммируем знаменатели различных чисел, то сумма будет не меньше `2(2/3 n)^{3/2}.` Комментарий. Пусть `a_i, b_i` (`i in {1, 2, ..., n}`) --- положительные целые числа. Дроби `a_i/b_i` и `a_j/b_j` будут различны, если у них различны числители или знаменатели. Числа `a_i/b_i` и `a_j/b_j` различны, если `a_i/b_i != a_j/b_j.`

@темы: Теория чисел

---

Таки с Новым годом!

[All_ex]

Дорогие сообщники, коллеги, просто любители математики и примкнувшие к ним!

От лица сообщества поздравляю всех с Новым годом!

Желаю здоровья, сбычи мечт и всего самого наилучшего!...

@темы: Праздники

---

Угол

[wpoms.]

Дан треугольник `ABC`, из вершины `A` опущена высота с основанием `T,` луч с началом в биссектриса угла `B` пересекает сторону `AC` в точке `D`. Пусть `/_ BDA = 45^@.` Чему равен `/_ DTC?`

@темы: Планиметрия

---

Помогите с дискретной математикой, пожалуйста

[nalbina97]

Дать анкету бинарного отношения, заданного ориентированным графом G=(V,A)
A={(1,1),(2,3),(3,3),(4,3),(1,3),(3,1),(2,4),(4,2),(2,1),(4,1),(2,2)}
Рефлексивность
Антирефлексивность
Симметричность
Антисимметричность
Асимметричность
Транзитивность
Связность

@темы: Высшая алгебра, Дискретная математика

---

Может "быть или не быть"?

[wpoms.]

Пусть `H = {1, 2, \ldots, n}.` Можно ли разделить его на два подмножества `A` и `B` такие, что у них нет общих элементов, их объединение равно `H` и произведение всех элементов `A` равно сумме всех элементов `B`, если (a) `n=2016;` (b) `n = 2017?`

@темы: Теория чисел

---

Квадратичная функция

[wpoms.]

Рассмотрим квадратичную функцию с действительными коэффициентами `f(x) = ax^2 + bx + c \ \ (a * b * c != 0)` такую, что `f(a) = f(b) = f(c) = 0`. Найдите все функции, удовлетворяющие этим условиям.

@темы: Функции

---

На окружности

[wpoms.]

Точки $C$ и $D$ выбраны в одной полуплоскости относительно прямой $AB$ так, что треугольники $ABC$ и $ABD$ вписаны в одну и ту же окружность. Обозначим центр вписанной окружности треугольника $ABC$ как $E,$ а центр вписанной окружности треугольника $ABD$ как $F.$ Середину дуги, не содержащей точек $C$ и $D$, $AB$ обозначим $G.$ Докажите, что точки $A, B, E, F$ лежат на окружности с центром $G$.

@темы: Планиметрия

---

"В конце останется только один" (с)

[wpoms.]

На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 2015, 2016. За один ход можно выбрать любые два числа и вместо них написать на доске их сумму или абсолютную величину их разности. После каждого хода количество чисел на доске уменьшается и в конце останется одно число. Может ли это число быть a) 2017 b) 2016?

@темы: Теория чисел

---

Не могу понять как решить задачу.

[doctorit]

Найдите уравнения прямых проходящих на расстоянии 2 от начала координат и составляющих угол 30 с осью оХ.

@темы: Аналитическая геометрия