Площадь фигуры

[MisteryS]

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: `r=6sin(3*phi)`, `r>=3`

Графиком будет три лепестка.
Я нашла, что `phi` принадлежит [pi/18 + 2pi/3, 5pi/18+2pi/3].
Правильно ли я понимаю, что площадь будет вычисляться как интеграл от`3/2(6sin(3phi))^2` с пределами интегрирования [pi/18, 5pi/18]?

@темы: Математический анализ

---

Праздник весны и мужского труда

[All_ex]

Милые дамы - соучастницы и сообщницы!

От лица мужской части сообщества поздравляю вас с 8 Марта!

Здоровья вам крепчайшего, настроения весеннейшего и неограниченного роста благосостояния...

добавка...

ещё добавка...

@темы: Праздники

---

Отношение площадей

[wpoms.]

В треугольнике `ABC` высота, опущенная из вершины `A`, пересекает описанную около него окружность с центром в точке `O` повторно в точке `T`. Прямые `OA` и `OT` пересекают сторону `BC` в `Q` и `M` соответственно. Докажите, что `(S_{AQC})/(S_{CMT}) = ( (sin B)/(cos C) )^2`.

@темы: Планиметрия

---

Разность косинусов

[tvims]

Здравствуйте!
Возникла проблема с тригонометрией.
Задание: вычислить 2(cos(396гр.)-cos(432гр.)).
Периодичность учли, получили 2(cos(36гр.)-cos(72гр.))
Перешли к произведению синусов 4*sin(54гр.)*sin(18гр.)
Наверное, и эти шаги неверные, т.к. ни к чему не приводят.
Если есть возможность, киньте идею, как еще можно преобразовать выражение.

@темы: Тригонометрия, Тождественные преобразования

---

Romanian Master of Mathematics 2019

[wpoms.]

rmms.lbi.ro/rmm2019/index.php?id=home - задачи, результаты

Pos		Country	Total	Prize
1		USA	117	First + Trophy
2		KOR	107	Second
3		SRB	107	Second
4		ISR	105	Third
5		RUS	104
6		CHN	101

1. A и B играют в игру. Вначале A пишет на доске положительное целое число. Затем игроки ходят по очереди, B ходит первым. Делая свой ход B заменяет число $n,$ написанное в этот момент на доске, на число вида $n-a^2$, где $a$ --- положительное целое число. Делая свой ход A заменяет $n,$ написанное в этот момент на доске, на число вида $n^k$, где $k$ --- положительное целое число. B выигрывает, если ему удается написать на доске число ноль. Может ли A помешать B выиграть?

2. Дана равнобедренная трапеция $ABCD,$ $AB\parallel CD$. Пусть $E$ --- середина $AC$. Пусть $\omega$ --- описанная окружность треугольника $ABE$, $\Omega$ --- $CDE$. Пусть $P$ --- точка пересечения прямой, касающейся $\omega$ в точке $A$, и прямой, касающейся $\Omega$ в точке $D$. Докажите, что $PE$ касается $\Omega$.

3. Given any positive real number $\varepsilon$, prove that, for all but finitely many positive integers $v$, any graph on $v$ vertices with at least $(1+\varepsilon)v$ edges has two distinct simple cycles of equal lengths.
(Recall that the notion of a simple cycle does not allow repetition of vertices in a cycle.)

4. Prove that for every positive integer $n$ there exists a (not necessarily convex) polygon with no three collinear vertices, which admits exactly $n$ diffferent triangulations.
(A triangulation is a dissection of the polygon into triangles by interior diagonals which have no common interior points with each other nor with the sides of the polygon)

5. Determine all functions $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ satisfying $f(x + yf(x)) + f(xy) = f(x) + f(2019y),$ for all real numbers $x$ and $y$.

6. Find all pairs of integers $(c, d)$, both greater than 1, such that the following holds:
For any monic polynomial $Q$ of degree $d$ with integer coefficients and for any prime $p > c(2c+1)$, there exists a set $S$ of at most $\big(\tfrac{2c-1}{2c+1}\big)p$ integers, such that $\bigcup_{s \in S} \{s,\; Q(s),\; Q(Q(s)),\; Q(Q(Q(s))),\; \dots\}$ contains a complete residue system modulo $p$ (i.e., intersects with every residue class modulo $p$).

@темы: Олимпиадные задачи

---

Факториалы

[wpoms.]

Найдите все натуральные числа `m` такие, что `1! * 3! * 5! * ldots * (2m-1)! = (\frac{m(m+1)}{2})!`.

@темы: Теория чисел

---

Последовательности и суммы

[wpoms.]

Даны три последовательности неотрицательных действительных чисел `(a_0, a_1, \ldots, a_n)`, `(b_0, b_1, \ldots, b_{n})`, `(c_0, c_1, \ldots, c_{2n})` такие, что для всех `$0 \leq i,j \leq n` выполняется неравенство `a_i*b_j \leq (c_{i+j})^2`. Докажите, что `\sum_{i=0}^n a_i \cdot \sum_{j=0}^n b_j \leq \left( \sum_{k=0}^{2n} c_k\right)^2`

@темы: Доказательство неравенств

---

На окружности

[wpoms.]

Точка $M$ --- середина стороны $BC$ треугольника $ABC$, в котором $AB=AC$. Точка $D$ --- ортогональная проекция точки $M$ на сторону $AB$. Окружность $\omega$ вписана в треугольник $ACD$ и касается отрезков $AD$ и $AC$ соответственно в точках $K$ иd $L$. Касательные к $\omega$, проходящие через точку $M$, пересекают прямую $KL$ в точках $X$ и $Y$, причем точки $X$, $K$, $L$, $Y$ лежат в указанном порядке на прямой $KL$. Докажите, что точки $M$, $D$, $X$, $Y$ лежат на одной окружности.

@темы: Планиметрия

---

Пятёрочка

[wpoms.]

Докажите, что множество положительных целых чисел `ZZ^+ = \{1,2,3,...\}` можно представить в виде суммы пяти попарно различных подмножеств таких, что каждая пятерка чисел `(n, \ 2n, \ 3n, \ 4n, \ 5n)`, где `n \in ZZ^+`, содержит ровно по одному числу из каждого из этих пяти подмножеств.

@темы: Теория чисел, Множества

---

Целые числа

[wpoms.]

Целые числа `a_1, a_2, \ldots, a_n` удовлетворяют неравенству `1 < a_1 < a_2 < \ldots < a_n < 2a_1`. Докажите, что если `m` --- количество различных простых делителей `a_1 * a_2 * \cdots * a_n`, то `(a_1 * a_2 * \cdots * a_n)^{m-1} \geq (n!)^m`

@темы: Доказательство неравенств

---

Математическая прогулка. Фильм для широкой аудитории!

[sexstant]

по ссылке (почитайте) xaxam.livejournal.com/1099464.html обнаружил математический фильм с русской озвучкой:

"Размерности" www.dimensions-math.org/Dim_RU.htm

Там же есть ссылка на второй фильм, но с русскими субтитрами "Хаос"

@темы: История математики, Полезные и интересные ресурсы

---

Вредные множества

[wpoms.]

Последовательность `$(a_1, a_2, ldots , a_k)`, состоящая из попарно различных клеток шахматной доски `n times n`, называется циклом, если `k \geq 4` и клетки `a_i` и `a_{i+1}` имеют общую сторону для всех `i=1, 2, ldots, k`, где `a_{k+1} = a_1`. Подмножество `X`, состоящее из клеток доски, назовем вредным, если каждый цикл содержит по крайней мере одну клетку из `X`. Найдите все действительные числа `C` такие, что для каждого целого числа `n \geq 2` на доске размером` n \times n` существует вредное подмножество, содержащее не более `C*n^2` клеток.

@темы: Дискретная математика

---

Два задания с параметром

[Sunline1990]

Здравствуйте! Есть два задания:
Решить неравенства:
1. `(a-1)*2^(sqrt(x))>a-3`

Мое решение

2. `log_{x-3}(2x-a) < 1`

Мое решение

Прошу проверить, правильно ли решены эти задания.
Заранее спасибо за помощь!

@темы: Задачи с параметром

---

И снова треугольник

[wpoms.]

Точки $P$ и $Q$ лежат соответственно на сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$, причем $BP=CQ$. Отрезки $BQ$ и $CP$ пересекаются в точке $R$. Описанные окружности треугольников $BPR$ и $CQR$ пересекаются повторно в точке $S$ отличной от $R$. Докажите, что точка $S$ лежит на биссектрисе угла $BAC$.

@темы: Планиметрия

---

Говорят, что теперь более творческий подход к математике

[All_ex]

@темы: Юмор

---

Задание с параметром

[Sunline1990]

Здравствуйте! Есть такое задание:
Решить уравнение для всех значений параметра `log_(1/3)(9^x+a)+log_3(2*3^x)=0`
Ниже мое решение:

Не уверен, правильно ли я его решил. Прошу Вас проверить.
Заранее спасибо!

---

[wpoms.]

Не удается найти задания муниципального этапа, проходившего в нескольких регионах.

Республика Адыгея, Республика Алтай, Астраханская область, Волгоградская область, Республика Ингушетия, Кабардино-Балкарская Республика, Республика Калмыкия, Кировская область, Курганская область, Магаданская область, Республика Мордовия, Орловская область, Пензенская область, Псковская область, Самарская область, Республика Саха (Якутия), Сахалинская область, Тверская область, Республика Тыва, Чеченская Республика, Чувашская Республика, Чукотский автономный округ.

Помогите, чем можете.

запись создана: 04.01.2019 в 15:28

@темы: Поиск, Олимпиадные задачи

---

Про числа

[wpoms.]

Даны простое число `p > 2` и числа `x,y \in \{ 1, 2, \ldots , {p - 1}/{2} \}`. Докажите, что если число `x*( p - x)*y*( p - y)` является квадратом целого числа, то `x = y`.

@темы: Теория чисел

---

Рататуй

[wpoms.]

Гурман Жан сравнивал $n$ ресторанов, где $n$ --- положительное целое число. Каждая пара ресторанов сравнивалась по двум показателям: качеству еды и уровню обслуживания. В некоторых случаях Жан не мог определиться, какой из двух ресторанов лучше по какому-то одному показателю, но тогда он всегда выбирал лучший по другому показателю. Понятно, что если Жан узнал, что ресторан $A$ лучше ресторана $B$ по какому-то показателю, и ресторан $B$ лучше ресторана $C$ по этому же показателю, то он считает, что $A$ лучше $C$ по этому показателю. Докажите, что есть ресторан $R$ такой, что любой другой ресторан хуже чем $R$ хотя бы по одному показателю.

@темы: Дискретная математика

---

Про треугольник

[wpoms.]

Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается сторон $AB$ и $AC$ соответственно в точках $D$ и $E$. Точка $J$ --- центр вневписанной окружности треугольника $ABC$, касающейся стороны $BC$. Точки $M$ и $N$ являются соответственно серединами отрезков $JD$ и $JE$. Прямые $BM$ и $CN$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что точка $P$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$.

@темы: Планиметрия