[anr45]

Добрый день! Нужно минимизировать функционал такого вида (численно)
`min(x) (int_0^tau f(t)-g(t, x)dt)`
Подскажите, пожалуйста, можно ли как-нибудь упростить задачу и какой здесь метод можно применить.

@темы: Численные методы, Методы оптимизации

---

Вычислить главное значение интеграла. ТФКП

[IWannaBeTheVeryBest]

`int_{-\infty}^{\infty} (sinxdx)/((x^2 + 4)(x - 1))`
Я знаю из мат.анализа, что главным значением тут должен быть предел
`lim_{R->\infty} int_{-R}^{R} (sinxdx)/((x^2 + 4)(x - 1))`
Еще я знаю, что точка `z = 1` будет лежать на контуре, если мы начнем продолжать нашу подынтегральную функцию в `C`. Поэтому эту точку нужно обходить при интегрировании. Но здесь подынтегральная функция общего вида. Я не знаю точно, как действовать в случае, когда точка сдвинута от нуля. Хотя мне кажется, что здесь надо как-то по-другому решать, ведь сказано, что нужно вычислить именно главное значение, а я с такой формулировкой первый раз сталкиваюсь... Не скажете, в каком направлении думать?

@темы: ТФКП

---

[Абуль-Аббас]

ОБНОВЛЕННАЯ КНИЖКА ДЛЯ ЗАДАЧИ 14

Рабочие тетради для подготовки к экзаменам не перерабатываются каждый год заново: в этом нет нужды.
Но вот брошюру по 14 задаче в этом году выпустили совсем новую.

Написал ее Рафаил Калманович Гордин (и да, он был классным руководителем и учителем математики у некоторых участников нашей группы. У него и преподавательский опыт огромный, и пишет он доступно и внятно, и еще руководит созданием огромной базы задач по геометрии: zadachi.mccme.ru/2012/#&page1

В этой брошюре есть редкий и ценный раздел по построению сечений — слабое место у многих школьников.

Демоверсия: ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень).

@темы: ЕГЭ

---

Вычислить определитель

[zodiyelite]

Здравствуйте!
Готовлюсь к потоковой контрольной, возникли проблемы с решениями нескольких номеров.

Как я понимаю, здесь легче всего домножить матрицу на какую-то другую и воспользоваться свойством определителя произведения матриц. Но не могу понять, какая матрица здесь нужна.
Что делать со следующим заданием вообще не знаю.

Думал разбить его на 2 определителя, но ничего дельного не вышло. При этом ответ немного похож на определитель Вандермонда, что окончательно меня сбило.
Буду благодарен любой подсказке!

@темы: Линейная алгебра, Матрицы

---

[Абуль-Аббас]

Как мило: МАТЕМАТИКА И ЭТИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ

vk.com/matematura

Переиздаем книгу А.К. Толпыго — сначала в ней было 96 нестандартных задач, потом 130, теперь еще добавятся.

Автор написал для книги эссе "Что такое математика", публикуем отрывок.

Понятно, что решение математических задач полезно всякому, просто потому, что ум требует упражнений –– независимо от того, чем вы собираетесь заниматься. Достаточно часто говорят и о четкости мысли, о том, что математика «ум в порядок приводит» (Ломоносов). Но крайне редко говорят об этическом аспекте.
А между тем в науке вообще, и в математике прежде всего, очень силен этический элемент. Он состоит не в том, что наука проповедует какие-то этические нормы. Во-первых, не проповедует, а во-вторых, подобная проповедь редко приносит какой-то эффект. Она делает гораздо более важную вещь; заставляет быть честным.
Всякому человеку следует быть честным. Можно проповедовать честность (дело малополезное, в особенности потому, что чаще всего проповедники сами не без греха). Можно подавать пример честности; это несколько полезнее, но тоже не самое лучшее.
А можно принуждать к честности: не угрозами, а силой необходимости. Математика именно это и делает: она принуждает быть честным. И это много лучше рассказов о хороших и плохих детях, или даже личного примера.
В классической математике, если ты утверждаешь, что получил такой-то результат, ты обязан предъявить доказательство. Если оно у тебя есть –– значит, ты сказал правду. Если у тебя его нет –– тебя просто не будут слушать. Дело не в том, что врать опасно –– врать бессмысленно, врать невозможно: журнал не опубликует результат без доказательства.

@темы: Про самолеты

---

Интегрирование функции КП. Вычеты

[IWannaBeTheVeryBest]

`I = 1/2 * int_{-\infty}^{+\infty} sinx/(x(x^2 + 9)) = int_{0}^{+\infty} sinx/(x(x^2 + 9))`
Вот я только не помню, под каким условием так можно делать. Это чисто формальность конечно, но из мат.анализа я помню, что просто так применить свойство интегралов для четной функции по симметричному промежутку, если этот промежуток бесконечен, нельзя. Если не ошибаюсь, то надо предполагать, что изначальный интеграл дан в смысле главного значения.
Ну ладно. Далее. Я не могу сразу написать, что
`I = Im(int_{-\infty}^{+\infty} (e^(iz)dz)/(z(z^2 + 9)))` и начать считать, так как одна из особых точек располагается на границе контура верхнего полукруга.
Решал я так. Эту точку я контуром как бы обхожу. У меня получается 2 полукруга. Один с радиусом `R (-> \infty)` другой с радиусом `r (-> 0)`. Ну довольно известный контур.
Дальше в примерах берется на рассмотрение регулярная функция в нашем новом контуре `\Gamma_{r, R}`, которая, по-сути, равна нулю, так как внутри этого контура у этой функции нет особых точек. Но если я буду рассматривать функцию `f(z) = e^(iz)/(z(z^2 + 9))`, то у нее будут внутри данного контура особые точки. Причем тут я не уверен, как мне действовать. Дело в том, что я сомневаюсь, входит ли внутрь контура точка `\infty`, ведь `R -> \infty`? Точка `3i` входит, вопросов нет. У меня была такая идея. Посчитать интеграл от `f(z)` по контуру `\Gamma_{r, R}`, получить какое-то значение `k`, а дальше уже расписывать, что `J = int_{C_r} + int_{C_R} + int_{-R}^{-r} + int_{r}^{R} = k` и уже спокойно решать. Я в общем-то дорешал, проверил в вольфраме, но у меня сошлось 50/50. Может просто очередная арифметическая ошибка.
Если нужно, могу сделать фотку контура и залить сюда для удобства))

@темы: ТФКП

---

Вопрос по поступлению в магистратуру

[IvanTemnikov]

Здравствуйте! Для поступления в магистратуру в один из ВУЗов страны, необходимо написать эссе (научно-исследовательскую работу) по одной из заданных тем по направлению. В качестве критериев проверки эссе идет явный намек на получение собственных результатов.
Если выбрать тему "Численное интегрирование", то можете подсказать какую-либо задачу или как такую задачу найти...
Спасибо.

@темы: Образование

---

Интегрирование функции КП. Вычеты

[IWannaBeTheVeryBest]

`I = int_{0}^{2pi} (d\phi)/(1 - 2a*cos\phi + a^2)` `a \in C` `a \neq +-1`
Сначала преобразую знаменатель
`1 - 2a*cos\phi + a^2 = (a - cos\phi)^2 + 1 - cos^2\phi = (a - cos\phi)^2 + sin^2\phi`
Дальше замена
`e^{i\phi} = z`
`d\phi = -(idz)/z`
`L: |z| = 1`
`I = -i*int_{L} dz/((a - (z + 1/z)/2)^2 + ((z - 1/z)/(2i))^2)`
Разложим знаменатель на множители
`(a - (z + 1/z)/2)^2 + ((z - 1/z)/(2i))^2 = (a - (z + 1/z)/2 - (z - 1/z)/2)(a - (z + 1/z)/2 + (z - 1/z)/2)`
`(a - (z + 1/z)/2 - (z - 1/z)/2)(a - (z + 1/z)/2 + (z - 1/z)/2) = 0`
`a - (z + 1/z)/2 - (z - 1/z)/2 = 0 => z = a`
`a - (z + 1/z)/2 + (z - 1/z)/2 = 0 => z = 1/a`
Верно ли я понимаю, что дальше придется рассматривать 2 случая: `|a| < 1` и `|a| > 1`? В первом случае `I = 2pii*res_{z = a} f(z)`, а во втором `I = 2pii*res_{z = 1/a} f(z)`
И еще. Как тут определить, нулями какого порядка являются данные корни? Просто если все в знаменателе, в интеграле привести к общему знаменателю, то старшая степень должна быть 4.

@темы: ТФКП

---

[kurush1001]

Здравствуйте! Забыл, как некоторые пределы находить... Не могу справиться с одним
`lim_(n->oo)(4^(n-1)+7^(n-1))/(4^n+7^n)`
Вообще-то в задании нужно найти предел последовательности `a_n=(4^(n-1)+7^(n-1))/(4^n+7^n)` или доказать, что она расходится.
Но мне кажется, что предел n-го члена не равен нулю...

@темы: Математический анализ, Пределы, Ряды

---

Интегрирование функции КП. Вычеты

[IWannaBeTheVeryBest]

`int_{0}^{2pi} (d\phi)/(a + cos\phi)` `a > 1`
Сделаем замену
`e^(i\phi) = z; d\phi = -idz/z`
`-i*int_{|z| = 1} dz/(a + (z + 1/z)/2) = -2i*int_{|z| = 1} (zdz)/(z^2 + az + 1)`
Дальше нужно определить особые точки
`z^2 + az + 1 = 0`
`z = (-a +- sqrt(a^2 - 4))/2`
Что дальше не совсем ясно. У нас окружность радиуса 1. И вот тут я даже не знаю, будут ли эти точки входить в эту окружность. Ясно только то, что обе эти точки имеют одинаковый модуль. А значит они либо одновременно входят в окружность, либо одновременно не входят.
Если `a < 2`, то мнимая часть будет не нулевая, а модуль числа, если не ошибаюсь, всегда будет =1.
Если `a > 2`, то мнимая часть будет нулевая и нам будет подходить только один корень `(-a + sqrt(a^2 - 4))/2`
Опять же это только мои предположения, и как их доказать я даже не знаю.
Я думал сначала вычислить еще через вычет бесконечности. Там вроде есть формула, если бесконечность - устранимая особая точка.
`res_{z = \infty} f(z) = lim_{z -> \infty} (f(\infty) - f(z)) * z = 2i`. Кстати эту формулу я тоже встретил в одном видео, хотя может она и в учебнике есть, или выводится как-то. Не задумывался.
Но у меня нет сведений по поводу вычетов других точек. Эти точки в разное время находятся в разных местах окружности. Сначала на границе, а потом только одна из точек находится внутри. Даже не знаю, что делать.
Раскладывать в ряд Лорана тут как-то совсем грустно.

@темы: ТФКП

---

[Абуль-Аббас]

С какой новости начать, с хорошей или очень хорошей?

Недавно Кравцов поделился с общественностью информацией о том, что 11% учителей не могут решить простейшие задачи.

Теперь перейдем к лучшим из лучших. На сайте образовательного центра Сириус начали публиковать записи выступлений гостей центра. Видеотека находится по адресу sochisirius.ru/video_lectures. Мне понравилась лекция, проходившая под лозунгом

Фотография от google.



Центр работает круглый год.

Интересно, как проходит аттестация школьников, прогулявших половину четверти? Кто и за чей счет помогает им наверстать упущенное?

Теперь несколько гипотез.

Гипотеза первая (наивная). Преподаватели, в своем стремлении нести добро детям, берут на работе отпуск за свой счет, покупают за тот же счет билеты, снимают номера в отелях (малообеспеченные бредут пешком и живут в палатках под стенами центра).

Гипотеза вторая (неправдоподобная). Преподаватели, в своем стремлении нести добро детям, оформляют на работе командировку, покупают за тот же счет билеты, снимают номера в отелях.

Гипотеза третья (реалистичная). Преподаватели, в своем стремлении нести добро детям, оформляют на работе командировку, покупают за тот же счет билеты, снимают номера в отелях. А дальше оформляют с центром договор об оказании платных услуг. Два в одном.

В околосириусной тусовке преподавателей идет непрерывный подсчет --- сколько раз господин назвал того или иного профессионала достойным нести вечные ценности подрастающему поколению.

Мнение о преподавателях центра адепта одной из церквей.

@темы: Образование

---

Приложения теории вычетов ТФКП

[IWannaBeTheVeryBest]

Здравствуйте. Не подскажете, где можно почитать про решение интегралов ну типа такого
`int_{3}^{+\infty} dx/((x - 3)^(1/5) * (x + 1)^2)`
Честно говоря, нашел просто видео с разбором такого интеграла, правда не понял его что-то. Фишка в том, что `(z - 3)^(1/5)` - многозначная функция. Нужно выделять какую-то ветвь. Плюс сам интеграл дан по лучу, а я уже открыл несколько учебников и там в приложениях даны несобственные интегралы только по всей прямой - от `-\infty` до `+\infty`

@темы: ТФКП

---

Вычисление определенного интеграла (вычеты)

[mathdon]

Добрый вечер! Очень нужна помощь в следующей задаче: пусть надо вычислить определенный интеграл от 0 до 2pi от функции tg(x-3) по dx. Я расписываю тангенс как синус на косинус, затем применяю формулы Эйлера. Делаю замену переменной: z=e^i(x-3). Тогда, сравнивая с показательной формой записи комплексного числа z=r*e^ifi, где fi - аргумент, получаю, что пределы интегрирования у новой переменной z изменятся на окружность радиуса r=1, то есть |z|=1 То есть я в качестве аргумента fi беру выражение x-3, считая, что оно изменяется от 0 до 2pi. Можно ли так делать? Такими ли будут пределы интегрирования z?

@темы: ТФКП

---

Доказательство

[gelIos1]

Задание: доказать, что при `n>2` числа `2^n+1` и `2^n-1` не могут быть простыми одновременно.

Подскажите, пожалуйста, с чего начать. Идей совсем нет. Пробовал с помощью ММИ, но безрезультатно, тут что-то другое.

@темы: Математический анализ

---

Интегрирование функции КП. Вычеты

[IWannaBeTheVeryBest]

Найти значение интеграла `int_{\Gamma} (z + i)*e^(2/z) dz`; `|z| = 2` с помощью вычетов.
Точка `z = 0` существенно особая. Значит надо найти `c_{-1}` коэффициент напрямую через разложение в ряд Лорана.
`(z + i) * (1 + 2/z + 2/(z^2) + 8/(3!z^3) + ...)`
Если я правильно понимаю, то коэффициентом при `c_{-1}` члене будет `(2 + 2i)`. То есть `z * 2/(z^2) = 2/z` и `i * 2/z = (2i)/z`.
В сумме как раз получается коэффициент `2 + 2i`
Дальше просто по формуле
`int_{\Gamma} (z + i)*e^(2/z) dz = 2pii*(2 + 2i) = 4pi(i - 1)`
Верно?
И еще Найти значение интеграла `int_{-\infty}^{+\infty} (sin(ax))/(x^2 - 2x + 2) dx`; `a < 0`
Переходя к комплексной функции, сначала я сделаю некоторые преобразования.
`I = int_{-\infty}^{+\infty} (sin(ax))/(x^2 - 2x + 2) dx = -int_{-\infty}^{+\infty} (sin(-ax))/(x^2 - 2x + 2) dx = `
`= -Im(int_{-\infty}^{+\infty} e^(-iax)/(x^2 - 2x + 2) dx) = -Im(J)`
Просто, насколько я помню, по лемме Жордана нужно, чтобы степень экспоненты была положительной. А в условии у нас `a < 0`. Поэтому собственно я туда минус и засунул.
`f(z) = e^(-iaz)/(z^2 - 2z + 2)`
Особые точки `1 +- i` являются полюсами первого порядка. Нас интересует `1 + i`, так как мы используем верхнюю полуокружность.
В итоге
`J = 2pii*(res_{z = 1+i} f(z)) = 2pii*e^(-iaz)/((z^2 - 2z + 2)')|_{z = i + 1} = 2pii * (e^(-ia(1 + i)))/(2i) = pi*e^a*e^-(ia)`
`-Im(J) = pi*e^a*sina = I`

@темы: ТФКП

---

Поверхностный интеграл 2-го рода

[Груша Вильямс]

Найти поток векторного поля `vec(F) = x^2*vec(i) + y*(j) + z^2*vec(k)` через замкнутую поверхность `{ (x^2 + y^2 = 1), (z = 0), (z = 1) :}` в направлении внешней нормали.

`di vartheta vec(F) = 2x +1 + 2z`,

Не совсем понимаю как интеграл составить. Цилиндр симметричен относительно плоскости `XOZ` значит сумма потоков по идее через эти полуцилиндры должна стать равной нулю, т.е. потоки взаимно уничтожаются или нет? То же самое и для потоков относительно плоскости `YOZ`. Тут ещё такой вопрос: поток через боковую поверхность полуцилиндра равен ли потоку через прямоугольник (осевое сечение цилиндра) и почему?
`iiint_D (2x+1+2z)dxdydz = 2iiint_D xdxdydz + iiint_D dxdydz + 2iiint_D zdxdydz = `

p.s. дивергенцию не понял как набирать, чтобы отображалась...

@темы: Теория поля

---

[wpoms.]

Таблица размером `3 times n` заполняется следующим образом: в первой строке записаны числа от `1` до `n`, упорядоченные по возрастанию слева направо. Вторая строка получена из первой циклическим сдвигом, то есть в этом ряду записаны числа `i, i + 1, . . . , n - 1, n, 1, 2, . . . , i - 1` для некоторого `i`. В третьей строке записаны в некотором порядке числа от `1` до `n`, при этом сумма чисел в каждой из `n` колонок одна и та же. Для каких значений `n` возможно заполнение таблицы по указанным выше правилам? Для тех `n`, для которых это возможно сделать, определите количество различных способов заполнить таблицу.

@темы: Теория чисел

---

ЕГЭ

[Balda91]

24. Дан куб с ребром 1. Найти угол phi между AB_1 и MC, где M - середина ребра BB_1.
25. Все ребра правильной призмы AB...F_1 равны 1. Найдите косинус угла между прямой AB_1 И BD.
26. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой AB и плоскостью (SAD).
27. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра: AB=12sqrt(3), SC=13. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и BC.
28. В прямоугольном параллелепипеде ABCD...D_1 известны ребра AB=35, AD=12, CC_1=21. Найдите угол между плоскостями ABC и A_1DB.
29. Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.
30. В правильной шестиугольной призме AB..F_1 стороны основания равны 4, а высота равна 3. Найдите расстояние от вершины B до ребра A_1F_1.
31. Высота SO правильной четырехугольной пирамиды равна 1, а сторона основания ABCD равна sqrt(5). Найти расстояние от точки A о грани (SBC).
32. Саша выбирает случайное трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 51.
33. Найдите наибольшее значение функции y=ln(x+5)^5-5x на отрезке [-4.5;0].
34. Имеются 2 куска сплава меди и цинка с процентным содержанием меди 42% и 65% соответственно. В каком отношении надо взять эти сплавы, чтобы, переплавив, получить сплав, содержащий 50% меди?

24 задачу я попробовала решить через систему координат, но не использовала параллельный перенос и получила arccos=1/корень из 10
Но, если с использованием параллельного переноса получится что arccos=1/2.... Но там угол на взаимно перпендикулярных плоскостях.... А значит должно получиться 90^@....

@темы: ЕГЭ, Комбинаторика, Исследование функций

---

логарифмы.

[гульшат]

Добрый вечер. Опять беспокою. Проверьте, пожалуйста.
1) 25^(1+log 3 по основанию 3)= 625. Не так ли?
2) log(основание 4) log (основание 9) 81 = 0,5 Верно ли?
3)3^((log(основание 9) 16 -log (основание 21) 8)= Что-то не могу довести до конца часть после минуса.. Пояснение: Здесь число 3 в степени разность логарифмов.

---

Разложить функцию КП в ряд Лорана.

[IWannaBeTheVeryBest]

`f(z) = 1/(z^2 - 3z + 2)`; `0 < |z - 2| < 1`
Сначала разложу знаменатель на множители
`f(z) = 1/((z - 1)(z - 2)) = 1/(z - 2) - 1/(z - 1) = 1/(1 - z) + 1/(2 - z)`
`1/(1 - z) = sum_{n = 0}^{\infty} z^n, |z| < 1`
`1/(1 - z) = -(1/z)/(1 - 1/z) = -sum_{n = 0}^{\infty} 1/(z^(n + 1)); |z| > 1`
`1/(2 - z) = (1/2)/(1 - z/2) = 1/2*sum_{n = 0}^{\infty} (z/2)^n; |z|<2`
`1/(2 - z) = (-1/z)/(1 - 2/z) = -sum_{n = 0}^{\infty} 2^n/(z^(n + 1)); |z|>2`
Насколько я верно понял, нужно юзать разложения для кольца `1 < |z| <2` и для внежности круга `|z|>2` (совместно с `|z|>1`), из-за того, что дано условие `0 < |z - 2| < 1`.
Ну то есть будет 2 ответа - разложение для кольца и для внешности круга, радиуса 2. Верно? Или что-то не так?

@темы: ТФКП