Отображение

[Груша Вильямс]

Найти образ координатных линий `OX` и `OY` при отображении `omega = (z+i) / (z-i)`

`OX: y=0`
`OY: x=0`
`omega_1 = (x+i) / (x-i) = (x^2 +2x*i - 1) / (x^2 + 1) = (x^2 - 1) / (x^2+1) + i* (2x) / (x^2+1) `
`(x, 0) -> ( (x^2 - 1) / (x^2+1), (2x) / (x^2+1) )`
Собственно вот тут я не пойму как преобразовать, чтоб ось эту отобразить на `u-v` координатах
`{ (u = 1 - 2 / (x^2+1)), (v = (2x) / (x^2+1) ) :}`
У меня в тетради написано `u =1`, `u^2 + v^2 = 1`. Как считал не помню или с доски переписал результат на семинаре.
`omega_2 = ( i(y+1) ) / ( i(y-1) ) = (y+1) / (y-1)`.
`(0, y) -> ( (y+1) / (y-1), 0)`
Тут соответственно тот же самый вопрос...
`{ (u = (y+1) / (y-1)), (v = 0) :}`

@темы: ТФКП

---

Вычеты

[mathdon]

Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, при вычислении интеграла по области |z|=2 от функции ln(z)*sin(1/z-1) по dz при помощи вычетов нужно ли рассматривать точку z=0 как особую?

@темы: ТФКП

---

Натуральные числа. Прошу любить и жаловать

[wpoms.]

Последовательность `a_1, a_2, a_3, a_4,...` определяется соотношениями `a_1 = 1`, `a_2 = 1`, `a_3 = 1` и `a_{n+1}*a_{n-2} - a_{n}*a_{n-1} = 2`, для всех `n >= 3`. Докажите, что `a_n` является натуральным числом для всех `n >= 1`.

@темы: Теория чисел

---

Доказать предел по определению 2

[IWannaBeTheVeryBest]

`lim_{z -> 3 - 4i} |z| = 5`
Чтобы много не писать, важны 2 неравенства
`|z - (3 - 4i)| < \delta` `=>` `||z| - 5| < \epsilon`
Что-то здесь вообще не могу сообразить, с чего начать.
Есть 2 идеи, но не знаю, как их развить.
1 - геометрическая. Изобразить эти 2 неравенства в виде множества точек и попытаться получить что-то из этого. Но я не знаю, что представляет из себя второе неравенство.
2 - `z = x + iy`. В таком случае у меня получаются 2 неравенства
`|x - 3 + i(y + 4)| = sqrt((x - 3)^2 + (y + 4)^2) < \delta`
`|sqrt(x^2 + y^2) - 5| = sqrt(x^2 + y^2 + 25 - 10sqrt(x^2 + y^2)) < \epsilon`
Но здесь что-то уж очень сложное получается.
Вообще, логика в чем заключается? Нужно из оценки по дельта как-то "выуживать" полезную информацию и применять к оценке по эпсилон?

@темы: ТФКП

---

Доказать предел по определению

[IWannaBeTheVeryBest]

Всем привет. Задание такое
Доказать по определению, что `lim_{z -> 1} (2z + 1)/(z + 2) = 1`. `z` - комплексное число.
По определению
`\forall \epsilon > 0` `\exists \delta > 0:` `|z - z_0| < \delta` `=>` `|f(z) - W| < \epsilon`
Я решаю так
1) Сначала преобразуем модуль, в котором стоит функция `f(z)`
`|(2z + 1)/(z + 2) - 1| = |(z - 1)/(z + 1)| = |1 - 2/(z + 1)|` (1)
2) Далее берем верхнюю оценку для `|z - 1| < \delta => |z| < \delta + 1`, так как, чтобы оценить сверху (1), нам надо, чтобы разность под модулем (1) была больше, а это достигается увеличением знаменателя дроби, и составляем неравенство, подставив эту верхнюю оценку
`|(z - 1)/(z + 1)| < |(\delta + 1 - 1)/(\delta + 1 + 1)| = (\delta)/(\delta + 2)`
3) Решаю уравнение `(\delta)/(\delta + 2) = \epsilon` относительно дельта...
`\delta = (2\epsilon)/(1 - \epsilon)`
4) И говорю такой, что достаточно теперь выбрать `\delta = (2\epsilon)/(1 - \epsilon)`, чтобы `|(z - 1)/(z + 1)| < \epsilon`
Это верно? или я что-то не так сделал?

@темы: ТФКП

---

Восстановление функции комплексного переменного.

[IWannaBeTheVeryBest]

Такая задача. Восстановить аналитическую функцию в окрестности точки `z_0` по известной мнимой части и функции `f(z_0)`
`v(x, y) = 1 - y/(x^2 + y^2)`
Очевидно, надо перейти к полярным координатам. Получим
`v(r, \phi) = 1 - sin(\phi)/r`
Условия Коши-Римана в данном случае будут выглядеть так
`r * (du)/(dr) = (dv)/(d\phi)`
`(du)/(d\phi) = -r * (dv)/(dr)`
Уж извините, я привык обозначать через "эр", а не через "ро"))
Далее все должно быть просто
`(dv)/(d\phi) = r * (du)/(dr) = -cos(\phi)/r` `=>` `(du)/(dr) = -cos(\phi)/r^2`
`u(r, \phi) = -cos(\phi) * int (dr)/r^2 + g(\phi) = cos(\phi)/r + g(\phi)`
`r * (dv)/(dr) = -(du)/(d\phi)`
`r * sin(\phi)/r^2 = sin(\phi)/r + g'(\phi)`
`g(\phi) = C`
`f(z) = cos(\phi)/r + i(1 - sin(\phi)/r) + C = 1/r * (cos(\phi) - isin(\phi)) + i + C`
Ну еще можно так
`f(z) = 1/r * e^{-i\phi} + i + C`
Переходя обратно к декартовым координатам, я получил бы
`f(z) = 1/|z| * (x/|z| + iy/|z|) + i + C = 1/|z|^2 * (x + iy) + i + C = 1/|z|^2 * z + i + C`
`f(1) = 1 + i + C = 1 + i` `=>` `C = 0`
Это верно? Если да, то как-то можно было прийти к тому-же результату, не переходя обратно к декартовым координатам?

@темы: ТФКП

---

[Абуль-Аббас]

МАТЕМАТИЧЕСКИ ВЫВЕРЕННЫЙ СПОСОБ ЛЕГАЛЬНО УСТАНОВИТЬ ДИКТАТУРУ В США

Читатель может расслабиться. Речь пойдет не о теориях заговора, возникших в воспаленном мозгу автора, а о любопытном выводе, сделанном одним из крупнейших, если не крупнейшим специалистом в области математической логики

Читать на сайте Троицкого варианта

Девять задач

1. В стране Анчурии, где правит президент Мирафлорес, приблизилось время новых президентских выборов. В стране ровно 20 миллионов избирателей, из которых только один процент поддерживает Мирафлореса (регулярная армия Анчурии). Мирафлорес, естественно, хочет быть избранным, но, с другой стороны, он хочет, чтобы выборы были "демократическими". "Демократическим голосованием" Мирафлорес называет вот что: все избиратели разбиваются на равные группы; каждая из этих групп вновь разбивается на некоторое количество равных групп, причём большие группы могут разбиваться на разное количество меньших групп, затем эти группы снова разбиваются и т.д. В самых мелких группах выбирают представителя группы "выборщика" для голосования в большей группе: выборщики в этой большей группе выбирают выборщика для голосования в ещё большей группе и т.д. Наконец, представители самых больших групп выбирают президента. Мирафлорес делит избирателей на группы по своей воле и инструктирует своих сторонников, как им голосовать. Сможет ли он так организовать "демократические" выборы, чтобы его выбрали? (В каждой группе выборщики выбирают своего представителя простым большинством. При равенстве голосов побеждает оппозиция.)

2. В Анчурии готовятся президентские выборы, в которых хочет победить президент Мирафлорес. Ровно половина многочисленных избирателей поддерживает Мирафлореса, а другая половина – Дика Малони. Мирафлорес тоже является избирателем. По закону он имеет право поделить всех избирателей на два избирательных округа по своему усмотрению. В каждом из округов голосование проводится следующим образом: каждый избиратель отмечает на бюллетене имя своего кандидата; все бюллетени помещаются в урну. Затем из урны достаётся один случайный бюллетень, и тот, чьё имя на нём отмечено, победит в этом округе. Кандидат побеждает на выборах, только если победит в обоих округах. Если победитель не выявился, назначается следующий тур голосования по тем же правилам. Как Мирафлорес должен поделить избирателей, чтобы максимизировать вероятность своей победы на первом туре?

3. На пост президента страны объявлено 10 кандидатов. Каждый день предвыборной кампании один из кандидатов по телевидению объявляет преступником другого кандидата, того, кого он не объявлял ранее. Математик Коля знает это, но, естественно, не следит за тем, кто кого обвиняет. Через сколько дней после начала кампании Коля может точно утверждать, что найдутся два кандидата, обвинившие друг друга?

4. На острове, где живут 900 человек, из которых некоторые — рыцари, всегда говорящие правду, а некоторые — лжецы, которые всегда лгут, прошли выборы. В этих выборах участвовали две партии, причём каждый из островитян проголосовал за одну из них. На выходе с участков каждого островитянина спросили, за какую из партий он голосовал. Оказалось, что людей, сказавших, что они голосовали за вторую партию, вдвое больше, чем поданных за эту партию голосов, а людей, сказавших, что они голосовали за первую партию, вдвое меньше, чем поданных за эту партию голосов. Сколько голосов было подано за первую партию?

5. Для выборов президента из двух кандидатов образован 101 избирательный округ по 10001 избирателей в каждом округе. Побеждает тот кандидат, который победил в большинстве округов. Какое наибольшее число голосов избирателей может получить проигравший кандидат?

6. В Стране Чудес прошли выборы. На каждом из 30 избирательных участков было зарегистрировано 1000 избирателей. Известно, что на каждом участке доля проголосовавших за партию “ВЕДРО” была больше нуля и равнялась доле избирателей этого участка, пришедших на выборы. По официальным данным партия “ВЕДРО” набрала ровно 64,3% голосов от числа избирателей, пришедших на выборы. Докажите, что официальные данные не верны.

7. На выборах в Солнечном Городе можно было проголосовать за Винтика, Шпунтика или Кнопочку. После оглашения результатов оказалось, что все кандидаты набрали в сумме 146% голосов. Считавший голоса Незнайка объяснил, что по ошибке подсчитал процент голосов за Винтика не от общего числа проголосовавших, а лишь от числа голосовавших за Винтика или Шпунтика (остальные проценты он подсчитал правильно). Известно, что за Шпунтика проголосовало больше 1000 избирателей. Докажите, что Винтик набрал больше 850 голосов.

8. В выборах царя зверей в зоопарке участвовало четыре кандидата: Кабан, Лев, Медведь и Носорог. Число проголосовавших за Кабана оказалось ровно в 3 раза больше, чем результат Льва в процентах. Число проголосовавших за Льва в 3 раза больше результата Медведя в процентах; число проголосовавших за Медведя в 3 раза больше результата Носорога в процентах. Наконец, число проголосовавших за Носорога в 3 раза больше результата Кабана в процентах. Сколько зверей проголосовало за Кабана?

9. В стране Демократия проходят выборы президента. На этот пост претендуют два кандидата — А и В. Любой житель голосует либо за одного из них, либо против всех. Победитель определяется простым большинством (побеждает тот, кто набрал голосов больше, чем его соперник). Избирательная комиссия проверила n% бюллетеней, причем в этих бюллетенях 60% было подано за А, а 35% — за В. При каком наименьшем целом n можно объявлять победителем А, не дожидаясь подсчета остальных голосов?

О достоинствах кандидатов: dxdy.ru/post1165298.html#p1165298

Известно, что Хилари всегда лжёт, Джонсон всегда говорит правду, Трамп просто повторяет последний услышанный ответ (а если его спросить первым, ответит как попало), а Обама даёт честный ответ, но на предыдущий заданный ему вопрос (а на первый вопрос ответит как попало).
Мудрый Блумберг в тумане наткнулся на Хилари, Джонсона, Трампа и Обаму и решил выяснить, в каком порядке они стоят. Спросив всех по очереди "Ты Хилари?", он понял лишь, где Обама. Спросив всех в том же порядке "Ты Обама?", он смог понять, где Хилари, но полной ясности так и не наступило. И лишь после того, как на вопрос "Ты Трамп?" первый ответил "да", Блумбергу наконец стало ясно, в каком порядке стояли животные. В каком?

Вопрос: Кто победит на выборах 8 ноября?

1. Слон		4	(80%)
2. Ослица		1	(20%)
Всего:		5

@темы: История математики

---

Тройки

[wpoms.]

Найдите все тройки натуральных чисел `(p, q, n)` (`p` и `q` простые), удовлетворяющие равенству `p*(p + 3) + q*(q + 3) = n*(n + 3)`.

@темы: Теория чисел

---

Степенной ряд

[MestnyBomzh]

Добрый день.
Интересует следующий вопрос: пусть надо разложить функцию в степенной ряд в окрестности точки x_0. Вот только оказывается, что правее x_0 функция не определена вообще. Верно ли я понимаю, что в степенной ряд тогда разложить нельзя, так как не существуют производные?

@темы: Ряды

---

Книги по ТФКП

[IWannaBeTheVeryBest]

Посоветуйте хорошие книги по ТФКП пожалуйста. Желательно, чтобы было что-то вроде наподобие Фихтенгольца, а именно, чтобы после части теории были примеры решений. Если такие вообще есть.

@темы: ТФКП

---

Турнир городов. 5-6 задачи 10-11 класс

[Alemand]

Нужна помощь в решении следующих задач с ТГ.
5. Можно ли квадрат со стороной 1 разделить на две части и покрыть ими какой-нибудь круг диаметра больше 1?
6. Петя и Вася играют в такую игру. Сначала Петя задумывает некоторый многочлен Р(х) с целыми коэффициентами. Далее делается несколько ходов. за ход Вася платит Пете рубль и называет любое целое число а по своему выбору, которое он еще не называл, а Петя в ответ говорит сколько решений в целых числах имеет уравнение Р(х)=а. Вася выигрывает, как только Петя два раза ( не обязательно подряд) назвал одно и то же число. Какого наименьшего числа рублей хватит Васе, чтобы гарантировано выиграть.

@темы: Олимпиадные задачи

---

Задача по функциональному анализу

[[~PSIH~]]

Пусть `x in C[0,1]`. На подпространстве (линейной оболочке) `span{x} subset C[0,1]` определим линейный функционал по формуле `f(lambda*x) = lambda*x(t_0) , t_0 in [0,1]`.
Нужно доказать, что продолжение по Хану-Банаху единственно тогда и только тогда, когда `{t in [0,1] : |x(t)| = ||x||} = {t_0}`.

Доказательство

Доказательство (а точнее, идеи доказательства):
`< =` Пусть имеем хотя бы две точки, в которых выполняется `|x(t)| = ||x||`. Назовем их `t_0` и `t_1`.
Понятно, что можно определить два линейный функционала `f_0(lambda*x) = lambda*x(t_0)` и `f_1(lambda*x) = lambda*x(t_1)`.
На подпространстве `span{x}`они тождественно совпадают. Рассмотрим их продолжения по Хану-Банаху. Получим: `F_0` и `F_1`.
Очевидно, что их нормы совпадают. Насколько я понимаю, нужно показать, что это разные функционалы, а потом нужно `F_1` переопределить на `span{x}` как взятие значения в точке `t_0`. И это получатся два продолжения `f_0`. Но как-то это все очень наивно.
Да и непонятно что делать со случаем, когда в точке `t_0` функция `x` не достигает своей нормы.
`= >`В обратную сторону вообще непонятно что делать. Имеем единственное продолжение... И что мы можем из этого вынести?
Верно ли вообще это? Вопрос в задаче, вообще говоря, формулируется так: "Единственно ли продолжение по Хану-Банаху такого функционала" (т.е. без утверждения тогда и только тогда). Ответ такой: "Единственно, если `{t in [0,1] : |x(t)| = ||x||} = {t_0}`".
С преподавателем обсуждали эту задачу, он говорил именно об эквивалентности, но я что-то сомневаюсь..
Надеюсь на Вашу помощь. Заранее спасибо!

@темы: Функциональный анализ

---

Доказательство следствия

[IvanTemnikov]

Здравствуйте! Есть следующее следствие из теоремы (продолжение все своих пределов ):

Доказательство этого факта не могу нигде найти... Можете помочь доказать?

@темы: Математический анализ, Пределы

---

[MisteryS]

Определить силовские подгруппы и их количество, классы сопряженных элементов и ряд коммутантов для группы группы `G=D_6×A_4`

Моё решение:
порядок группы G равен 12*4=2^4*3
Силовских 2-подргупп в D_6 имеется 3
а А_4 совпадает со своей силовской 2-группой
Всякая силовская p-подгруппа прямого произведения двух групп является прямым произведением силовских p-подгрупп сомножителей. Одна такая группа есть, а все остальные ей сопряжены
Тогда силовских 2-подгрупп в G будет 6, а силовская 3-подгруппа одна....

Это правильно?....сомневаюсь)

@темы: Высшая алгебра

---

Всесибирская олимпиада

[wpoms.]

Всесибирская открытая олимпиада школьников
Сайт олимпиады
Архив ВООШ

Олимпиада 2016-2017 гг. по математике
Первый этап, 23-10-2016

11 класс

11.1. Найти все натуральные числа `n` такие, что существуют `n` последовательных натуральных чисел, сумма которых равна `n^2`.

11.2. Найти решение уравнения `cos^2(x) + cos^2(2*x) + cos^2(3*x) = 1`.

11.3. При каком наименьшем `n` выполнено условие: если в таблице размера `6 xx 6` в произвольном порядке расставить `n` крестиков (не более одного в клетке), то обязательно найдутся три клетки, образующие полоску длины 3, вертикальную или горизонтальную, в каждой из которых стоит крестик?

11.4. Найдите все натуральные числа `x` такие, что произведение всех цифр в десятичной записи `x` равно `x^2 - 10*x - 22 = 0`.

11.5. На плоскости дан отрезок `AB` и на нём произвольная точка `M`. На отрезках `AM` и `MB` как на сторонах построены квадраты `AMCD` и `MBFE`, лежащие по одну сторону от `AB`, и `N` - точка пересечения прямых `AF` и `BC`. Докажите, что при любом положении точки `M` на отрезке `AB` каждая прямая `MN` проходит через некоторую точку `S`, общую для всех таких прямых.

@темы: Олимпиадные задачи

---

Теория поля

[noa_starscorpio]

Здравствуйте! срочно нужна помощь по решению задач!
3. Найти поток вектора F=2*i+1/y*j+x*k через поверхность Y0Z, ограниченную прямыми: y=y1, z=z1, y=y2, z=z2 .
3.Найти уравнение эквипотенциальной поверхности проходящей через точку (2, 0, 2) потенциальной функции U=A/(x2+y2+(z-B)2).
1. Найти массу сектора горизонтального круга R с распределением плотности =a+bx+cy, ограниченную линиями x=0, y=x (x>0;y>0). Центр круга находится в начале координат.
2. Найти потенциал и составляющую Х напряженности поля на оси OY от точечной массы m, расположенной на оси OZ.
3. Найти потенциал и составляющую Z напряженности поля на оси OZ от диполя с моментом А направленным параллельно оси OY, лежащего на оси OY.
4. Найти потенциал и составляющую Z напряженности поля на оси OX от бесконечной линейной массы постоянной плотности , пересекающую ось OZ.
1. Найти потенциал и составляющие напряженности поля на оси OY от вертикального стержня постоянной линейной плотности высотой h. Центр стержня находится в точке (0,0,с).
2. Найти потенциал поля на оси OX от поверхности массы постоянной плотности , распределенной вдоль горизонтальной бесконечной полосы вытянутой вдоль оси OY шириной 2b. Центр полосы расположен в точке (0, 0, h).

@темы: Кратные и криволинейные интегралы

---

Найти поле разложения многочлена

[MisteryS]

Найти поле разложения многочлена `(x^2-4x+1)(x^2+4) \in Q[x]`. Указать степень и базис над Q


Я нашла корни: 2-sqrt(3), 2+sqrt(3), 2i, -2i

а вот что делать дальше-то...?

@темы: Высшая алгебра

---

Факторгруппа

[MisteryS]

Определить факторгруппу `A // B`, где `A= < x_1, x_2, x_3, x_4 >`- свободная абелева группа, `B =(y_1,y_2,y_3)` и
` {(y_1 = 2x_1+x_2-3x_3+x_4), (y_2 = 4x_1+6x_3-2x_4), (y_3 = -x_2+x_3+x_4):}`

Подскажите, пожалуйста, алгоритм решения этой задачи. Совершенно не имею представления, как ее решить

@темы: Высшая алгебра

---

Тензоры

[IWannaBeTheVeryBest]

Я уже задавал здесь вопрос по тензорам, но видимо он оказался слишком длинным. Можно вот так.
Почему линейное преобразование является тензором типа/валентности (1, 1)?
Вот что сказано в книге по этому поводу

Про двумерную матрицу ясно. Поэтому и ранг тензора, если я верно выражаюсь, равен 2 (1 + 1).
Как преобразование элементов матрицы преобразования при переходе от базиса к базису должно мне сказать, что это тензор именно (1, 1), а не (2, 0) или (0, 2)?

@темы: Линейная алгебра

---

Уравнение прямой в отрезках для вертикальной прямой.

[alligator76]

Есть вертикальная прямая, допустим, `x=5`.

Можно ли сказать, что для данной прямой отсутствует уравнение в отрезках, т.к. в данном уравнении отсутствует координата `y`?

Или нужно записывать это уравнение в виде

`x/5+y/infty=1`?

Помогите разобраться.

@темы: Аналитическая геометрия