Доказательство следствия

[IvanTemnikov]

Здравствуйте! Есть следующее следствие из теоремы (продолжение все своих пределов ):

Доказательство этого факта не могу нигде найти... Можете помочь доказать?

@темы: Математический анализ, Пределы

Comments

[Alidoro]

Пусть `x_0` произвольная точка замкнутого множества `X`. Пусть при `|x|>K` `f(x)>f(x_0)`. Существование такого `K` следует из существования предела.
Положим `B=\{x in X: |x| le K\}`. Это множество ограничено замкнуто и содержит `x_0`. На нем функция достигает минимума. Но этот минимум будет также и на множестве `X`, поскольку в точках `X` вне множества `B` функция больше чем `f(x_0)`.

[IvanTemnikov]

А как здесь учитывается условие бесконечного роста функции на `R^n`?

[IvanTemnikov]

Я вот пошел по-другому пути...
Пусть `X` - произвольное множество в `RR^n`. Функция бесконечно растет на `X`, если на последовательности `{x_k}` такой, что `x_k \to x_{k}^{0}` выполняется `\lim_{k \to \infty} f(x_k)= +\infty`. Пусть последовательность `{x_k} \in X` такая, что `\lim_{k \to \infty} f(x_k)= f**=\inf_{X} f(x)`. И теперь хочу показать, что последовательность `{x_k}` ограничена, а значит любая ее предельная точка будет лежать в множестве `X` ... Как лучше, от противного доказывать?

[All_ex]

IvanTemnikov, А как здесь учитывается условие бесконечного роста функции на `R^n`?
На этом основано существование константы `K`...
Правильнее сказать, что здесь прямо использовано определение бесконечного предела на бесконечности...

Я вот пошел по-другому пути...
Странности у Вас написаны... и не складывается ощущения, что это цельное решение... какие-то отдельные мысли...

если на последовательности `{x_k}` такой, что `x_k \to x_{k}^{0}` выполняется `\lim_{k \to \infty} f(x_k)= +\infty`.
Ну, вообще-то функция стремится к бесконечности при неограниченном росте аргументов... а в любой конечной точке она ограничена, что является следствием непрерывности...

Пусть последовательность `{x_k} \in X` такая, что `\lim_{k \to \infty} f(x_k)= f**=\inf_{X} f(x)`.
А где уверенность что`\inf_{X} f(x) \neq - \infty`?...

[IvanTemnikov]

Странности у Вас написаны... и не складывается ощущения, что это цельное решение... какие-то отдельные мысли...

- оно и не будет складываться, ведь я только пытаюсь доказать

Ну, вообще-то функция стремится к бесконечности при неограниченном росте аргументов... а в любой конечной точке она ограничена, что является следствием непрерывности...

- вставлю определение из учебника :

А где уверенность что`\inf_{X} f(x) \neq - \infty`?...

- а нельзя просто взять такую последовательность?

[IvanTemnikov]

Ну собственно суть доказательства ясна. Если множество неограничено, то можно рассмотреть его пересечение с шаром достаточно большого радиуса. Пересечение будет замкнуто и ограничено, а потому функция будет достигать на нем своего минимума. Обозначить его через `K`. Шар нужно выбрать таким, чтобы во всех точках функция была бы больше, чем `K` ( это позволяет существование бесконечного предела). Тогда минимум будет достигаться на всем множестве и им будет `K`.

[All_ex]

IvanTemnikov, одна просьба... при вставке картинок используйте вариант "Превью в MORE"... что позволяет не прыгать по закладкам при просмотре...

=========================

- вставлю определение из учебника :
Может я некорректно выразился... ... но имелось ввиду условие в доказываемом следствии о пределе равном бесконечности при любом направлении удаления от начала координат...

Ну собственно суть доказательства ясна.
понял... отстал...