каноническое уравнение

[rom7]

Помогите разобраться.

Было уравнение 9x^2+24xy+16y^2-40x+30y=0

Привел к новым координатам, получился угол поворота arctg (4/3)

после преобразований получил 288(x')^2-288(y')2-168x'y'+455x'+1310y'=0

Что дальше делать, непонятно

@темы: Линии второго порядка

---

[magi_renn]

Пытаюсь разобраться с контрольной работой. Что-то могу решить, но в основном я не знаю с чего и начать.

№1
В пространстве многочленов не выше третьей степени оператор А действует по правилу Ар=(х^2-1)p'-(3*x-1)p
Найти матрицу оператора А в каноническом базисе пространства многочленов, KerA, ImA.

№2
w(t)=(t-2)^2 *(t+1)^3-минимальный q(t)=(t-2)^2 *(t+1)^3 - характеристический многочлены матрицы А. Для каждого с.ч. матрицы А указать его алгебраическую и геометрическую кратности, собственное и корневое подпространства. Выписать жорданову форму J матрицы А, найти sin(Jt) (t->R)

№3
Найти невырожденное линейное преобразование, приводящее кв. формы f и g к каноническому виду:
f(x)=2*(x4)^2+(x1)*(x2)+(x1)*(x3)-2*(x2)*(x3)+2(x2)*(x4)
g(x)=1/4*(x1)^2+(x2)^2+(x3)^2+2*(x4)^2 +2*(x2)*(x4)

№4
Применив теоремы Якоби, выписать канонический вид кв. формы f:

f(x)=(x1)^2-4*(x2)^2+2*(x3)^2=20*(x4)^2-2*(x1)(x2)+4*(x1)(x3)+14*(x1)(x4)-6*(x2)(x3)-12(x2)(x4)+14(x3)(x4)

мои решения
3) (тут я приблизительно представляю что нужно сделать, но решение скорее всего все равно не верное)


4)


Пожалуйста, помогите разобраться с остальными номерами, и подскажите если где-то что-то не правильно.
Заранее спасибо.

@темы: Линейная алгебра

---

[Сабико]

Здравствуйте.

Устойчиво ли решение системы

x' = x - y

y' = 2x - y + 6sin²t

имеющее период pi.

Во всех нагугленных примерах дается конкретное (или нулевое) решение, которое надо проверять на устойчивость. Надо ли находить решение здесь, или для проверки на устойчивость достаточно как-то воспользоваться периодичностью решения? Если второе, то как?

@темы: Дифференциальные уравнения

---

[Yni]

Всем Здрасте, осталась последняя надежда...

Нужно упростить логическое выражение

F= (P ↔ Q) ∧ (¬(R → P))

Типовое решение
Упростить логическое выражение F = А ∧ В V А ∧ ¬В

Решение

Решение. По закону дистрибутивности вынесем А за скобки, получим:
F = А ∧ В V А ∧ ¬В = A ∧ (B V ¬B).
Воспользуемся основным законом алгебры логики B V ¬B =1, тогда
F = А ∧ 1.
Применим свойство констант А ∧ 1 = А, получим: F = А ∧ 1 = А
Ответ: F = А

Это Булева алгебра, к сожалению темы не нашла. Если что ткните я исправлю, что не так в оформлении.

@темы: Математическая логика, Дискретная математика

---

[Amicus Plato]

Сегодня исполнилось 346 лет со дня рождения Абрахама де Муавра.


Википедия
Абрахам де Муавр (фр. и англ. Abraham de Moivre; 26 мая 1667, Витри-ле-Франсуа — 27 ноября 1754, Лондон) — английский математик французского происхождения. Член Лондонского королевского общества (1697), Парижской (1754) и Берлинской (1735) академий наук.

Биография
Родился во Франции, в недворянской семье врача-гугенота; частицу де перед своей фамилией он добавил по собственной инициативе. В 11 лет поступил в Протестантскую академию в Седане, где успел проучиться 4 года, после чего академия была запрещена властями (1682). Муавр продолжил образование в Сомюре (2 года). Вероятно, в это время он познакомился с теорией вероятностей по трудам Гюйгенса.
Далее около года Муавр слушал лекции по физике и математике в Париже (в том числе у Озанама), но в 1685 году Людовик XIV официально отменил Нантский эдикт, возобновились притеснения протестантов, а сам Муавр попал в тюрьму. Подробности его заключения неизвестны, но так или иначе, он вынужден был покинуть родину.
В 1688 году он осел в Лондоне, где и прожил всю оставшуюся жизнь. На жизнь зарабатывал частным преподаванием. Вскоре Муавр стал известен как талантливый математик, однако как иностранец не имел никаких шансов на кафедру в английском учебном заведении. Религиозная дискриминация сменилась национальной.
Незадолго до его приезда вышла книга Ньютона «Математические начала натуральной философии» в трёх томах. Она так увлекла Муавра, что он разобрал её по листам и постоянно носил с собой очередную порцию для чтения, чтобы не терять времени при переездах от одного ученика к другому.
1692: познакомился с Галлеем, а через него — с Ньютоном. Вскоре они стали близкими друзьями. Ньютон чрезвычайно высоко ценил Муавра. Если верить сплетням той поры, Ньютон выпроваживал посетителей, досаждавших ему мелкими делами математического характера, с помощью следующей фразы: «Идите к де Муавру, он разбирается в этом лучше меня». Муавр также постоянно помогал Ньютону в издании и редактировании трудов (особенно «Оптики»).
1695: опубликован первый труд Муавра по анализу, «Метод флюксий».
1697: Муавр избран членом Лондонского королевского общества.
1710: участвует в комиссии, разбиравшей приоритетный спор Ньютона с Лейбницем.
1718: публикует свой главный труд по теории вероятностей: «The Doctrine of Chance: A method of calculating the probabilities of events in play». Книга вызвала большой интерес и выдержала 3 издания.
1722: публикует формулу Муавра.
1724: вероятностно-статистическое исследование «Annuities on lives» (переиздано четырежды).
1730: Муавр возвращается к анализу и публикует труд «Miscellanea Analytica», где впервые появляется формула Стирлинга.
По легенде, Муавр точно предсказал день собственной смерти. Обнаружив, что продолжительность его сна стала увеличиваться в арифметической прогрессии, он легко вычислил, когда она достигнет 24 часов, и, как всегда, не ошибся.

Научная деятельность
Открыл (1707) формулу Муавра для возведения в степень (и извлечения корней) комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.
Он первый стал использовать возведение в степень бесконечных рядов. Муавр также установил связь между рекуррентными последовательностями и разностными уравнениями. Внёс вклад в теорию решения однородных линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами.
Ему и Дж. Стирлингу принадлежит асимптотическое представление факториала, носящее название формулы Стирлинга.
Помимо анализа, Муавр внёс большой вклад в теорию вероятностей. Доказал частный случаи теоремы Лапласа. Провёл вероятностное исследование азартных игр и ряда статистических данных по народонаселению. Кроме нормального, он использовал равномерное распределение. Большинство результатов де Муавра были вскоре перекрыты трудами Лапласа; степень возможного влияния де Муавра на Лапласа неясна.

Интернет пестрит сенсационным рассказом о том, что Муавр точно предсказал дату своей смерти. В Википедии об этом тоже есть (и это процитировано выше), но поскольку мало кто читает гладкие тексты целиком, вынесу эту информацию отдельно.

---

Муавр умер в возрасте 87 лет. Незадолго до смерти он заметил, что становится всё более вялым, и ему требуется всё больше времени для сна. Математик подсчитал, что продолжительность его сна увеличивается в среднем на 15 минут в сутки. И сделал вывод, что умрёт, когда количество этих дополнительных минут станет равным 24-м часам. Исходя из этого он назвал дату — 27 ноября 1754-го года — и действительно скончался в этот день.

---

А вообще, советую почитать биографию. У Муавра была бурная жизнь!

Формула Муавра
Формула Муавра облегчила жизнь не одному поколению студентов.
Пусть комплексное число `z` представлено в тригонометрической форме: `z=r(cos phi + i sin phi)`. Тогда
`z^n=r^n (cos n phi + i sin n phi), n in ZZ`.
При вычислении корней из ненулевого комплексного числа `z` используется следующая формула:
`z^(1/n)=r^(1/n) (cos (phi+2 pi k)/n + i sin (phi+2 pi k)/n), k =0, 1,..., n-1`.
Из основной теоремы алгебры следует, что корни n-й степени из комплексного числа всегда существуют, и их количество равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса `root(n)r` с центром в нуле.
Про теоремы Муавра - Лапласа, с вашего позволения, писать не буду.

@темы: История математики, Люди

---

[Amicus Plato]

Итак! Дао — это таинственная женщина! Не удивительно, что я люблю Дао. Разве может быть что-либо очаровательней, чем таинственная женщина? Таинственная женщина восхитительна по двум причинам: (1) она женщина; (2) она таинственна. Да, пожалуй, женственность и таинственность являются самыми очаровательными вещами в жизни. Но еще и соединенные вместе! Боже праведный, что может быть более божественным? В соединении они гораздо более интригующие, нежели обе по отдельности! Другими словами, таинственная женщина вдвойне привлекательнее, нежели женщина без тайны, или нечто таинственное, но не женщина. Поэтому неудивительно, что я так люблю Дао. Рэймонд Смаллиан. "Молчаливое Дао"

Вторую цитату я бы хотела привести вне эпиграфа.
Why should I be worried about dying? It's not going to happen in my lifetime!
(Почему я должен беспокоиться о смерти? Ведь она не случится во время моей жизни. Как-то так... АР)
25 мая исполнилось 94 года со для рождения американского математика Рэймонда Меррилла Смаллиана, известного нам своими книжками по занимательной математике и не только.
И эта политика беззаботности приносит свои плоды. Пожелаем ему крепкого здоровья!

Википедия (Прочитайте и поразитесь!)
Рэймонд Меррилл Смаллиан (англ. Raymond Merrill Smullyan; 25 мая 1919, Куинс, Нью-Йорк) — американский математик, пианист, логик, даосский философ и фокусник-престидижитатор.
Не правда ли, впечатляющий список сфер деятельности?

---

Автор многочисленных научно-популярных книг по логике и математике: о логических загадках и парадоксах, передовых концепциях в логике, например, о теореме Гёделя о неполноте.
В своей книге о шахматах Шахматные приключения Шерлока Холмса (англ. The Chess Mysteries of Sherlock Holmes; 1979) в стиле произведений Артура Конан Дойля о Шерлоке Холмсе и Докторе Ватсоне описано введение в ретроспективный анализ.
Смаллиан написал несколько книг о даосской философии, в которых предпринята попытка разрешения большинства философских проблем и интеграции математики, логики и философии.
(На этом русская Википедия и иссякла. Перехожу к другим источникам)

---

Уже в детстве Смаллиан проявлял музыкальный талант, завоевав в возрасте 12 лет золотую медаль на конкурсе пианистов. Когда его семья переехала в район Манхэттена, он стал посещать Школу имени Теодора Рузвельта (Theodore Roosevelt High School) в Бронксе, так как эта школа предлагала музыкальные курсы, но скоро перешёл на самостоятельные занятия, поскольку в этой школе не было возможностей изучать математику на высоком уровне. Он посещал занятия в нескольких колледжах, изучая математику и музыку.
Первым его профессиональным занятием были фокусы. В 1955 году он получил степерь бакалавра в Чикагском университете, а в 1959 - докторскую степень в Принстоне (тема диссертации - "Теория формальных систем" ('Theory of Formal Systems'). Его научным руководителем был Алонзо Чёрч. Учась в аспирантуре, Смаллиан опубликовал в Journal of Symbolic Logic в 1957 году статью, заложившую современное понимание теоремы Гёделя о неполноте.
Рэймонд Смаллиан преподавал философию в Сити-Колледже в Нью-Йорке и написал несколько книг о философии дао, которая, по его мнению, решает большинство проблем традиционной философии и объединяет математику, логику и философию в неразрывное единство.
Кроме того, что Смаллиан преподаёт логику и пишет о ней книги, недавно он выпустил диск с записью его любимых классических пьес Баха, Скарлатти и Шуберта в собственном исполнении. Он также написал автобиографию под названием "Некоторые интересные воспоминания: Парадоксальная жизнь" ('Some Interesting Memories: A Paradoxical Life' (ISBN 1-888710-10-1)). В 2001 году режиссёр-документалист Тао Располи снял о Смаллиане фильм под названием "Этому фильму не нужно название: Жизнь Рэймонда Смаллиана" ('This Film Needs No Title: A Portrait of Raymond Smullyan').

Библиография
Логические задачи:
(1978) What Is the Name of This Book? (рус. пер. Как же называется эта книга?)
(1979) The Chess Mysteries of Sherlock Holmes (рус. пер. "Шахматные тайны Шерлока Холмса" в книге Шахматные тайны)
(1981) The Chess Mysteries of the Arabian Knights (рус. пер. "Шахматные тайны арабских коней" в книге Шахматные тайны)
(1982) The Lady or the Tiger? (рус. пер. Прицесса или тигр?)
(1982) Alice in Puzzle-Land (рус. пер. Алиса в стране смекалки , Приключения Алисы в Стране Головоломок)
(1985) To Mock a Mockingbird
(1987) Forever Undecided
(1992) Satan, Cantor and Infinity
(1997) The Riddle of Scheherazade
(2007) The Magic Garden of George B. And Other Logic Puzzles
(2009) Logical Labyrinths

Философия/мемуары:
(1977) The Tao is Silent (рус. пер. Молчаливое дао)
(1980) This Book Needs No Title
(1983) 5000 B.C. and other philosophical fantasies
(2002) Some Interesting Memories: A Paradoxical Life
(2003) Who Knows?: A Study of Religious Consciousness
(2009) Rambles Through My Library

Научные работы:
(1961) Theory of Formal Systems
(1968) First-Order Logic
(1992) Gödel's Incompleteness Theorems
(1993) Recursion Theory for Metamathematics
(1994) Diagonalization and Self-Reference
(1996) Set Theory and the Continuum Problem
Отсюда: livelib.ru

В нашем сообществе, благодаря  vis1952 есть следующие книги Смаллиана:
1. Смаллиан Р.М. Алиса в Стране Смекалки.– М.: Мир, 1987.
2. Смаллиан Р.М. Приключения Алисы в Стране Головоломок. – М.: Просвещение, 2008.
3. Смаллиан Р.М. Принцесса или тигр? – М.: Мир, 1985.
4. Смаллиан Р. М. Как же называется эта книга? Научные развлечения. – М.: Мир, 1981.

@темы: История математики, Люди

---

[MisteryS]

Постоить два линейных оператора таких, что А≠В
Ker A = Ker B
Im A = Im B

@темы: Линейная алгебра

---

Комплексные числа

[Dragon75]

уравнение №1

Решите уравнение `3*z^4-7*z^3+4*z^2+14*z-8=0` если известно, что число `z_1=(3-i*sqrt(7))/2` тоже является его корнем
Помогите с этим ур-ем, я подставлял делители свободного члена ; вынес `z` за скобки приравнял к `8` , а `8=4*2=8*1=-8*-1` и ничего не помогло, всегда не равно 0, это уравнение вообще как можно решить? я также пытался оперировать с самим данным корнем, нашел модуль этого комплексного числа, но ничего более(((

@темы: Теория многочленов, Комплексные числа

---

Определить мощность множества

[elelas]

Условия: есть множество всех невозрастающих функций `f: N -> N`. Определить его можность.

Нет даже идей, с чего начинать, да и как вообще это делать. Подкиньте, пожалуйста.

@темы: Множества

---

[MisteryS]

Доказать, что линейный оператор, определённый на подпространстве, можно распространить на все линейные пространства.

@темы: Линейная алгебра

---

Корреляционный и регрессионный анализ трехмерной генеральной совокупности

[nastik009]

можно ли выполнить анализ по этой таблице (сомневаюсь) ?

@темы: Теория вероятностей, Математическая статистика

---

Мат. статистика

[Afu-Ra]

Здравствуйте, проверьте пожалуйста задачку.

Задана плотность распределения случайной величины f (x) . Найти: значение параметра a , функцию распределения F(x) , математическое ожидание. Построить графики функций f (x) и F(x).

`f(x)={(a/sqrt(9-x^2), |x|<3), (0, |x|>=3 ):}`

Решение

Графики функций я сам построю. Проверьте пожалуйста, правильно у меня или нет.

@темы: Теория вероятностей

---

Случайные величины

[Afu-Ra]

Добрый день, подскажите пожалуйста с задачкой

С целью привлечения покупателей компания “Кока-кола” проводит рекламную акцию, в которой каждая десятая бутылка напитка, выпущенного фирмой, является призовой Построить ряд распределения для дискретной случайной величины X - числа призовых бутылок из четырех приобретенных, найти ее функцию распределения F(x), числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение. Построить многоугольник распределения и график функции F(x) .

Решение

Я подсчитал и что-то ерунда у меня получается. Я выложил это, чтобы хоть что-то у меня было. Не могу сообразить как решить. Мне кажется, вероятности должны получиться: 0,1 , 0,2 , 0,3 и 0,4, но я незнаю как это получить. Я туплю что-то. Подскажите пожалуйста.

@темы: Математическая статистика

---

Интегральчик

[ritmix10]

Всем привет, вот столкнулся вот с таким интегралом

int(1-b*epx(-x/a)dx)

Вопрос, как его взять???

@темы: Математический анализ

---

Решение уравнения

[rud01f]

Здравствуйте!
Пожалуйста, помогите разобраться с задачей.
Имелась некоторая функция распределения непрерывной случайной величины x и требовалось найти медиану. В итоге получился полином, который ввел меня в ступор.
`1/2exp(-x)x^2-xexp(-x)-exp(-x)+1=1/2`

@темы: Теория вероятностей, Математическая статистика

---

Король Артур vs Дракон

[wpoms.]

У короля Артура должна состояться битва с драконом о трёх головах и трёх хвостах. У короля имеется волшебный меч, который за один удар мог сделать одну (и только одну) из следующих вещей: • срубить одну голову; • срубить две головы; • отрубить хвост; • отрубить два хвоста. Фея Моргана открыла королю Артуру секрет дракона: • если срубить одну голову, то вырастает новая; • если срубить две головы, то ничего не происходит; • вместо отрубленного хвоста вырастают два новых; • при отрубании двух хвостов вырастает новая голова; • дракон умирает, если вы отрубите все три головы и три хвоста. Сколько ударов необходимо сделать, чтобы убить дракона?

@темы: Олимпиадные задачи

---

Линейная алгебра, линейные операторы

[Sunline1990]

Здравствуйте! Есть такие задания:
1. Линейный оператор `A` , действующий в `R^2` переводит вектора `bar(a)=(2,3)`,`bar(b)=(3,4)` соответственно в векторы `bar(c)=(1,1)`,`bar(d)=(2,2)`. Найти матрицу этого оператора в стандартном базисе.

Решение

2. Доказать линейность оператора `A` , найти его ядро и образ. Составить матрицу оператора `A` в базисе `P_1=((0,1), (0,0))`, `P_2=((1,1),(0,0))`, `P_3=((0,1),(0,1))`, `P_4=((1,1),(1,1))`.
`A(X)=X*P_1`

Решение

Проблема с базисом образа. Если использовать формулу `dim KerA+dim IM A=dimV`, тогда `dim IM A=2`. Но ведь ранг найденной матрицы равен одному, т.е должно быть`dim IM A=1`. Получается, что неправильно сделано что-то. Прошу разобраться, где же

3. Доказать линейность оператора `A` , найти его ядро и образ. Составить матрицу оператора `A` в базисе `f_1(x)=1+x`; `f_2(x)=x+x^2`; `f_3(x)=x+x^3`; `f_4(x)=x^3` пространства всех многочленов степени не выше 3 над `R`
`A(f(x))=f(x)-x*f'(0)`

Решение

Прошу проверить (особенно второе не ладится) и, если неправильно, помочь исправить.
Заранее спасибо за помощь!

@темы: Линейная алгебра

---

[Santa Evita]

Исследовать на абсолютную сходимость ряд.

Сумма (n=1 до +бесконечности) (sin n / n)

попытки решения

Я почти уверена, что модуль ряда расходится, и хочу доказать это по признаку сравнения, ограничив его снизу, но никак не могу справиться с синусом. Не понимаю, чем его можно ограничить.

@темы: Математический анализ, Ряды

---

Математический анализ.

[carameli_girl]

Добрый вечер!
Требуется небольшая помощь в решении задачи.
Нужно исследовать функцию на дифференцируемость.
`F(x)=(sin^4(x)+cos^4(y))^(1/3)`
Нахожу частные производные, записываю определение дифференцируемости.
по х-частная производная равна нулю, по у-тоже.
`(sin^4(Deltax)+cos^4(Deltay))^(1/3)-1=O((Deltax)^2+(Deltay)^2)`
пытаюсь найти предел от
`lim_((Deltax->0,Deltay->0))((sin^4(Deltax)+cos^4(Deltay))^(1/3)-1)/((Deltax)^2+(Deltay)^2)`
он должен равнятся нулю(в ответах сказано, что функция дифференцируема)
Пробовала найти по определению, не получилось.
Заранее благодарна.)

@темы: Математический анализ

---

Линейная алгебра, билинейные и квадратичные формы

[Sunline1990]

Здравствуйте!
1. Привести квадратичную форму `(1,5,5,4,2,0)` к каноническому виду методом Лагранжа. Выяснить по каноническому виду положительную(отрицательную) определенность.
Мое

решение

Преподаватель написал, что в этом задании ошибка. Я пересматривал, ничего не нашел. Помогите ее найти. Заранее спасибо.

@темы: Линейная алгебра