`{(\sqrt\frac{x}{y}+\sqrt\frac{y}{z}+\sqrt\frac{z}{x}=3),(\sqrt\frac{y}{x}+\sqrt\frac{z}{y}+\sqrt\frac{x}{z}=3),(\sqrt{xyz}=1):}`
Предлагается следующее решение:
Несложными рассуждениями находим ОДЗ: `x>0`, `y>0`, `z>0`.
Из первого уравнения видим, что величины `t=\sqrt\frac{x}{y}`, `u=\sqrt\frac{y}{z}`, `v=\sqrt\frac{z}{x}` в сумме дают 3, а их произведение, естественно, равно 1, поэтому их среднее арифметическое равно их среднему геометрическому, а такое бывает, когда эти величины равны между собой. Теперь, опять из первого уравнения делаем вывод, что эти величины равны единице и выполняется равенство x=y=z. Принимая во внимание третье уравнение получаем x=y=z=1.
1) Допустимо ли такое решение на экзамене?
2) Зачем в системе второе уравнение?
Предлагается следующее решение:
Несложными рассуждениями находим ОДЗ: `x>0`, `y>0`, `z>0`.
Из первого уравнения видим, что величины `t=\sqrt\frac{x}{y}`, `u=\sqrt\frac{y}{z}`, `v=\sqrt\frac{z}{x}` в сумме дают 3, а их произведение, естественно, равно 1, поэтому их среднее арифметическое равно их среднему геометрическому, а такое бывает, когда эти величины равны между собой. Теперь, опять из первого уравнения делаем вывод, что эти величины равны единице и выполняется равенство x=y=z. Принимая во внимание третье уравнение получаем x=y=z=1.
1) Допустимо ли такое решение на экзамене?
2) Зачем в системе второе уравнение?
