Параметральное уравнение

[peremenka]

cos2x - (3 + 2b)cosx + 6b = 0
Нужно найти наим значение b, при котором уравнение имеет хотя бы один корень.

Мои действия:
2cos^2(x) - 1 - (3 + 2b)cosx + 6b = 0
2cos^2(x) - (3 + 2b)cosx + 6b - 1 = 0
Пусть cosx = t, тогда
2t^2 - (3 + 2b)t + 6b - 1 = 0
Дискриминант 4b^2 - 36b + 17 должен быть больше либо равно нуля.
Получается, что b принадлежит (-~; 0.5)V(8.5;+~)

Не должно так быть. Может где-то ошибка?

@темы: Задачи с параметром, ЕГЭ

Comments

[Robot]

к.черный
Ну, тогда ищите пробел в моей логике. Значит, логическая ошибка

[aalleexx]

Надо бы взять b=9, например, и посмотреть

Легко t= 6.280776407, 4.219223593

[Robot]

aalleexx
к.черный уже проверила)), да
Если можно, найдите у меня ошибку

[aalleexx]

Можно например так - посмотреть когда оба корня по модулю больше 1
Три случая {t0<-1;f(-1)>0}, {t0>1,f(1)>0}, {f(-1)<0,f(1)<0}, где t0 - вершина параболы
Результаты объединяем b in (-беск;-0,5)U(0,5;беск).
Значит ответ [-0,5;0,5]
Насчет логической ошибки сейчас посмотрю

[к.черный]

тогда ищите пробел в моей логике

лучше я реабилитирую свою логику.

Квадратичная функция будет иметь хотя бы один корень на отрезке [-1; 1], если:
1) она имеет ровно 1 корень на отрезке или
2) имеет два корня на отрезке

1) f(-1)*f(1) < = 0

2) D > 0
-1 < t0 < 1
f(-1) > 0
f(1) > 0
ответ [-0,5; 0,5]

[aalleexx]

Robot , мне кажется ошибка в том, что условие неотрицательности дискриминанта надо не объединять, а пересекать

[Robot]

А-а. я поняла
Я страшно неправа
Нужно все позачеркнуть
Я рассматривала только случай: один корень больше 1, а другой меньше -1
То есть так не пойдет
А три случая это очень долго

[к.черный]

aalleexx я тоже рассматривала три случая
Я подправлю t0 вместо х0 ?

[aalleexx]

к.черный , да, конечно, t0! По инерции написал!

[Robot]

aalleexx Я пересекала.
Но тут дело не в этом оказалось..
к.черный
ага, если подключить второй случай, то так.
И учитывая, что мой подход требует рассмотрения аж трех случаев (из которых я по дурости взяла только один), то так гораздо лучше
И все-таки мне кажется, что где-то в литературе уже должен быть рассмотрен случай: хотя бы один корень лежит на промежутке

[Robot]

В общем, все, ухожу на покой(((

[aalleexx]

В общем, все, ухожу на покой

Не, не, не!!! Еще не время!

[Robot]

aalleexx
Лучше уйти раньше))

к.черный, а там во втором случае не надо нестрогие неравенства?

[Гость]

А может использоватьчетность функции, стоящей в левой части уравнения.
х=0-необходимое условие существования нечетного количества корней.b=0.5.
Рассм. корень t в промежутке [0;1]. F(0)*f(1)<=0, b принадлежит [1/6;0.5]
Используя симметрию, b принадлежит [-0.5;1/6]

[Гость]

В последней скобке -1/6

[к.черный]

еще вот какое наблюдение.
При t > = 8,5
t0 >=5
А, учитывая, что при любом значении t парабола проходит через точку (3; 8), получаем, что при t > = 8,5 нужных корней нет.