[~Endorama~]

Можно ли данный двугранный угол величиной 90 градусов пересечь плоскостью так, чтобы в полученном сечении образовался угол в 110 градусов?
Понятно, что такое может быть, но вот как это доказать я не знаю.

@темы: Стереометрия

Comments

[Alidoro]

Понятно, что такое может быть

Это у вас опечатка? По-моему, не может.

[Гость]

Alidoro

Это смотря угол между чем и чем... Мне вот сам вопрос непонятен.

Trotil.

[Alidoro]

А, действительно может.
Гость
Ну это угол между теми лучами, которые образуются при сечении двух полуплоскостей, образующих двугранный угол, третьей секущей плоскостью.

Если мы пересечем угол плоскостью, перпендикулярной ребру двугранного угла, то получим в сечении прямой угол. Далее если взять биссектрису этого прямого угла и вращать секущую плоскость вокруг этой биссектрисы, то угол в сечении будет плавно расти от 90 градусов до 180. По какой-то там теореме анализа он будет принимать все промежуточные значения, в том числе и 110 градусов.

[Garryncha]

Легко теоремой косинусов показать, что этого не может быть.

[Гость]

Alidoro

Спасибо за чёткое определение!

Trotil.

[Alidoro]

Garryncha Теоремой косинусов для сферического треугольника?

Зря я начал про сферическую геометрию. Можно оставаться в терминологии трехгранного угла.
school.abitu.ru/lib/shabunin/Direct_planes/ster...

[Garryncha]

Alidoro, а что, есть такая?:-) Короче, я ошибся, рассмотрев только один случай.:-)
Можно так доказать, что можно получить плоский угол в 110 градусов. Пересечём двугранный угол плоскостью, перпендикулярной его ребру, точку пересечения возьмём за начало координат, по пересечению плоскости с одной гранью пойдёт ось x, по другой — ось y, причём сориентируем оси так, чтобы положительные полуоси лежали на сторонах двугранного угла, ребро двугранного угла будет осью z. Выберем точку на одной грани (содержащей Ox), у неё будут координаты (x2, 0, z2), и на другой грани (содержащей Oy) — у неё будут координаты (0, y1, z1). При этом будем выбирать z1 и z2 разных знаков, а x2 и y1 положительными. Проведём через выбранные точки и (0, 0, 0) плоскость. Ясно, что она пересечёт двугранный угол. В треугольнике из этих точек нам нужно подобрать значения координат так, что угол q при (0, 0, 0) будет равен 110 градусов. Пусть cos 110 = t. Стороны при (0,0,0) равны sqrt(x2^2 + z2^2) и sqrt(y1^2 + z1^2), а третья — sqrt(x2^2 + y1^2 + (z1-z2)^2). По теореме косинусов cos q = (x2^2 + z2^2 + y1^2 + z1^2 - (x2^2 + y1^2 + (z1-z2)^2)) / (2 * sqrt(x2^2 + z2^2) * sqrt(y1^2 + z1^2)) = z1z2 / (sqrt(x2^2 + z2^2) * sqrt(y1^2 + z1^2)). Приравняем cos q = t, возьмём z2 = 1, y1 = 1, x2 = sqrt(3), возведём в квадрат, выразим z1. У меня получилось, z1^2 = t^2/ (1 - t^2), (ясно, что 0 < t < 1) выбираем отрицательное значение z1 и получаем требуемое значение cos q.

[~Endorama~]

Garryncha, класс!)
не могли бы Вы объяснить мне несколько моментов:
1. почему надо брать z1 и z2 разных знаков?
2. почему в самом конце мы берем такие значения для z2=1, y1=1 x2=sqrt(3)?

[Garryncha]

Vikora, кстати, я наврал ещё в одном моменте (несущественно):

У меня получилось, z1^2 = t^2/ (1 - t^2), (ясно, что 0 < t < 1)

На самом деле -1 < t < 0, а я имел в виду 0 < |t| < 1.:-)
Мы имеем полный произвол в выборе всех параметров z1, z2, y1, x2, т.к. мы же сами выбираем точки, через которые проводим плоскость, на которой будет угол 110 градусов. Поэтому я взял значения z2=1, y1=1 x2=sqrt(3) от фонаря.:-)
Значения z1 и z2 мы тоже можем выбирать, какие хотим. Но у нас же получается cos q = z1z2 / (sqrt(x2^2 + z2^2) * sqrt(y1^2 + z1^2)), и косинус должен быть отрицательным, т.к. угол в треугольнике тупой — 110 градусов. Поэтому берём z1 и z2 разных знаков.
Вобщем, мы демонстрируем 3 точки, через которые проходит единственная плоскость. А эта плоскость при пересечении граней двугранного угла даёт плоский угол в 110 градусов, обоснование приведено, а почему мы взяли эти точки пусть никого не волнует.:-)

[~Endorama~]

Garryncha, ясно. Спасибо огромное)