Задача по линейной алгебре

[Тамара Ублюдова]

Подскажите пожалуйста. как доказать, что если матрица симметрична в неком ортонормированном базисе, то она симметрична и в любом другом ортонормированном базисе? Заранее благодарна

@темы: Линейная алгебра

Comments

[Тамара Ублюдова]

Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортогональна, и по формуле получения матрицы в другом базисе, если в качестве матрицы перехода взять ортогональную, симметричность действительно сохраняется, только это естественно не доказательство) Подскажите, подайте мысль хотя бы)) Очень прошу

[Alidoro]

Сначала вы определитесь, что такое матрица в базисе, чтобы понять, каков закон ее изменения при изменении базиса. Ведь могут быть самые разные случаи. Скажем, если матрица представляет собой набор векторов, координаты которого в данном базисе записаны по столбцам матрицы, то при изменении базиса симметричность сохраняться не будет.

[Robot]

если про матрицу линейного оператора идет речь, то, наверное, надо вспомнить, как связаны матрицы оператора А и А' относительно различных базисов и потом проверить выполняется ли определение симметричной матрицы для A'

[Гость]

ну связь А'=S^(-1)*A*S (ну или вместо обратной матрицы перехода транстпонированная вследствие её ортогональности). И как здесь проверить симметричность А'?

[Robot]

По определению
Посмотрите, чему равна A'^t

[asdf86181398]

Еще можно рассмотреть, что симметричная матрица A всегда приводится к виду: , где Q -- ортогональная, D -- диагональная. Отсюда в новом базисе , где B -- ортогональная.