Аналитическая геометрия

[~Dasha]

Добрый день! Пожалуйста, помогите в решении задачи:

Найти уравнения плоскостей, проходящих через ось ОХ и отстоящих на 8 единиц от точки М(5;4;13)

Как представляется мне: общее уравнение плоскостей Ax+By+Cz+D=0. Так как плоскости проходят через ось абсцисс, то Ax+D=0, т.е. By+Cz=0
Расстояние от точки до плоскости выражается формулой, которая в нашем случае выглядит: d=|By+Cz|/sqrt(B^2+C^2). Приравниваем это к восьми и вместо y и z подставляем соответственно 4 и 13. А что дальше?

Срок - до вечера воскресенья

@темы: Аналитическая геометрия

Comments

[Alidoro]

Наверно, будет проще, если вы будете искать такие B и C, что B^2+C^2=1.
Тогда вам нужно решить две системы: By+Cz=8 и By+Cz=-8. Вторым уравнением систем будет B^2+C^2=1.
Обе системы сведутся к квадратному уравнению. Два решения этого уравнения с точки зрения получающегося уравнения прямой будут эквивалентны.

[asdf86181398]

К словам Alidoro я могу добавить только, что легко показать, что следующие уравнения искомые:

)))

[~Dasha]

Почему можно утверждать, что

B^2+C^2=1

?
И получается, мы не учитываем точку М?

[asdf86181398]

А что дальше?

Дальше вы просто тупо решаете получившееся уравнение. Оно будет квадратным относительно B и C, т.е. B можно выразить через С (или наоборот). Вы это делаете и получаете те плоскости, что я написал :-)

[~Dasha]

Получившееся квадратное уравнение выглядит так: 48B^2-105C^2-104BC=0. И даже если я выражу одну переменную через другую, то вторая останется неизвестной и в искомом уравнении плоскостей она будет присутствовать наряду с "y" и "z".
И почему вы говорите, что

легко показать, что следующие уравнения искомые

?
Есть какая-то формула?
Как я понимаю, в скобках 2 и sqrt13 - это извлеченные корни из значений ординаты и аппликаты точки М.
Но почему мы скобку умножаем на 2/3 и перед z нет коэффициентов?

[Alidoro]

> Почему можно утверждать, что
> B^2+C^2=1?
Так сразу этого нельзя утверждать. Просто, если у вас уже есть уравнение, то вы вольны умножать B и C на любое число. Получившееся новое уравнение будет определять ту же самую плоскость. При некотором множителе k (k*B)^2+(k*C)^2 будет равняться единице. Так что нам проще сразу в качестве неизвестных искать эти домноженные коэффициенты k*B и k*C.

> Получившееся квадратное уравнение выглядит так: 48B^2-105C^2-104BC=0
У вас же есть еще одно линейное уравнение. Вот используя его и выражайте B через C (или наоборот). После подстановки этого выражения в квадратное уравнение получите уравнение уже с одним неизвестным B. В школе вы системы уравнений решали?

[asdf86181398]

И даже если я выражу одну переменную через другую, то вторая останется неизвестной и в искомом уравнении плоскостей она будет присутствовать наряду с "y" и "z".

Да, совершенно верно! Но на эту переменную потом можно просто сократить.
Т.е. у вас получится уравнение вида:
что равнозначно , потому что оба этих уравнения задают один и тот же геометрический объект

А по поводу

легко показать

-- то это просто шутка. Видите сколько я смайликов я поставил! Т.е. это ответ, который у меня получился)