Интегралы в полярных и сферических координатах (уточнить пределы)

[nevnuff]

Добрый вечер!!
Помогите, пожалуйста, с задачками...
Я решаю интегралы. Как я понимаю, представленные примеры необходимо решать с преобразованиями координат.
Остались следующие загвоздки:
1 задача: Помогите определить пределы интегрирования (поняла только, что радиус в этом случае = от 0 до 2*корень(2))

2 задача: Так ли я решаю? Никак не могу пройти дальше

Up: Я выкладываю решение, которое у меня получилось в итоге... вроде бы по рассуждениям всё правильно, но почему-то конечный ответ не сходится с тем, что предложен в задачнике (там 8pi).
Пожалуйста, не могли бы вы уточнить, те ли пределы я использую?

запись создана: 06.12.2009 в 23:00

@темы: Кратные и криволинейные интегралы, Интегралы

Comments

[nevnuff]

Касательно первой задачи:
будут ли верными следующие пределы:
по R: от 0 до 2
по Тетта: от 0 до П
по Фи: от -П/2 до П/2
??

[Хранитель печати]

nevnuff
в первой задаче:
ограничивающие поверхности - это
1) плоскость x=0 (граница слева)
2) сфера радиусом 2sqrt(2) - граница сверху
3) конус с осью симметрии 0x.
Получается, что искомый объём - часть полусферы, ограниченная конусом

Дальше только для положительных х.
Ограничения накладываются пересечением конуса и сферы.
Понятно, что радиус меняется от 0 до 2sqrt(2), а вот чтобы установить пределы изменения углов, надо понять, как сфера соотносится с конусом. Поверхности пересекаются при x=2. Для этого значения x максимальные значения составляют: y = 2 и z=2.
То есть угол на плоскости меняется от - pi/4 до pi/4, а угол в плоскости zox - от - pi/4 до pi/4.

вроде как и в прямоугольных неплохо берётся

[Хранитель печати]

2 - вроде бы все верно заменяете

[nevnuff]

Хранитель печати,
большое Вам спасибо за разъяснения!!
Когда решаешь и получается - уже даже нравится
Только вот у меня с визуальным представлением этого всего какие-то проблемы...

Поверхности пересекаются при x=2

Для этого мы приравнивали уравнения поверхностей?
Не могли бы Вы посмотреть на моё решение и исправить недочёты?
(Я писала с несколько другими пределами - их нужно исправить так, как Вы написали, правильно?)

По поводу второй задачи - я так понимаю, что надо ещё учесть область определения под корнем?

Большое спасибо, что не оставили одну

[Хранитель печати]

nevnuff
да, пределы другие.

Сейчас, погодите, я у себя ошибку нашёл. Неверно прочитал условие - показалось, что плоскость z=0. Перепроверяю.

[Хранитель печати]

Геометрические картинки по 1 задаче:

а) вид "снаружи" (от x>>0)

б) вид "изнутри" (от x<0)

[Хранитель печати]

исправил пределы в своем 1 комментарии (там только для тетта предел другой оказался).
Посмотрите - по картинкам понятно, что как должно меняться.
На всякий случай еще одна проекция - на плоскость XOY

[Гость]

Хранитель печати
Огромное Вам спасибо!! Так намного прозрачнее всё, и сама суть намного яснее.
Извините меня за непонятливость, но я бы хотела ещё раз уточнить:
1) угол фи изменяется от -П/4 до П/4
2) угол тетта изменяется от -П/4 до П/4
3) радиус Р изменяется от 0 до 2sqrt(2) (т.е. точка пересечения поверхностей = 2sqrt(2))

И скажите, пожалуйста, такие задачи всегда решаются графическим способом (нахождение пределов) или же возможно это сделать аналитически?

Благодарю.

[nevnuff]

Ой.. видимо, я хотела написать
1) угол фи изменяется от -П/4 до П/4
2) угол тетта изменяется от 0 до П/4
3) радиус Р изменяется от 0 до 2sqrt(2) (т.е. точка пересечения поверхностей = 2sqrt(2))

[Хранитель печати]

nevnuff
тетта от -pi/4 до pi/4 (это соответствует z<0 для углов -pi/4;0 и z>0 для углов 0; pi/4).

И скажите, пожалуйста, такие задачи всегда решаются графическим способом (нахождение пределов) или же возможно это сделать аналитически?

Обычно графоаналитически - строятся графики либо проекции на координатные плоскости, осознается, что к чему надо приравнять.
Основная проблема - понять, что же из себя представляет объём, дальше дело техники

[Хранитель печати]

(т.е. точка пересечения поверхностей = 2sqrt(2))

да. Т.к. линия пересечения, очевидно, находится на сфере, а сфера задается уравнением r = 2sqrt(2) . А приравняв уравнения конуса и сферы, получаем возможность определить углы

[nevnuff]

Хранитель печати,
большое Вам спасибо!!
Буду дальше разбираться и решать!!

[nevnuff]

У меня получается ответ такой: (pi/4 - 1/2)*16*sqrt(2)
(Решала так, как выложила выше, только поменяла пределы интегрирования и взяла в самом конце первообразную от r^3).
А в задачнике написано, что ответ 8pi.
Никак не пойму, в чём проблема...

[nevnuff]

Ещё раз всем здравствуйте!!
Я выкладываю решение, которое у меня получилось в итоге... вроде бы по рассуждениям всё правильно, но почему-то конечный ответ не сходится с тем, что предложен в задачнике (там 8pi).
Пожалуйста, не могли бы вы проверить пример на предмет ошибок?

Искренне благодарю за внимание.

[Хранитель печати]

nevnuff
Я вспомнил, что угол тета (Q) меняется от 0 до "пи" по определению. То есть пределы должны быть чуть другие. Это не спасло. Никак не выходит 8пи

[nevnuff]

Хранитель печати
да, тетта по определению от 0 до пи,
а фи - от 0 до 2пи...
Значит, пределы менются от пи/4 до 3пи/4 в обоих случаях?