Линейная алгебра. Задача из Кузнецова. Кто пояснит?

[Злой Щавель]

Задача №8. Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора проектирования на плоскость y-z=0.
Решение обычно начинают словами:
Если x={x1; x2; x3}, то Ax={x1; 1/2*x2 + 1/2*x3; 1/2*x2 + 1/2*x3} и т.д.

Вопрос: Откуда мы так лихо нашли отображение Ax ?

@темы: Линейная алгебра, Линейные преобразования

Comments

[Гость]

Я тоже этого никак не могу понять.. Кто-нибудь знает?

[Злой Щавель]

Видать так же знают как 3 моих преподавателя которые отморозились по этой теме.(((

Короче вот объяснение:

Найдем образ произвольной точки М(x,y,z) - пусть это точка N(x0,y0,z0). Так как N принадлежит плоскости y-z=0, то z0=y0.

Так как прямая MN перпендикулярна этой плоскости, то нормальный вектор этой плоскости (его координаты, очевидно, (0,1,-1)) является направляющим вектором прямой MN, а потому уравнение этой прямой в канонической форме

(*) (x-x0)/0=(y-y0)/1=(z-y0)/(-1)

Точка М лежит на этой прямой. Поэтому ее координаты ей удовлетворяют. Поэтому (*) верно. Из нее получается

x0=x, y-y0=-z+y0, т.е. y0=(1/2)*y+(1/2)*z, а z0=y0.

Сливайте воду. Станция "Конечная".

[Iamurlak]

Что-то у меня есть какие-то сомнения по поводу пресдтавленного объяснения, так и не понял откуда тут 1/2 взялась)

[Злой Щавель]

Придуриваешься?

Из канонического уравнения, используя правило пропорции, нашли y-y0=-z+y0. Приводим подобные, находим y0=1/2*(y+z) или y0=1/2*y+1/2*z.
Если надо будет, могу записать на видео как я это сделал))

[Гость]

Спасибо, Злой Щавель, но я уже в учебниках поглядел как решается задача =)