вторник, 10 ноября 2009
03:45

Стереометрия из типовых тестовых заданий

все записи пользователя в сообществе VEk
Белый и пушистый (иногда)
TTZ - ЕГЭ 2010. Математика. Типовые тестовые задания / И.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, П.И. Захаров, B.C. Панферов, СЕ. Посицельский, А.В. Семенов, А.Л. Семенов, М.А. Семенова, И.Н. Сергеев, В.А. Смирнов, С.А. Шестаков, Д.Э. Шноль, И.В. Ященко; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. — М.: Издательство «Экзамен», 2010. — 55, [1] с. (Серия «ЕГЭ 2010. Типовые тестовые задания»)
TTZ_V6.C2. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1.

Указание 1. Продлим плоскость грани за ребро BB1 и проведем в ней прямую B1K параллельно C1B. Легко видеть, что BK=1, AB1=B1K=sqrt(2). Bo треугольника ABK по теореме косинусов AK=sqrt(3). Теперь косинус угла AB1K (теорема косинусов) равен 1/4.
Рисунок:

Указание 2. Векторный подход. Базис:. AB, AC, AA1. Разложения: AB1=AB+AA1, BC1= -AB+AC+AA1. Заметим, что AA1 перпендикулярно AB и AC, а угол между AB и AC = 60. Скалярное произведение векторов AB1 и BC1 равно -|AB|^2+AB*AC+|AA1|^2 = 0.5. Длины векторов AB1 и BC1 находим как корень квадратный из скалярного произведения вектора на себя: |AB1|^2=|AB|^2 +|AA1|^2=2, |BC1|^2=|AB|^2+|AC|^2-2AB*AC+|AA1|^2=2. Теперь легко подсчитать угол между векторами AB1 и BC1: cos(fi)=(AB1*BC1)/(|AB1|*|BC1|)=1/4.
Однако при использовании векторного подхода, всегда надо помнить, что угол между прямыми не бывает больше 90 градусов, в то время, как угол между векторами не превосходит 180 градусов.

TTZ_V7.C2.
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите тангенс угла между прямой (AA1) и плоскостью (BC1D).

Указание. Прямая (СС1) || (AA1) поэтому обе прямые образуют с указанной плоскостью равные углы. Проведем в кубе сечение AA1C1C и обозначим (OC1) – прямую пересечения плоскостей. Так как BD перпендикулярно AC и BD перпендикулярно AA1, то (BC1D) перпендикулярно (AA1C1C) и, следовательно, проекция CC1 на плоскость (BC1D) лежит на OC1. Значит, искомый угол – угол OC1C. Тангенс угла легко считается (можно взять ребро куба за 1): sqrt(2)/2.

TTZ_V8.C2.
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите тангенс угла между прямой (AC1) и плоскостью (BCC1)

Указание. Плоскость (BCC1) – плоскость грани куба, ортогональная проекция прямой AC1 на эту грань – прямая (BC1). Искомый угол AC1B. Беря ребро куба за 1, получаем AB = 1, BC1 =sqrt(2), значит, tg(угол AC1B) равен sqrt(2)/2.

TTZ_V9.C2.
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой AB и плоскостью SAD

Указание. Заметим, что AB перпендикулярно AD. Поэтому проекция AB на плоскость (SAD) будет перпендикулярна AD. Значит искомый угол – двугранный угол при ребре основания AD. Проведем высоту SK грани SAD, она равна sqrt(3)/2. Пусть O – проекция вершины S на плоскость основания, тогда OK=0.5. Поэтому косинус искомого угла равен sqrt(3)/3.


TTZ_V10.C2.
В правильной 6-угольной пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а сторона основания 1, найдите косинус угла между прямой AC и плоскостью SAF
Указание. Заметим, что AC перпендикулярно AF. Поэтому проекция AC на плоскость (SAF) будет перпендикулярна AF. Значит искомый угол – двугранный угол при ребре основания AF. Проведем высоту SK грани SAF, она равна sqrt(15)/2. Пусть O – проекция вершины S на плоскость основания, тогда OK= sqrt(3)/2. Поэтому косинус искомого угла равен sqrt(5)/5.

@темы: Стереометрия, ЕГЭ

URL
Комментарии
10.11.2009 в 03:48

VEk
Белый и пушистый (иногда)
to Robot. Подправьте, пожалуйста этот пост с целью выделения начала задач. Рисунки есть в книге, и дополнительно рисунок надо только к 1-му случаю в V6
URL
10.11.2009 в 03:52

VEk
Белый и пушистый (иногда)
to Robot. Большое спасибо!
URL
10.11.2009 в 03:53

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
VEk
Огромное Вам спасибо! Рисунок сделаю обязательно
оффтоп: у Вас же там, наверное, уже утро. Разве можно так?!((
URL
10.11.2009 в 03:55

VEk
Белый и пушистый (иногда)
Да, уже 6 утра, пора собираться на работу. А вот Вы опять не спите, это плохо.
URL
10.11.2009 в 03:57

VEk
Белый и пушистый (иногда)
Robot И, если можно, соберите, пожалуйста, все пять задач в один топик.
URL
10.11.2009 в 04:03

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
Хорошо. Сейчас
URL
10.11.2009 в 04:06

VEk
Белый и пушистый (иногда)
Robot Спасибо большое
URL
10.11.2009 в 04:07

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
Это Вам спасибо! :red:
URL
10.11.2009 в 13:12

VEk
Белый и пушистый (иногда)
Robot Большое спасибо. Прекрасный рисунок
URL
10.11.2009 в 14:03

noil
VEk, Спасибо Вам большое, но всё-таки здоровье надо беречь...
URL
03.12.2009 в 00:42

Гость
Помогите пожалуйста!Дан куб ABCDA1B1C1D1 и надо найти угол между СD и плоскостью AB1C1D

там надо проекцию провести,а как - не знаю.Помогите,молю!
URL
03.12.2009 в 00:49

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
проведите диагональ СD1 Пусть О- точка пересечения CD1 и C1D
Тогда OD - проекция CD (для док-в используйте след. факты: диагонали квадрата перпендикулярны, т. о 3 перп)
Если подробнее - то вам надо выложить задачу новой записью, для чего придется зарегистрироваться и вступить в сообщество
Обращение к Гостям
URL
14.12.2009 в 22:32

Гость
уважаемый! Подскажите пожалуйста почему в задании TTZ_V10.C2. : OK= sqrt(3)/2? поясните, если не сложно. Заранее спасибо.
URL
15.12.2009 в 02:03

VEk
Белый и пушистый (иногда)
Гость В основании пирамиды - правильный шестиугольник со стороной 1, O - его центр, ОК - расстояние от центра до стороны. Треугольник AOF - правильный, со стороной 1, его высота равна sqrt(3)/2
URL
01.03.2010 в 20:04

Гость
уважаемый! Подскажите пожалуйста что такое OK= sqrt(3)/2 в задаче TTZ_V10.C2?? заранее спасибо))
URL
01.03.2010 в 20:08

VEk
Белый и пушистый (иногда)
Гость OK - апофема основания.
URL
01.03.2010 в 20:29

Гость
спасибо, я понял, что такое ОК))) а что такое sqrt??
URL
01.03.2010 в 21:47

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
sqrt - корень квадратный
URL
07.04.2010 в 19:05

Гость
TTZ_V9.C2..... у мя это задание не решается.получается (2)2...помогите!
URL
08.04.2010 в 10:28

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
Гость
Я приложила там выше рисунок
Не понимаю, что может не получаться, в указании даже все подсчитано
cos∠SKO=OK/SK=(1/2):√3/2=1/√3=√3/3
URL
27.04.2010 в 20:27

Гость
Доброго Вам времени суток! =) Спасибо огромное за столь большой труд по обучению подрастающего поколения!..
У меня к вам вопрос: в задаче TTZ_V6.C2. у вас AK=sqrt(3), как вы сами указали - по теореме косинусов. Если не ошибаюсь, по этой теореме АК=sqrt(АВ^2 + ВК^2 - 2*АВ*ВК*cosАВК). Подставляем значения: АК = sqrt(1^2+1^2 - 2*1*1*1/2) = sqrt (1+1-1) = sqrt(1). Между тем, у Вас AK=sqrt(3). Может это я чего не понимаю? =)
URL
27.04.2010 в 20:41

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
Гость Угол АВК дополняет угол АВС до 180 градусов
Поэтому
`/_ABK=120^circ`
cos120°=-1/2
URL
27.04.2010 в 20:53

Гость
Спасибо, а я, балда, минус посеяла!.. =)
URL
12.05.2010 в 20:28

Гость
А как нашли ОК?
URL
12.05.2010 в 20:31

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
Гость
В какой задаче?
URL
18.11.2010 в 22:37

Гость
Здравствуйте, объясните, пожалуйста, как Вы нашли ОК в TTZ_V10.C2 ?
URL
18.11.2010 в 22:45

VEk
Белый и пушистый (иногда)
Гость Из прямоугольного треугольника SOK, зная величины его сторон.
URL
19.11.2010 в 10:54

Гость
но мы ведь не знаем чему равно SO ? как высоту SO найти? я что-то не поняла :(
URL
19.11.2010 в 11:32

VEk
Белый и пушистый (иногда)
Гость У нас дан правильный шестиугольник с заданной стороной. Отсюда легко находится OK. Кроме того дана длина бокового ребра. Поэтому из треугольника SAF легко найти SK. А далее любимый Пифагор.
В прошлом комментарии объяснял, как найти другой отрезок (а не тот, про который был вопрос).
URL
30.11.2010 в 22:53

Гость
спасииибо)))
URL