Сумма цифр квадрата целого числа

[Fidd]

Пожалуйста, помогите. Может ли квадрат целого числа иметь сумму цифр, равную 6030? а 6034?
(дано указание)

@темы: Теория чисел

Comments

[Гость]

Почему бы и нет. Симпатичные числа. Откуда задача?

[Fidd]

Учитель дал.

[Гость]

Что-то связанное с делимостью. Какие признаки делимости вы знаете?

[Fidd]

Это важно? Я пробовал через остатки но у меня не получается.

[Robot]

Попробуйте связать с остатками при делении на 9

[Fidd]

Ну возможные остатки при делении на 9-0,1,4,7(если я не ошибся). а число с суммой цифр, равной 6030 делится на 9.Что это может дать7 то что можно представить?

[Гость]

Я раскрою страшную тайну. Если секретные средства поиска в интернет. Например, google.ru
Попробуем запрос "квадрат целого числа иметь сумму цифр, равную 6030? а 6034?" - нет результата. Хмммм. А если без цифр..
Попробуем запрос "квадрат целого числа иметь сумму цифр, равную" Аналогично. Тогда
Попробуем запрос "сумма цифр квадрата целого числа". И чудо произошло!!!

Разбирайте решение.

Если получится, напишите здесь пример числа, квадрат которого имеет сумму цифр 6030 или 6034

Успехов

[Robot]

Не ошиблись, остатки именно таковы. И у нас числа, которые дают нужные остатки. Только вывод мы сразу все равно делать не можем.
Теперь либо для конкретных чисел, либо в общем виде надо показать, что есть числа с суммой цифр 6030(или в общем виде 9q) и числа с суммой цифр 6034 (то есть в общем виде 9q+4), которые являются квадратами целых чисел
(в принципе в общем виде можно доказать для всех чисел с суммой цифр 9q,9q+1, 9q+4, 9q+7)

[Robot]

Гость ))))

[Гость]

Robot, sorry

[Robot]

Гость, наоборот, хорошо.
Потому что задача сложная..

[Fidd]

Спасибо за помощь)

[Robot]

Для будущих поколений все же выложу ссылки
kvant.mirror1.mccme.ru/1977/11/resheniya_zadach...
или в pdf
kvant.info/zkm_sol/0432/0432.pdf

[Гость]

В pdf ошибка

Таким образом, число 1978 является суммой цифр квадрата, а 1978 — нет.

[Trotil]

Строго говоря, эта теорема указывает на необходимый признак, но не на достаточный.

[Robot]

Какая эта?

[Robot]

Там по большому счету две теоремы
Первая.
Если число а является квадратом целого числа, то при делении на 9 сумма его цифр дает остатки 0,1,4, 7 (с пом. сравнений легко)
Вторая.
Если некоторое целое число при делении на 9 дает в остатке 0,1,4,7, то оно является суммой цифр некоторого квадрата целого числа (может служить суммой цифр некоторого квадрата).
Обе теоремы доказаны.

[Robot]

Если бы у нас было число 6032, то мы могли бы сразу сказать, что оно не может быть суммой цифр нек. квадрата (по теореме, противоположной обратной теореме 1)

[Trotil]

Да, был невнимателен )

[Гость]

Нужна ручка, бумага и голова. Иногда просто головы достаточно.
Стыдно видеть эти отсылки в гугл, квант и т.д.

"Задача сложная"!

[Robot]

Гость
"Задача сложная"!
Для школьника вторая часть - да!
Для олимпиадника, который специально натаскивался на такие задачи, - нет.

[Гость]

охломоны, опять вас надули