понедельник, 26 октября 2009
Здравствуйте! Очень нужна помощь в решении задач.
Задачи
1. Рабочий обслуживает 6 станков, каждый из которых на протяжении смены может отказать с вероятностью 0.3. Найти вероятность того, что на протяжении смены:
а) откажет большинство станков
б) откажет половина станков
в) наиболее вероятное количество станков
Найти вероятность того, что на протяжении одной смены дважды откажет половина станков, по 4 раза - меньшинство и большинство.
2. У случайно взятой семьи 4 детей. Найти вероятность того, что в ней
а) большинство мальчиков
б) есть девочки но не все
в) наиболее вероятное количество мальчиков и девочек (вероятность рождения мальчика на 5% больше)
Найти вероятность того, что среди 6-ти таких семей дважды будет больше девочек и дважды будет больше мальчиков.
3. Подбрасываются 6 монет. Найти вероятность того, что при этом выпало:
а) большинство гербов
б) не менее двух гербов
в) наиболее вероятное количество гербов.
Проводится 3 серии по 6 таких подбрасываний. Найти вероятность того, что:
а) в большинстве раз их троих выпадет большинство гербов
б) один раз будет - большинство, один раз будет - меньшинство, один раз будет - половина гербов
4. Вероятность стрельцу попасть в цель при одном выстреле первой серии - 0.75. Сколько выстрелов должен он сделать, чтобы наиболее вероятное количество попаданий была равна 15? Найти вероятность этого события при определенном количестве выстрелов.
5. Устройство состоит из 5-ти деталей, надежность работы которых (вероятность безотказной работы на протяжении гарантийного срока) 0.6 для трех деталей и 0.7 для остальных. Найти вероятность того, что на протяжении гарантийного срока:
а) устройство не сломается, если для этого нужно чтобы большинство деталей вышло из строя
б) откажет наиболее вероятное количество деталей каждого вида
в) не все детали выдержат гарантийный срок
@темы:
Теория вероятностей
-
-
26.10.2009 в 19:00p=0.3, q=0.7, n=6, m=4,5,6
p - вероятность успеха - станок откажет
q - вероятность того, что станок не откажет
n - общее количество станков
m - количество станков, которые должны отказать
Событие А - откажет большинство станков
P(A)=P(4|6)+P(5|6)+P(6|6)
P(4|6)=6!/(2*4!)*p^4*q^2=6!/(2*4!)*0.3^4*0.7^2=6!/(2*4!)*0.0081*0.49=0.0595=5.95% - вероятность того что 4 из 6 станков выйдут из строя
Я в правильном направлении иду?
-
-
26.10.2009 в 20:09Пока автор решает, вопрос к сообществу: понимает ли хоть кто-нибудь смысл вот этой фразы в контексте задачи?
Найти вероятность того, что на протяжении одной смены дважды откажет половина станков, по 4 раза - меньшинство и большинство.
Может (вопрос к автору) речь идёт не про одну, но про 10 смен?
-
-
26.10.2009 в 20:47-
-
26.10.2009 в 22:09P(6|6)=6!/6!*p^6=p^6=0.3^6=0.0007=0.07%
P(A)=0.0595+0.0102+0.0007=0.0704=7.04%
Событие B - откажет половина станков
p=0.3, q=0.7, n=6, m=3
P(B)=P(3|6)
P(3|6)=6!/(6*3!)*p^3*q^3=20*0.3^3*0.7^3=20*0.027*0.343=0.18522=18.52%
-
-
27.10.2009 в 16:56-
-
27.10.2009 в 22:25Событие С - откажет наиболее вероятное количество станков
P(C)=P(2|6)=6!/(2*4!)*0.3^2*0.7^4=15*0.09*0.2401=0.324135=32.41%
-
-
27.10.2009 в 22:49n=4 - количество детей в семье
а) Событие А - у случайно взятой семьи m(>=3) мальчиков
m=3,4 - количество мальчиков
p=0.55 - вероятность рождения мальчика
q=0.45 - вероятность рождения девочки
P(A)=P(3|4)+P(4|4)
P(3|4)=4!/3!*0.55^3*0.45=4*0.166375*0.45=0.299475=29.94%
P(4|4)=4!/4!*0.55^4=0.55^4=0.09150625=9.15%
P(A)=0.299475+0.09150625=0.390981=39.09%
б) Событие B - у случайно взятой семьи m(>=1<4) девочек
m=1,2,3 - количество девочек
p=0.45 - вероятность рождения девочки
q=0.55 - вероятность рождения мальчика
P(B)=P(1|4)+P(2|4)+P(3|4)
P(1|4)=4!/3!*0.45*0.55^3=4*0.45*0.166375=0.299475=29.94%
P(2|4)=4!/(2*2)*0.45^2*0.55^2=6*0.2025*0.3025=0.3675375=36.75%
P(3|4)=4!/3!*0.45^3*0.55=4*0.091125*0.55=0.200475=20.04%
P(B)=0.299475+0.3675375+0.200475=0.8674875=86.74%
в) 1. наиболее вероятное количество мальчиков, p=0.55
mo=[(n+1)*p]=[(4+1)*0.55]=[5*0.55]=2.75=3
P(3|4)=0.299475=29.94%
2. наиболее вероятное количество девочек p=0.45
mo=[(n+1)*p]=[(4+1)*0.45]=[5*0.45]=2.25=2
P(2|4)=0.3675375=36.75%
Найти вероятность того, что среди 6-ти таких семей дважды будет больше девочек и дважды будет больше мальчиков.
Я не совсем понимаю этого задания, растолкуйте пожалуйста.
-
-
28.10.2009 в 16:59Найти вероятность того, что среди 6-ти таких семей дважды будет больше девочек и дважды будет больше мальчиков.
Я не совсем понимаю этого задания, растолкуйте пожалуйста.
Тут в каждой задаче приведено по одному такому вопросу. Например, в первой:
Найти вероятность того, что на протяжении 10 смен дважды откажет половина станков, по 4 раза - меньшинство и большинство.
Давайте про семьи. Снова испытания Бернулли. Только теперь испытания - это не внутри одной семьи 4 раза мальчики-девочки рождаются, а 6 таких семей наблюдаются. Осталось определить n, p, m. Сколько теперь есть испытаний? Какие события являются успехом/неудачей в одном испытании? Какова вероятность успеха в одном испытании? Наконец, вероятность какого числа успехов нам нужно найти? Ну и подставить всё в формулу.
Со сменами хуже, тут испытания (сколько штук) с тремя вариантами исходов. Тоже формула у вас там должна быть.
-
-
28.10.2009 в 20:19среди 6-ти таких семей дважды будет больше девочек и дважды будет больше мальчиков
Оба-на, это я лопухнулась: 2+2 сильно меньше 6, потому что кроме вариантов "мальчиков больше" и "девочек больше" есть ещё вариант "одинаково тех и тех", так что это тоже никак не испытания Бернулли. Как и в вопросе про 10 смен.
Исходов в каждом испытании не два (успех-неуспех), а три (те, что в кавычках выше). Вспоминайте формулу для вероятности иметь в n испытаниях с несколькими исходами сколько-то раз первый исход, сколько-то раз второй, и т.д. Если такой формулы не было, вот тут, например: www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node19.htm...
-
-
28.10.2009 в 20:51m=3,4 - количество девочек
p=0.45 - вероятность рождения девочки
q=0.55 - вероятность рождения мальчика
P(C)=P(3|4)+P(4|4)
P(3|4)=4!/3!*0.45^3*0.55=4*0.091125*0.55=0.200475=20.04%
P(4|4)=4!/41*0.45^4=0.45^4=0.04100625=4.1%
P(C)=0.200475+0.04100625=0.241481=24.14%
Событие D - у случайно взятой семьи одинаково мальчиков и девочек
m=2 - количество мальчиков и девочек
p=0.45 - вероятность рождения девочки
q=0.55 - вероятность рождения мальчика
P(D)=P(2|4)=4!/(2*2)*0.45^2*0.55^2=6*0.2025*0.3025=0.3675375=36.75%
P(2,2,2)=6!/(2*2*2)*0.390981^2*0.241481^2*0.3675375^2=0.108373=10.83%
-
-
28.10.2009 в 21:32-
-
28.10.2009 в 22:20p=0.3, q=0.7, n=6, m=1,2
P(D)=P(1|6)+P(2|6)
P(1|6)=6!/5!*0.3*0.7^5=6*0.3*0.16807=0.302526=30.25%
P(2|6)=6!/(2*4!)*0.3^2*0.7^4=15*0.09*0.2401=0.324135=32.41%
P(D)=0.302526+0.324135=0.626661=62.66%
Событие E - на протяжении 10-ти смен дважды откажет половина станков, по 4 раза - меньшинство и большинство.
P(E)=P(2,4,4)=10!/(2*4!*4!)*0.18522^2*0.626661^4*0.0704^4=0.000409362=0.04%
-
-
29.10.2009 в 01:19а) большинство гербов
б) не менее двух гербов
в) наиболее вероятное количество гербов.
Проводится 3 серии по 6 таких подбрасываний. Найти вероятность того, что:
а) в большинстве раз их троих выпадет большинство гербов
б) один раз будет - большинство, один раз будет - меньшинство, один раз будет - половина гербов
Вероятность выпадания аверса монеты - 1/2
Событие А - выпало большинство гербов
n=6
m=4,5,6
p=0.5 - вероятность выпадения аверса
q=0.5 - вероятность выпадения реверса
P(A)=P(4|6)+P(5|6)+P(6|6)
P(4|6)=6!/(2*4!)*0.5^4*0.5^2=0.234375
P(5|6)=6!/5!*0.5^5*0.5=0.09375
P(6|6)=6!/6!*0.5^6=0.5^6=0.015625
P(A)=0.234375+0.09375+0.015625=0.34375=34.37%
Событие В - выпало m>=2 гербов
n=6
m=2,3,4,5,6
p=0.5 - вероятность выпадения аверса
q=0.5 - вероятность выпадения реверса
P(B)=P(2|6)+P(3|6)+P(A)
P(2|6)=6!/(2*4!)*0.5^2*0.5^4=0.234375
P(3|6)=6!/(3!*3!)*0.5^3*0.5^3=0.3125
P(B)=0.234375+0.3125+0.34375=0.890625=89.06%
в) наиболее вероятное количество гербов
mo=[(n+1)*p]=[7*0.5]=[3.5]=3
P(3|6)=0.3125=31.25%
а) C - в большинстве раз их троих выпадет большинство гербов
P(C)=P(1,1,1)=3!*0.34375^3=0.243713=24.37%
D - выпало 2>m>=1 гербов
P(D)=P(1|6)+P(2|6)
P(1|6)=6!/5!*0.5*0.5^5=0.09375
P(2|6)=6!/(2*4!)*0.5^2*0.5^4=0.234375
P(D)=0.09375+0.234375=0.328125=32.81%
E - выпала m=3 гербов
P(E)=P(3|6)=0.3125=31.25%
б) D - один раз будет - большинство, один раз будет - меньшинство, один раз будет - половина гербов
P(D)=P(1,1,1)=3!*0.34375*0.328125*0.3125=0.211487=21.14%
-
-
29.10.2009 в 01:26mo=15=[(n+1)*0.75]
0.75n+0.75=15
0.75n=14.25
n=19
p=0.75 - вероятность успеха - стрелец попал
q=0.25 -стрелец промазал
P(15|19)=19!/(4!*15!)*0.75^15*0.25^4=0.202331=20.23%
-
-
29.10.2009 в 06:27а) C - в большинстве раз их троих выпадет большинство гербов
P(C)=P(1,1,1)=3!*0.34375^3=0.243713=24.37%
D - выпало 2>m>=1 гербов
P(D)=P(1|6)+P(2|6)
P(1|6)=6!/5!*0.5*0.5^5=0.09375
P(2|6)=6!/(2*4!)*0.5^2*0.5^4=0.234375
P(D)=0.09375+0.234375=0.328125=32.81%
E - выпала m=3 гербов
P(E)=P(3|6)=0.3125=31.25%
Из трёх испытаний "большинство" - это 2 или 3, а не 1 или 2 и не три.
И здесь проблема: сумма вероятностей исходов меньше 1, хотя исходы явно образуют полную группу событий:
б) D - один раз будет - большинство, один раз будет - меньшинство, один раз будет - половина гербов
P(D)=P(1,1,1)=3!*0.34375*0.328125*0.3125=0.211487=21.14%
Как получилось, что для симметричной монеты события "на 6 монетках будет большинство гербов" и "на 6 монетках будет меньшинство гербов" имеют разную вероятность?
-
-
29.10.2009 в 06:330.75n+0.75=15
Вообще говоря, неправильный переход. У чисел из какого интервала целая часть равна 15? Должно быть 15 <= (n+1)*0,75 < 16. Решите неравенство и увидите, что 19 - не единственно возможный ответ.
В условии так и было "стрелец"?