Всем добого времени суток!

[Тупак Шакур]

Задача из "библиотечки ФМШ м-д координат" 9.1. Надо найти ГМТ М, разность квадратов расстояний к-х до двух данных точек А и В равна "с". При каких "с" задача имеет решение?
Я начал как в разобранной задаче. Задал систему координат ось абсцисс от А к В координаты (0,0) и (1,0) соответственно. М(x,y). Составил ур-я квадратов расстояний MA и MB, вычел их и приравнял к "с". Получилось, что эта разность от ординаты точки М не зависит и x=(с+1)/2. Т. е. я так понял решение - это точки прямой заданной последним ур-м (прямая параллельная оси ординат)? Но "с" тогда может быть любым... Тогда зачем спрашивают?Это допустим точки А и В не могут совпадать. Там 0=с выходит единственное решение.
Решение правильное? или я что-то не понимаю?

@темы: Аналитическая геометрия, Планиметрия

Comments

[к.черный]

пока у меня только один вопрос: почему В(1,0)?
Точка В произвольная, при вашем построении будет находиться в произвольной точке оси абсцисс, т.е. В(в,0),
и тогда x = (c + b^2)/2b.
Принципиально ничего не изменилось.
Я бы подождала других комментариев.
А по поводу

Тогда зачем спрашивают

- стандартная формулировка задач на параметр

[Гость]

ВЫ рассматриваете частный случай yA=yB. Поэтому и получается прямая, параллельная Oy. В общем случае это тоже прямая, а вот как она проходит, попытайтесь разобраться сами. Удачи!

[к.черный]

Тупак Шакур
разность квадратов ,по-видимому, с модулем. Тогда получаются две прямые

Гость
ответ ведь может быть: прямые, перпендикулярные АВ, расположенные симметрично относительно середины отрезка АВ?

[Гость]

В ответе действительно прямая, перпендикулярная AB? но ее расположение зависит от параметра C. При с=0 она проходит через середину отрезка.

[Тупак Шакур]

так, ребят, В(1,0), потому что отрезок АВ принимаем равным единице для удобства. Я так понял условие, что неважно как расположены А и В, главное ГМТ найти. Я так понял прямая - это правильный ответ? Про разность квадратов с модулем ничего в условии не говорилось, но в этом случае надо рассматривать то же самое уравнение, только с модулем |2x-1|=c, тогда с - выйдет (0,бесконечность) и x=(c+1)/2 и x=(1-с)/2, выходит две прямые перпендикулярные оси абсцисс - это правильно?
Вопрос: Можно вот так доказать симметрию этих прямых: по определению симметрии относительно прямой расстояние от точек этих получившихся прямых до некоторой прямой будет одинаково. Расстояние между параллельными прямыми постоянно(это доказывается в геометрии), поэтому существует прямая понятно, что параллельная обоим(параллельна одной параллельной - параллельна другой), что расстояние до неё от каждой прямой, будет постоянно. Надо найти прямую расстояние до каждой из двух данных прямых одинаково Понятно, что она будет вида x=b. Поскольку любая точка каждой из прямых задаётся ур-м x=(c+1)/2 и x=(1-с)/2, то |(c+1)/2-x|-|(1-с)/2-x|=0, раскрывая модуль получим в одном из случаев x=1/2 в другом c=0 (вот здесь я умом понял, но формулу обосновать по "понятиям" не получилось: может надо случай с=0 отдельно рассматривать?)?

[Тупак Шакур]

Система координат расположена так :ось абсцисс по АВ, ось ординат перпендикулярно к точке А, точка М(x,y) в этой системе координат.

А число С в каких единицах задано, АВ

Это типа подвох в том, что если точки АВ даны и "с" дано, нельзя выбирать АВ равным единице, так? Тогда, может быть так - нужно привести число "с" к длине АВ. Но мне кажется это не принципиально, в задаче ведь ничего не надо вычислять... Пусть АВ равен единице, с даётся по отношению к введённым координатам.

что-то это мне не нравится (умом понял, но ...)

Поточнее спросите пожалуйста.
С точки зрения школьной геометрии, такое доказательство симметрии будет приемлимо?

[к.черный]

т.к. нам неважно, в каком порядке вычитать квадраты расстояний, то берем разность по модулю.
Кроме того, сама разность (т.е. с) м.б. отрицательной. Тогда |AM^2 - BM^2| = |c|.
В результате все равно придем к x = 1/2 + - c/2
симметрия прямых очевидна: находятся на одном расстоянии от середины отрезка АВ

Чем-то

отрезок АВ принимаем равным единице для удобства

меня смущает...

[Тупак Шакур]

Чем-то отрезок АВ принимаем равным единице для удобства меня смущает...

посмотрел какое он имеет место в данной задаче (какое место он занимает в уравнении), и меня теперь смущает

[к.черный]

все-таки, я думаю, что, если число "с" задано, то задана некая мера, и отрезок АВ принимать за единицу нельзя.
Тогда небольшая коррекция: ось абсцисс по АВ, А(0,0), В(в,0), причем, систему координат мы всегда можем выбрать так, что b > 0. и b - длина отрезка АВ.
Тогда, как я уже писала, искомое ГМТ - две прямые, в выбранной системе координат x = b/2 + - c/(2b)
Т.е.

прямые, перпендикулярные АВ, расположенные симметрично относительно середины отрезка АВ

действительно, как сказал Гость

При с=0 она проходит через середину отрезка

[Тупак Шакур]

Спасибо, большое!

[к.черный]

лишь бы на здоровье!

[Robot]

В книге Аргунов, Балк Геометрические построения на плоскости(есть в интернет библиотеке МЦНМО) такая задача рассматривается. Правда, там не методом координат решается и расстояние равняется c^2. там говорится об одной прямой
Естественно, что никаких (1,0). т. В общего положения.

[к.черный]

Robot , спасибо за ссылку, приведенное доказательство..., скажем, более классическое, ура - подтвердило наше с Тупак Шакур .
В этом док-ве предполагается, что порядок точек А и В важен (из расстояния от точки А вычитается расстояние от точки В, а не наоборот) - поэтому получается одна прямая. При этом ее расположение относительно АВ и формула ГМТ совпадает с нашим решением.

[Тупак Шакур]

Понял все свои косяки, когда ещё раз переписывал решение двух этих задач к себе в огромный блокнот (специально купил большой красивый, чтобы туда всякие книжки конспектировать и конечно же решённые задачи ).Разберусь, как следует с приведённым последним решением, если будут вопросы, обращусь.

[к.черный]

давай

[Тупак Шакур]

Привет, привет! Посмотрел доказательство и кое что не понятно, где-то есть вопросы и т.п.
1. Рассуждение "вслух" так сказать: операции с векторами возможны только если ввести систему координат, ведь длина вектора, их сложение определяются через их координаты, то значит решение отчасти алгебраическое.
2. Что значит припишем каждому отрезку определённый знак и тогда по теореме Шаля получается векторное соотношение? Что это за знак?
3. Что за теорема Шаля и почему нельзя просто сказать что имеет место сумма векторов? Кстати, если |AM|>|AB|, то получится разность, а не сумма. Или это как бы в общем виде?.
4. Как из числа а вычитают вектор AM!? Правильно наверное было бы написать (AB-AM)^2 (AM и AB - естевственно векторы). Оно-то конечно на прямой рассматривается, но зачем мозги пудрить?
5. Если взять последнюю формулу, которую я написал, получится не как в формуле "альфа" вектор равен числу(!)(хоть бы в знак модуля поставили из приличия...), а произведение векторов равно числу. А вот потом уже применив правило произведения векторов выделить и |AM|.
Что касается доказательства, вроде бы всё понятно...