[speedyrobber]

Помогите решить задачу

Десятичная запись натурального числа состоит из различных цифр. Число делится на каждую из своих цифр.
Определить:
а) наибольшее число цифр в таких числах
б) количество чисел с наибольшим числом цифр

Вопрос а) закрыт

@темы: ЕГЭ

Comments

[Гость]

НЕ могли бы вы привести свои попытки решения. Хотя бы начальные

[speedyrobber]

Исключил 0, 4, 5. Количество цифр - 7. Далее тупик. Перебор

[speedyrobber]

Забыл Достаточно делимости на 504 с условием неповторяемости цифр.

[Гость]

Объясните, пожалуйста как Вы исключили 4 и 5. Мне кажется, что максимальное количество цифр равно 6.

[speedyrobber]

При использовании 5 возможное количество делителей 5
Четверка мешает делимости на 9

[speedyrobber]

В настоящее время получается такая система

a*10^6 + b*10^5 + c*10^4 + d*10^3 + e*10^2 + f*10^1 + g = 7x
e*10^2 + f*10^1 + g = 8y
a <> b <> c <> d <> e <> f <> g <> 0 <> 4 <> 5

Как без перебора найти одно решение? Их количество

[Гость]

по-моему так: 0 исключается очевидно. Если присутствует 5, то в она на конце числа и в числе могут быть только "нечетные" цифры. Но сумма однозначных нечетных чисел не делится на 9, поэтому из набора надо убирать 1, значит такое число содержит меньше 5 знаков. Однако есть число 136248 - 6-тизначное, делящееся на все свои цифры. Далее, сумма цифр от 1 до 9 бе 5 равна 40, (не делится на 3), поэтому восьмизначных таких чисел нет. А теперь стоит рассмотреть делимость на 7 и 9 одновременно. Попробуйте. Успехов!

[speedyrobber]

Исключение 4 после исключение 5 дает сумму 36 и, как следствие, делимость на 9. Количество цифр - 7. Решение окончательное и обжалованию не подлежит Остается делимость на 7 и 8

[Гость]

Замечательно. Тогда постройте пример 7-значного числа,удовлетворяющего условиям. Я не настаиваю на ответе 6.

[speedyrobber]

Большое спасибо. Собственно вопрос заключается в вычислении таких примеров без перебора. Пример n=7198632
Делимость на 1, 2, 3, 6, 8, 9 очевидна. n:7 = 1028376

[Гость]

И Вам спасибо! Я пример не нашел. Значит все-таки 7-значное число. А вот на вопрос сколько таких чисел, ответить не могу.

[Гость]

Вообще-то в таких задачах обычно идет отсечение и сокращение перебора. Что и было сделано.

[Гость]

Набор используемых цифр - 1,2,3,6,7,8,9. Последняя цифра - четная. Наше число делится на 1,2,3,6,9. Признаки делимости на 7, 8:
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 364 делится на 7, так как 36 — (2 × 4) = 28 делится на 7).

Либо использовать модификацию признака деления на 1001=10³+1, которое само делится на 7:
Для того, чтобы натуральное число делилось на 7 необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц) взятых со знаком «+» и чётных со знаком «-» делилась на семь (например, число 689255. Первая группа со знаком «+» (689), вторая со знаком «-» (255). Отсюда 689 - 255 = 434. В свою очередь 434 : 7 = 62).

Ещё один признак - берём первую цифру, умножаем на 3, прибавляем следующую (здесь можно взять остаток от деления на 7 от получившегося числа). И далее - сначала: умножаем на 3, прибавляем следующую... Для 364: 3 * 3 + 6 = 15. Остаток - 1. Далее 1 * 3 + 4 = 7.

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры — нули, или образуют число, которое делится на 8.

Чтобы узнать, делится ли трёхзначное число на 8, можно половину единиц прибавить к десяткам. У получившегося числа так же - половину единиц прибавить к десяткам. Если итоговая сумма делится на 2, значит, число делится на 8. Например, 952: 95 + 1 = 96, далее 9 + 3 = 12. Значит, 952 делится на 8.

Эти три условия переберут все варианты, других путей не вижу. stranger.

[speedyrobber]

wikipedia? спасибо, stranger. очень полезная информация

[Гость]

wikipedia? спасибо, stranger. очень полезная информация

Да, копипаст, но эти признаки легко выводятся.

[speedyrobber]

О чем это Вы?

[speedyrobber]

Не могли бы продемонстрировать, как воспользоваться Вашим советом и без использования компьютера получить ещё одно число. По сути это одна из задач "Универсальные материалы для подготовки учащихся". И на экзамене ...

[Robot]

stranger

Рада видеть)
speedyrobber
а откуда задача?

[speedyrobber]

UM.C6.1.T Десятичная запись натурального числа состоит из различных цифр, среди которых нет 0. Какое максимальное число цифр может содержать это число, если оно делится на каждую из своих цифр? Для решения необходимо помимо оценки сверху привести пример. Вопрос о общем количестве добавил я, скажем, чтобы повысить сложность/интерес к задаче. Пока безрезультатно

[Гость]

О чем это Вы?

copy-past с wikipedia. Теперь Вам все понятно? Далее было написано про то, что эти признаки Вы могли легко вывести и без wikipedia.

Не могли бы продемонстрировать, как воспользоваться Вашим советом и без использования компьютера получить ещё одно число. По сути это одна из задач "Универсальные материалы для подготовки учащихся". И на экзамене ...

Я дал Вам три последних ограничивающих условия, предлагаю разобраться самому.

stranger Рада видеть)

Решил помочь подрастающему поколению.

[Robot]

Тьфу ты))
а я думаю, что ж так знакомо..
что-то мне кажется, что тут красивого решения второй части не будет

[Robot]

Для перебора может быть оставить делимость на 4 (?)

[speedyrobber]

stranger, со вчерашнего дня Вы несколько изменились .... лексика и желание давать советы ... похвально ... и нежелание показать что-либо конкретное.... альбега? насколько я понял вчерашнюю перепалку один из вас или оба собирались покинуть этот форум

[Robot]

Ой, ребята, вот не надо опять начинать..
У меня в сообществе все было тихо-мирно, мы думали над задачами, а не пытались увидеть что-то обидное и т.п. в чьих-то словах
Эх, горячие парни к нам начали заходить(((

[speedyrobber]

После выбрасывания 0 и 5 получаем сумму цифр - 40. Нужна делимость на 3, 9. Кандидаты 4, 7. 7 убивает делимость на 9. Остается 4. Цель - число с наибольшим количеством цифр

[speedyrobber]

удалено модератором

[Гость]

После выбрасывания 0 и 5 получаем сумму цифр - 40. Нужна делимость на 3, 9. Кандидаты 4, 7. 7 убивает делимость на 9. Остается 4. Цель - число с наибольшим количеством цифр

Совершенно верно. Дальше перебираем основываясь на четности последней цифры и двух признаках делимости (7 и 8). stranger.

[Robot]

да вроде первую часть понятно как решать
Тут я поняла проблема с нахождением семизначного числа
stranger правильно выделил, что нужно использовать в качестве условий
Но просто раз число делится на 8, то и на 4 тоже, может это как-то использовать (?)
Но пока я за обсуждением слежу вполуха, еще другие дела есть

[speedyrobber]

Признак делимости на 7: Число тысяч минус три посл. разряда делится на 7

Пусть N = a – 100d – 10e – f = 7k, k — целое. Доказать M = 1000a + 100d + 10e + f = 7l, l — натуральное
N + M = 1001a ; M = 1001a – N = 7(143a – k); l = 143a – k; M = 7l

a*10^2 + b*10^2 + c*10^1 + d - e*10^2 - f*10^1 - g = 7x
e*10^2 + f*10^1 + g = 8y
a <> b <> c <> d <> e <> f <> g <> 0 <> 4 <> 5

Применяя этот признак делимости попробуем найти одно из нужных нам чисел специального вида: a*10^6 + b*10^3 + c, где a, b, c кратны 7, a — старшая цифра (миллионы), b – тысячи, c — остальное. Тем самым a = 7. (Признак делимости ни при чем, но рассматривался в процессе решения)

Сначала определяем (делимость на 4) последние две цифры числа. Получаем 12, 16, 28, 32, 36, 68, 72, 76, 92, 96

После этого определяем след. цифру. В принципе имеем по 5 вариантов на каждое двузначное число. Для сокращения перебора ищем число, которое делится на 7 и на 8, и не содержит цифры 7. Первое кратное 56 — 728 (пропускаем). След. 168.

Рассмотрим число вида 7abc168, где a,b,c из {2,3,9}. Выполняя 3! проверок на втором шаге получили кратное 7 — 329.
Проверка: 7329168:7=1047024. Ура

[Гость]

Поздравляю stranger.