[Liya_Bloody]

Задача.

Пусть m и n - натуральные числа, причем m/n - правильная несократимая дробь. На какие натуральные числа можно сократить дробь (3n - m)/(5m + 2n), если известно, что она сократима?

Логично было бы числитель представить в виде произведения натуральных чисел, но как?

@темы: Школьный курс алгебры и матанализа

Comments

[ucheba.pro]

Переформулировка: найти НОД(3m-n, 5m+2n) если НОД(m, n) = 1.
Так будет проще решать.

[Liya_Bloody]

До этого я дошла. А вот как найти-то?

[Robot]

Например,
пусть d=НОД(3m-n, 5m+2n)
Тогда существуют целые х и у такие что
{3m-n=dx
{5m+2n=dy
Попытайтесь отсюда что-нибудь вытащить про d

[ucheba.pro]

НОД(a+b,b)=НОД(a,b)
Это вроде метод спуска называется или алгоритм Евклида. Начинай спускаться, короче.
Как написала Робот лучше не делать.

[Liya_Bloody]

Алгоритм Евклида. Кажется, я поняла. Спасибо большое.

[Robot]

У вас формулировки с ucheba.pro расходятся

[ucheba.pro]

У вас формулировки с ucheba.pro расходятся

Как именно?

Алгоритм Евклида. Кажется, я поняла. Спасибо большое.

Решай, не получится - пиши.

[Robot]

дробь (3n - m)/(5m + 2n)
найти НОД(3m-n, 5m+2n) если НОД(m, n) = 1
В числителе другое выражение стоит

[ucheba.pro]

Опечатался. Ты чего такая внимательная стала?! :-)

[Robot]

Моим способом я уже ответ получила

[Robot]

ucheba.pro
А я всегда стараюсь быть внимательной
И за решениями всех Решателей (если это в моей компетенции) стараюсь прослеживать.

[Liya_Bloody]

Алгоритм Евклида жутко выглядит для выражений. Я должна остаток делить до тех пор, пока не вылезет произведение?

[ucheba.pro]

Алгоритм Евклида жутко выглядит для выражений. Я должна остаток делить до тех пор, пока не вылезет произведение?

Возможно ты применяешь не тот метод. Вот про что я говорил.
Спускаться надо до тех пор, пока в одной из части не останется только n или m (с числовым коэффициентом). Этой коэффициент по идее и есть искомое число.

[Liya_Bloody]

Лааадно, будем пытаться дальше. Огромное спасибо за объяснения и потраченное на меня время.

[ucheba.pro]

Лааадно, будем пытаться дальше. Огромное спасибо за объяснения и потраченное на меня время.

время вечно.
Этот метод надо понять один раз. А применять можно во многих задачах.
Не получится - пиши.

[Robot]

Liya_Bloody
Я пару слов скажу о своем методе
{-m+3n=dx
{5m+2n=dy
Мы работаем, как с системой линейных уравнений, избавляясь от одной переменной
Например, умножив первое равенство на 5 и сложив со вторым, получаем
17n=d(5x+y)
Это означает, что либо d делитель 17, либо d -делитель n
Потом еще раз возвращаемся к системе и получаем еще один вывод
Комбинируя все это и используя условие задачи, даем окончательный ответ
==
Но в методе, предложенном ucheba.pro постарайтесь тоже разобраться.

[ucheba.pro]

Робот, метод спуска и есть то, что ты описала. Но он как бы более общий и может применяться к более масштабным заданиям.

И не стоило давать решения.

[Robot]

Полностью я не дала. Хотя ты прав, конечно.
Просто я устала следить за этим топиком, тем более все здесь на нуле. Хотя огромное количество комментов, но воз и ныне там.

А в сообществе есть и другие задачи.

[ucheba.pro]

Не забывай про нашу договоренность!

Делать по твоему это как бы квадратное уравнение каждый раз решать через выделение полного квадрата, переноса остатка в другую сторону и т.д.
Ниже краткое решение, еcли ничего получится.
НОД я буду пропускать.
(3n-m,5m+2n)=(n-6m,5m+2n)=(n-6m,11m+n)=(n-6m,17m)
Этим же методом найдем (n-6m,m)=(n,m)=1 (прибавили правую часть 6 раз)
Итого (n-6m,17m) может равнятся 17 или 1.

[Liya_Bloody]

Решила. Не так и не так. Исходя из системы, предложенной Robot, получила уравнение, а дальше, как говорится, метод пристального взгляда.
Огромное спасибо: взяла на заметку.

[Robot]

Liya_Bloody
Не знаю, как насчет одного уравнения и пристального взгляда. решение должно быть доказательным.

[Liya_Bloody]

Ну, у меня получилось семнадцать таким образом, а 1 - она ведь всегда делитель.

[Robot]

Я бы все же хотела посмотреть,как вы делали

[ucheba.pro]

Я бы все же хотела посмотреть,как вы делали

ну вот, мучаешь почем зря девочку.

Ладно, если коротко, как бы там ни делала, лучше усвоить метод спуска, как я сказал, метод один раз понимается и много раз применяется.
Если будут вопросы, поздно вечером отвечу.

[Liya_Bloody]

1) (3n-m)/(5m+2n)= -5(3n - m) + 17n/(3n-m);
2) 17n = 5 х y + xz
x, y , z - целые числа.

[Robot]

Liya_Bloody
что-то я не очень поняла

[Liya_Bloody]

Ох, ладно... Ну ее эту задачу, хотя, по-моему, первого равенства для решения хватит, ибо произведение целое по условию и выходит что-то вроде числа, которое и выделится.

[Robot]

1) (3n-m)/(5m+2n)= -5(3n - m) + 17n/(3n-m);

Вот «не ну ее эту задачу»
Задача простейшая, и надо научиться такие решать
Не поняла уже строчку 1)
вот была дробь(3n-m)/(5m+2n)
Почему в правой части она как бы перевернулась?
И вообще куда делся делитель d
ведь про него вопрос решаем

[Liya_Bloody]

Да, знак равенства в 1ом лишний. Это я так НОД искала.
А d я во втором за x обозначила.

[ucheba.pro]

ucheba.pro, пойми, у нас не принято так себя вести. Вообще это нонсенс, что я в сообществе начинаю что-то модерировать. Нам даже функции такие раньше не были нужны!!!

Эволюция и свежий взгляд на вещи!

я думаю все вопросы мы решили, если Гость отпишется. Могу сказать, что некоторые его сообщения (подборки литературы, особенно книжка Чубарикова и Гашкова) говорят о весьма высоком его уровне, как преподавателя, так и человека, который следит за чем-то новым.