С4 вариант 10 (из сборника МИОО)

[Robot]

С4 вариант 10 (из сборника МИОО)
Основания трапеции равны а и b. Прямая, параллельная основаниям, разбивает трапецию на две трапеции, площади которых относятся как 2:3. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри трапеции.
Указания в комментариях

@темы: Планиметрия, ЕГЭ

Comments

[Robot]

В задаче два случая
Рассмoтрим один из них, когда отношение площади верхней отсекаемой части к площади нижней равно 2:3. Обозначим площадь верхней части S1, нижней S2. Тогда S2=1,5*S1. Достроим трапецию до треугольника и обозначим площадь треугольника BEC через S. Тогда из подобия (S+S1+S2)/S=(b/a)^2 или (S+2,5*S1)=(b/a)^2
Отсюда можно выразить S через S1.
Из подобия двух других треугольников (S+S1)/S=(x/a)^2, отсюда находим х
Не забываем про второй случай.

[aalleexx]

Robot Спасибо, я выкладывал свое решение там-знаете-где , задача простая, но я решал не достраивая до треугольника. Сейчас, к сожалению, не могу выложить - картинка на другом компе, а писать заново не хочется. Попозже выложу.

[Robot]

Там ничего не выложилось, потому я и подумала, что был вопрос))
Да, интересно посмотреть без достраивания. Буду ждать)

[aalleexx]

Да, идея проста (a+x)h1/2+(b+x)h2/2=(a+b)(h1+h2)/2 и 3(a+x)h1/2=(a+b)(h1+h2)/2
h1/h2 выражается из одного уравнения и подставляется во второе.

[Robot]

Я так начала, только записала соотношение , исходя из 2:3, и бросила.

[zholga]

Robot,спасибо за ваше решение. Правда эту задачу я решила способом aalleexx, но чем больше способов решения знаешь тем лучше.
Аналогичная задача есть в сборнике ФИПИ Вариант 10 С4. Правда никак приобразовать до конца у меня не получается, ответ не сходится. Ошиблась, наверное, где-то. Но буду искать ошибку сама. Попробую ваш способ.

[Robot]

Прсматривала сейчас темы. Решила посмотреть что там с С4-10 из ФИПИ.
Нет, все же мне мой способ больше нравится))
Там даже можно упростить чуть-чуть
С4.10. На боковых сторонах АВ и CD трапеции с основаниями AD и ВС отмечены точки Ри Q соответственно, причем PQ | |AD. Прямая PQ разбивает трапецию на две трапеции, площади которых относятся как 1 : 2. Найдите PQ, если AD =a и ВС = b.

Рассмoтрим первый случай, когда отношение площади верхней отсекаемой части к площади нижней равно 1:2. Обозначим площадь верхней части S1, нижней S2. Тогда S2=2*S1. Достроим трапецию до треугольника и обозначим площадь треугольника BEC через S. Тогда из подобия (S+S1+S2)/S=(a/b)^2 или (S+3*S1)/S=(a/b)^2
Отсюда S1/S=(a^2-b^2)/3b^2 (*).
Из подобия двух других треугольников (S+S1)/S=(x/b)^2, отсюда 1+S1/S=(x/b)^2. Используем равенство (*), находим х.
Аналогично второй случай.

[aalleexx]

Да, я обещал свой рисунок и забыл. Вот он.

[Robot]

aalleexx
Спасибо))

[Гость]

Как во втором действии пропала h1 ?

[Гость]

Гость не пропала

[Гость]

Ребят, описка в итоге пункта 1):
это равенство справедливо для отношения h2/h1, а не h1/h2

[aalleexx]

Гость, да, Вы правы. Должно быть так

[Гость]

aalleexx
Гость, да, Вы правы. Должно быть так

Дальше картинка, на которой, среди прочего, равенство:

h_2/h_1 = (x-a)/(b-x).

Думаю, как это могло быть получено? Сначала нужно было из подобия треугольников получить равенство

h_2/h_1 = (a-x)/(x-b),

а затем в числителе и знаменателе поменять знаки и записать отношение высот через отрицательные величины. Похоже, что так. Но зачем?

[Гость]

Вы не поняли.
Это соотношение получается алгебраически из равенства строчками выше.
Никакого в данном случае подобия.
Чистая алгебра.

[Гость]

А для чего отношения высот высот представлять через отношения отрицательных величин?

[Гость]

При алгебраическом решении мы оперируем числовыми значениями без их привязки к конкретным геометрическим объектам.
Преобразования осуществляются в рамках уже созданной на первом этапе математической модели.
Возвращение к реальным объектам будет происходить позже - на третьем этапе (этапе интерпретации математической модели).

[Гость]

Евклид бы Вас не понял!

[Гость]

"Вы не могли подобрать что-нибудь подревнее? Евклида, например? У того вообще прямая и отрезок --- почти одно и то же, отрезок --- то же, что и его длина, и т. д.. Но наука, слава Богу, не стоит на месте, и со временем мы приобретаем способность различать вещи, которые раньше не различали." (с)

[Врем.]

Для обсуждения содержания геометрии и влияния, которое оказывает алгебра на геометрию, создавайте отдельный топик. ВМ

[Гость]

Хороший ответ! Вижу, что мы поняли друг друга!

Мой ответ на мои слова был другой:

Евклид бы не понял, а Гильберт - понял!

Но Ваш ответ лучше (в данной ситуации).

Примите мои поздравления! Спасибо за общение!

[Гость]

[Гость]

Решение, понятное и Евклиду
(в случае, когда a > b; если a < b, "a" и "b" меняются местами).

Пусть h - высота трапеции, h_1 - то же, что у aalleexx.
Проведём через вершину C прямую, параллельную AB.
Обозначим через C_1 и C_2 точки её пересечения с
отрезками PQ и AD соответственно.

По условию

(1/2)(x+b)h_1 = (1/3)(1/2)(a+b)h. (*)

Из подобия треугольников CC_1Q и CC_2D:

h_1/h = (x-b)/(a-b),

откуда

h_1 = ((x-b)/(a-b))h.

Подставляя это выражение для h_1 в равенство (*)
после очевидных преобразований получаем

3(x^2 - b^2) = a^2 - b^2,

а отсюда - ответ.

[Robot]

Гость
Большое спасибо за решение!