Снова определитель.Прошу помощи.

[nvse]

Сейчас стал разбирать док-во свойства det(a*b)=det(a)*det(b) и столкнулся опять с непонятным переходом:.Непонятно то, что каким образом в верхнем левом углу блочно-треугольной матрицы получилось произведение матриц A и B ?И ещё раз заранее спасибо.

@темы: Определители

Comments

[Dieter Zerium]

точно в верхнем левом?)

вообще мало что понял... степени какие-то у B... что такое А1, А2 и т.д.?

[nvse]

В верхнем правом).A1B1..A1Bn Это a11*b11..a12*b12..a1n*b1n.

[Dieter Zerium]

не знаю)
аккуратнее записывай в следующий раз)

[Reflendey]

В Куроше что-то такое в качестве доказательства вроде есть(он, если что, есть тут среди выложенной литературы), там через Теорему Лапласа вроде( у меня сейчас под рукой нет, могу ошибаться)...Посмотри, думаю разберёшься. Ну или найди какое-нибудь другое док-во.
У нас было более, на мой взгляд, простое и прозрачное:
Если ничего не путаю, то идея такая:
1) Для Е*B -очевидно
2) Пусть А -элементарная матрица, то есть м-ца, умножение на которую эквивалетно элементарным преобразованием строк. Тогда тоже легко проверить, что
det(А*В)=det(А)*det(В)
3) Разложим м-цу А на элементарные м-цы. Если А - невырождена, то получим U1*U2*...Un*B. Для элементарных матриц это верно, поэтому по индукции получаем требуемое р-во.
Ну а если А вырождена, то можно доказать аналогичные вещи для умножение справа. И тогда получим A*U1*U2*...Un, и опять по инудкции показываем, что это верно. Если же обе вырождены, то утверждение очевидно.

[Dieter Zerium]

Puteror
вот-вот, помнится, мы тоже все эти матричные свойства через индукцию доказывали

[nvse]

Puteror спасибо,но мне бы хотелось понять своё док-во:суть которого в том что у блочно-треугольной матрицы во второй строчке моей записи можно поменять местами 1 и 2-й столбцы.(у определителя появится минус).И тогда получится что определитель блочно-треугольной матрицы равен (-1)^n*det(A*B)*det(-E)=det(A*B).Непонятен только вот этот переход.

[nvse]

Puteror а что значит E*B(Е-это единичная матрица а B что это?)

[Reflendey]

B - произвольная матрица.

[nvse]

Эх,что-то всё равно не понимаю:в 1 пункте очевидно что?В 2 пункте не совсем понял что значит элементарная матрица,можете если не трудно пример такой матрицы написать?В 3 пункте что значит U1*U2*...Un*B?

[Reflendey]

Пусть имеется некоторая матрица А. При приведении её к ступенчатому виду используются элементарные преобразования, однако каждое из них можно интерпретировать как умножение на определённую матрицу, она и называется элементарной матрицей.
В качестве примера - Мы меняем в матрице А местами i и j строки. Элементарная матрица выглядит так - берём единичную матрицу и пересталяем в неё местами i и j столбцы.
U1 U2 и т.д м-цы элементарных преобразований, то есть мы разложили А на произведение элементарных матриц.

[Robot]

nvse
Вся проблема в том, что это разные подходы к доказательству теоремы.
Тебе надо разобраться в том, что дал лектор.
Ты вырвал кусок из доказательства и хочешь, чтобы мы чего-то поняли.
Нужно ведь знать, что у вас было перед этим, что вы про блочные матрицы доказывали.
Вообще-то лектор д.был посоветовать литературу, по которой и ты, и мы что-то могли посмотреть.

[Robot]

Например, тут по виду как бы произошло следующее - к верхней строке (блоку) прибавлена вторая, умноженная на А
Но я, например, с такими блочными операциями не работала

[nvse]

Robot я тогда спрошу опять у лектора про это.Кстати в прошлый раз,когда я не понял про 1 пункт из моего прошлого конспекта мне ответили:там определитель был равен a11*A11 потому что это была как раз таки блочно треугольная матрица,чей определитель(что ранее у нас доказывалось) был равен det(A*B) где A это был элемент a11 а B как раз A11.

[Dieter Zerium]

nvse

тогда спрошу опять у лектора

собственно, с этого и надо было начинать)

[nvse]

Ты вырвал кусок из доказательства и хочешь, чтобы мы чего-то поняли.

Попробую рассказать сейчас поподробнее:ранее мы доказали что определитель блочно-треугольной матрицы
равен произведению определителей главной диагонали то есть det(A)*det(B).Что такое A и B можно увидеть на выложенном мной изображении (первая строка,там где 4 большие буквы A B E 0)).Далее как раз таки идёт непонятный переход и получается что в верхнем правом углу определителя появляется произведение A на B а в нижнем левом -E.Далее мы меняем как бы местами 1-ый блок (где 0 а под ним E ) cо 2-ым блоком(где A*B а под ним B).В результате появляется(-1)^n перед определителем(поскольку блоки местами поменяли).Теперь возращаемся к прошлому утверждению(а именно то что определитель блочно-треугольной матрицы равен произведению определителей главной диагонали).Теперь же это не det(A)*det(B) а det(A*B)*det(E)*(-1)^n или же просто det(A*B).

[Robot]

Ну, а вот таких операций не проходили

верхней строке (блоку) прибавлена вторая, умноженная на А

?
А 0
-Е В
то есть к строке А 0 (на самом деле это не строка, а матрица размером nx2n)
прибавляем строку -E B, умноженную на А
Тогда как раз получается
0 АВ
-Е В
Может вы проходили, что такое преобразование не меняет определителя или что-то вроде этого?
Если что-то такое было, то тогда все остальное ведь вроде понятно
Мне трудно судить, потому что у нас все было не так

==
Или тебе непонятно, что такое А_iВ^j
А_i- i-ая строка матрицы А
В^j -j-ый столбец матрицы В
Поэтому то, что стоит верхнем левом углу предпоследней матрицы это по определению как раз АВ

[nvse]

Robot Всё,теперь стало понятно.Конечно элементарные преобразования мы проходили и то что детерминант не поменяется если прибавить к одной строке другую умноженную на число тоже.Просто доходит до меня слишком всё долго.Спасибо большое за объяснение.

[Robot]

nvse
Не-е..
Тут не число. Тут работа с блоками. Совсем другое.
Правда, может все это можно сделать через цепочку элементарных преобразований отдельно с настоящими строками (не блоками), так что в совокупности получится как раз блочное преобразование