Теория вероятностей

[Darth Heather]

Здравствуйте! Пожалуйста, помогите, завтра уже сдавать надо...=(
Из ящика с 3 белыми и 2 чёрными шарами извлекают с возвращением шары до тех пор, пока не появится белый шар. Каково среднее число вынутых чёрных шаров?

Как без возвращения решить, я себе представляю, а тут с возвращением... впала в ступор..

@темы: Теория вероятностей

Comments

[Trotil]

только как их сумму-то найти?... их же бесконечное множество...

Первую бесконечная сумма ведь нашлась... И вторая найдется.

Разобралась, как первая сумма получилась?

[Darth Heather]

Да, насчёт первой я разобралась))) За это отдельное спасибо, а то я о таком понятии, как прогрессия, уже в принципе забыла))
а вторая сумма - это тоже прогрессия?...

[Trotil]

а вторая сумма - это тоже прогрессия?...

Вторая сумма - не прогрессия, но ее можно подсчитать двумя способами, в т.ч. и через прогрессию.

1 + x + x^2 + x^3 + ... = 1/(1-x)

Нужно подсчитать

x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 + ... = ?

Я так понимаю, идей никаких?

[Darth Heather]

Как мне ни стыдно это признавать, но да, никаких=(( Вообще по нулям=((

[Trotil]

Ralunam

Делай по шагам.

1) Выдели оттуда ряд, похожий на 1+x+x^2+x^3+x^4 + ...

[Darth Heather]

эээ.... если х за скобку вынести, это будет похожий ряд?..

[Trotil]

Ralunam

Выноси x за скобку.

[Darth Heather]

х(1 + 2^2 + 3^3 + 4^4...)
вот так)

[Trotil]

Что-то не то...

[Darth Heather]

Аааа, вот я лошара!!!
у нас же х в степени)))
x(1 + 2x^1 + 3x^2 + 4x^3...)
так?

[Trotil]

А я уже огорчиться успел...
Теперь правильно.
Теперь выделяй из суммы 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + ...

Должно получиться x* ( ( 1 + x + x^2 + x^3 + ... ) + ...?... )

[Darth Heather]

Не надо огорчаться)) иногда у меня всё-таки бывают проблески математического интеллекта))
хотя... что-то рановато я об интеллекте заговорила...
я что-то не могу понять, как оттуда лишнее выделить...О_о

[Trotil]

Ralunam

А я там кусочек подписал. Ну это как 7 = 1 + 6, только с многочленами.

[Darth Heather]

x* ( ( 1 + x + x^2 + x^3 + ... ) +(0+2+ 3 +4... )?... Или я очередную глупость сморозила?..)

[Trotil]

(0+2+ 3 +4... )

А иксы хде?

[Darth Heather]

x* ( ( 1 + x + x^2 + x^3 + ... ) +(0+х+2х+ 3х+4х... )
правильно?..

[Trotil]

Ralunam

Нет. Даю еще одну попытку и ухожу.

[Darth Heather]

Извините, я Вас тут задерживаю со своей тугодумостью...
я правда никак сообразить не могу(((

[Trotil]

Ладно, ночью башка у многих не варит =)

x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 + ... =
x(1 + 2x^1 + 3x^2 + 4x^3...) =
x( (1 + x + x^2 + x^3 + ...) + x + 2x^2 + 3x^3...) =

x( (1 + x + x^2 + x^3 + ...) + x ( 1 + 2x + 3x^2...)) =

x (1 + x + x^2 + x^3 + ...) + x^2 ( 1 + 2x + 3x^2...)=

x * 1/(1-x) + x^2 ( 1+x+x^2 + x^3 +...) + x^2 (x+2x^2 + 3x^3 + ... ) =

x * 1/(1-x) + x^2 * 1/(1-x) + x^3 (1+2x + 3x^2 + ... ) = ...

= 1/(1-x) * ( x + x^2 + x^3 + x^4 + ... ) = x / (1-x) * ( 1/ ( 1-x) ) = x/(1-x)^2

мат. ожидание равно sum (i*(2/5)^i*(3/5) ) =3/5 * [ 2/5 * (1/(1-2/5)^2] ] = 3/5 * 2/5 * (5/3)^2 = 2/3.

[Darth Heather]

Ой... Спасибо Вам огромное!.. Просто преогромнейшее спасибо!..)))
я даже поняла)) правда, с последними строками придётся поразбираться, но в целом я поняла!)))

[Darth Heather]

Упс... а среднее число шаров-то какое? О_о )))

[Trotil]

правда, с последними строками придётся поразбираться, но в целом я поняла!)))

Ну в целом идея в том, что мы выделяем бесконечное число бесконечных прогрессий, потом выносим и остается в скобках еще одна прогрессия )

Есть второй способ. Он короче.

1+x+x^2+x^3+x^4 + ... = 1/(1-x)

Берем производную:

0 + 1 + 2x+3x^2 +4x^3 + ... = 1/(1-x)^2

Умножаем на x

x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 + ... = x / (1-x)^2

Но он плох тем, что требует тонкого подхода - не всегда можно интегрировать / дифференцировать ряды. И без дополнительного обоснования лучше это не делать.
И второе - эту тему мало где проходят, вы могли вообще ее не проходить в должном объеме и по этой причине данный метод не подходит.

А геометрическую прогрессию проходят все. В школе

[Trotil]

Упс... а среднее число шаров-то какое? О_о )))

В среднем две трети шарика )

[Darth Heather]

Уф, всё))) Вопросов больше нет))))
Еще раз большущее спасибо Вам)))))

[Darth Heather]

Вы - очень талантливый педагог, раз даже до меня немножко дошла теория вероятностей)))

[Trotil]

Ralunam

Спасибо.

Я просто очень вредный

Если нужно будет что-то еще объяснить - обращайтесь )

[Darth Heather]

Обращусь)) И не раз, наверное))
Но в следующие разы обещаю не так сильно тупить)))