помогите с решением

[Telecompot]

1)Найти частное решение линейного дифференциального уравнения:
xy'+y=e^x , y(1)=e
ход моего решения:
- сначала нахожу корени xy'+y=0 из которого y=C(x)/x
- Подставляю у в дифференциальное уравнение x((C'(x)/x)-(C(x)/x^2))+C(x)/x=e^x C'(x)=e^x
- C(x)=e^x+C
- подставляю значение в формулу y=C(x)/x=(e^x+C)/x (это вродебы общее решене ур-я)
- т.к. y(1)=e , (e^1+C)/1=e , помоему белиберда какая-то, где ошибка?

2) Найти общее решение дифференциального уравнения:
y'+2y=cos(x)

(даны указания)

@темы: Дифференциальные уравнения

Comments

[Robot]

Я вообще-то первое уравнение решаю заменой y=u*v (там тоже есть спец. алгоритм)

А почему белиберда?
Отсюда С=0

Второе такого же типа? Там в чем проблема?
www.ostu.ru/vzido/resurs/matem/marketing/2semes...

[Telecompot]

Спасибо!!!
на счет второго y'+2y=cos(x),
если рассматривать метод y=u*v, то застреваю на этапе, когда прихожу к двум уравнениям первого порядка v'+2v=0 и u'v=cos(x).
можно-ли так dv/dx=-2v, если в уравнении нет (x)? и как тогда продолжить?

также если и через метод вариации произвольных постоянных: y'+2y=0

[Robot]

также если и через метод вариации произвольных постоянных: y'+2y=0

y'=-2y
dy/y=-2dx
∫dx=x

[Telecompot]

И всеже неясно:

y'=-2y
dy/y=-2dx
∫dx=x

или
y'=-2y
dy/y=-2dx
∫dy/y=-∫2dx
ln|y|+c=-2x+c -и дальше?
ln|y|=-2x+c1-c2
как выразить y?

а если смотреть www.ostu.ru/vzido/resurs/matem/marketing/2semes...
где приводится схожий пример y'+2xy=-2x^3
то: dy/y=-2xdx -- здесть все ясно;
∫dy/y=-∫2xdx -- здесть тоже ясно;
ln(y)=-x^2+ln(C) -- тут ln(y) и x^2 понятно, НО ln(C) ОТКУДА?

[Robot]

В качестве постоянной можно брать С, а можно lnC
Кстати, если вы решаете с помощью замены y=uv, то там при решении

v'+2v=0

можно в качестве С взять любое (берут удобное) число

Зачем вы берете С два раза
dy/y=-2dx
ln|y|+lnC=-2x (например)
у выражать через экспоненту

Я бы в данном случае решала с помощью замены y=uv,
v'+2v=0
ln|v|=-2x

[Telecompot]

Огромное спасибо, вроде получилось. :-)

решение
y'+2y=cosx
пусть у=uv, тогда y'=u'v+uv'
u'v+uv'+2uv=cos(x)
u'v+u(v'+2v)=cos(x)
приходим к двум уравненям с разделяющимися переменными:
1) v'+2v=0
2) u'v=cos(x)

-------------------------------------------------------------------------------
решаем первое и находим v
v'+2v=0
v'=-2v
dv/v=-2dx
∫dv/v=-∫2dx
ln|v|=-2x
v=exp^(-2x)
----------------------------------------------------------------------------------
подставляем v во второе уравнение
u'v=cos(x)
u'exp^(-2x)=cos(x)
u'=cos(x)*exp^(2x)
du/dx=cos(x)*exp^(2x)
∫du=∫cos(x)*exp^(2x)
∫cos(x)*exp^(2x)=(1/5)*exp^(2x)(2cos(x)+sin(x))+C

u=(1/5)*exp^(2x)(2cos(x)+sin(x))+C
---------------------------------------------------------------------------------

т.к. y = uv = exp^(-2x)*(1/5)*exp^(2x)(2cos(x)+sin(x))+C = (1/5)*(2cos(x)+sin(x))+C
Ответ: Уобщ=(1/5)*(2cos(x)+sin(x))+C

[Robot]

В конце не так
u=(1/5)*exp^(2x)(2cos(x)+sin(x))+C
Поэтому y = uv = exp^(-2x)*[(1/5)*exp^(2x)(2cos(x)+sin(x))+C]=(1/5)*(2cos(x)+sin(x))+C* exp^(-2x)

==
Вот я бы еще написала так
ln|v|+lnC=-2x
Полагая С=1, выбираем частное решение v=exp^(-2x)
( вообще-то
|v|=exp^(-2x)
v=±exp^(-2x)
То есть надо бы рассматривать два случая, но второй - с минусом - выводит на тоже решение, что в конце
Вот тут я смутно представляю, как вы обычно делаете)

[Telecompot]

Да действительно.

Спасибо