Интегралы

[synergetic]

23:33, 3 мая.
Доброго времени суток! Застопорилось решение некоторых похожих интегралов, знаменатель которых как-то можно свести к табличным типа SQRT(x^2+k); x^2+a^2;x^2-a^2; SQRT(a^2-x^2)..... В числителе стоит некоторая ф-ция, часто- тригонометрическая. А сама переменная Х тоже часто представляет собой тригонометрическую ф-цию. Я уже пробовал и с заменой переменной, и по частям, и в сочетании. Но выражения ещё больше удлинняются и запутываются. Гдето методическая ошибка?

@темы: Интегралы

Comments

[Хранитель печати]

synergetic давайте на конкретном примере разберём.

[synergetic]

С удовольствием! 1.Int[( Cos5x/Sqrt(3Cos^2(5x)-2)]dx; 2.Int[Sin(x/3)/(4Cos^2(x/3)+9)]dx; Int[x^4/Sqrt(4-x^10)]dx

[Хранитель печати]

synergetic
1. Подведите косинус в числителе под знак дифференциала, введите замену sin 5x = t, в знаменателе перейдите к синусу по основному тригонометрическому тождеству, получите табличный интеграл, дающий вроде как арксинус.
2. Синус под знак дифференциала, замена cos (x/3) = t.

[Хранитель печати]

3. x^4 под знак дифференциала, замена x^5 = t. Они все однотипные.

[synergetic]

Спасибо, уважил старика! Будем вспоминать дальше

[Хранитель печати]

synergetic
идея в том, что при правильной замене у вас не остаётся числителя , а знаменатель, как вы и написали,

можно свести к табличным типа SQRT(x^2+k); x^2+a^2;x^2-a^2; SQRT(a^2-x^2).

Требуется более подробно расписать процесс взятия указанных интегралов?

[synergetic]

Если вы так любезны, буду очень благодарен. А то получается много подстановок, дело запутывается и числитель не исчезает

[Хранитель печати]

Int[( Cos5x/Sqrt(3Cos^2(5x)-2)]dx

I = int [ cos 5x / sqrt (3 cos²5x-2) dx] = 1/5 int [ d(sin5x) / sqrt (3 - 3 sin²5x-2)]
sin 5x = t
d sin 5x = dt
I = 1/5 int [ dt / sqrt (1 - 3 t²)] = 1/5 int [ dt / { sqrt (3) * sqrt (1/sqrt(3) - t²)}] = 1 / ( 5 sqrt(3)) * arcsin ( t / sqrt(sqrt(3)) = 1 / ( 5 sqrt(3)) * arcsin (sqrt(sqrt(3)* sin 5x)

[synergetic]

Спасибо большое В основном понятно, а по мелочам я разберусь. Для моих целей этого вполне достаточно (все свои экзамены я давным давно сдал )

[Хранитель печати]

synergetic будут вопросы - спрашивайте.

[synergetic]

Буду,но постараюсь не грузить. Заранее благодарен.

[synergetic]

У меня просто "подвопрос": выходит,что внесение под знак дифференциала и замена переменной- это одно и то же? Или есть разница?

[Хранитель печати]

synergetic гм. Думается, в общем случае можно сказать, что когда вы вносите выражение под знак дифференциала, вы переходите к новой переменной

[mpl]

Спасибо программистам ... Идет восстановление базы ...