Reflendey
MZ3
Завтра контрольная по интегралам и их приложениям, надо разобраться кое в чём:
Пусть параметрически задана гладкая кривая, как найти её площадь я знаю. Проблема в том, чтобы найти пределы интегрирования. Если там тригонометрические функции, то никаких проблем. А если x(t) и y(t) - какие-то многочлены(рациональные функции или вообще любые не периодичные)?
Была мысль нахождения через решение системы уравнений x(t+T)=x(t) и y(t)=y(t+T), и взять пределы интегрирования 0 и T, но кривая может, вообще говоря, пересекать себя поэтому способ отпадает.
Переход к полярным координатам, как мне показалось, приводит к громоздким вычисления самого интеграла, даже если он сам по себе простой. А самое главное, если уж перейти к полярным координатам, то тогда(по крайней мере в простых примерах) можно можно обойтись и без параметрического задания кривой, получив её полярное уравнение. А в задании же явно написанно, что надо в параметрической форме.
Лектор, к сожалению, сильно отстаёт - начал только вычисление длины дуги прочитал, а ни в Фихтенгольце, ни в Крикорове ничего про подобные примеры не говорится. Семинаристка вроде говорила рисовать графики в таких случаях, однако обычно в таких случаях это удобней всего сделать в полярных координатах и получается тоже, что в прошлом абзаце.
Вот два конкретных примерах, один объективно простой, другой относительно сложный:
`TZ`Демидович
Найти площадь, ограниченную кривыми, заданными параметрическими уравнениями:
2414:
`x=2t-t^2`
`y=2t^2-t^3 `
и
2430:
`x^4+y^4=a*x^2*y`
указание - сделать замену `y=t*x`[[/TZ]]
Заранее спасибо
Завтра контрольная по интегралам и их приложениям, надо разобраться кое в чём:
Пусть параметрически задана гладкая кривая, как найти её площадь я знаю. Проблема в том, чтобы найти пределы интегрирования. Если там тригонометрические функции, то никаких проблем. А если x(t) и y(t) - какие-то многочлены(рациональные функции или вообще любые не периодичные)?
Была мысль нахождения через решение системы уравнений x(t+T)=x(t) и y(t)=y(t+T), и взять пределы интегрирования 0 и T, но кривая может, вообще говоря, пересекать себя поэтому способ отпадает.
Переход к полярным координатам, как мне показалось, приводит к громоздким вычисления самого интеграла, даже если он сам по себе простой. А самое главное, если уж перейти к полярным координатам, то тогда(по крайней мере в простых примерах) можно можно обойтись и без параметрического задания кривой, получив её полярное уравнение. А в задании же явно написанно, что надо в параметрической форме.
Лектор, к сожалению, сильно отстаёт - начал только вычисление длины дуги прочитал, а ни в Фихтенгольце, ни в Крикорове ничего про подобные примеры не говорится. Семинаристка вроде говорила рисовать графики в таких случаях, однако обычно в таких случаях это удобней всего сделать в полярных координатах и получается тоже, что в прошлом абзаце.
Вот два конкретных примерах, один объективно простой, другой относительно сложный:
`TZ`Демидович
Найти площадь, ограниченную кривыми, заданными параметрическими уравнениями:
2414:
`x=2t-t^2`
`y=2t^2-t^3 `
и
2430:
`x^4+y^4=a*x^2*y`
указание - сделать замену `y=t*x`[[/TZ]]
Заранее спасибо
-
-
10.03.2009 в 18:19У кривой нет ни ширины, ни высоты, поэтому площадь кривой тождественно нулевая =)
Если имеется ввиду площадь области, ограниченной петлей кривой — то тогда как раз нужно найти точки самопересечения из системы уравнений x(t1) = x(t2) ⋀ y(t1) = y(t2). Если их будет несколько (и кривая при этом не будет периодичной), то тогда придется строить график, чтобы определить, между какими точками интегрировать (хотя, можно впринципе обойтись и без этого, если x(t) и y(t) непрерывны).
Если же кривая будет периодичной (т.е., если ∃T: x(t + T) ≡ x(t) ⋀ y(t + T) ≡ y(t)), то интегрировать нужно между 0 и T.
-
-
10.03.2009 в 18:48Ага, конечно я имел ввиду не площадь кривой, а области, ею ограничиваемой, то есть, в случае наличии петель, площадь всех петель, но сути это не меняет.
Гм, спасибо, всё разумно и понятно, кроме фразы:
хотя, можно впринципе обойтись и без этого, если x(t) и y(t) непрерывны).
Кривая может быть и кусочно-гладкой, но сами функции x(t) и y(t) разве могут иметь разрывы? насколько я знаю, не могут по определению кривой(по крайней мере при t принадлежащем соответсвующему отрезку).
И вот как тогда можно обойтись без графика, при наличии самопересечений и отсутсвии периодичности?
-
-
10.03.2009 в 19:25Ну, если у кривой больше одной точки самопересечения, то тогда там либо несколько петель, либо... эээ... так, ступор =) Представьте параболы y = x2 и y = 1 – x2; пересекаясь, они образуют "двуугольник" — так вот, ...либо нечто "похожее" на такую фигуру (границы у неё, ессна, могут быть самыми разными) (либо и то, и другое, да). И всю ограниченную кривой область можно разбить на конечное число таких подобластей. Сперва нужно уточнить формулировку задания — площадь какой именно области найти.
В первом случае, для петли, границы интегрирования определяются следующим образом — множество аргументов самопересечения {t1, t2, ..., t2n} упорядочивается по возрастанию; и если x(tk) = x(tk+1) ⋀ y(tk) = y(tk+1), то между tk и tk+1 — петля (чтобы определить, какую именно из этих петель взять, видимо, придется проводить исследование функции и сопоставлять результаты с условием).
Во втором случае — никогда с таким не сталкивался, и как считать такие интегралы параметрически, не знаю =) Вообще, конечно, между двумя точками самопересечения можно найти две различных зависимости y = yi(x), тогда интеграл не представляет собой проблемы. И, по аналогии с функциями f(x), можно предположить, что интеграл можно взять как
-
-
11.03.2009 в 14:44Спасибо, вопрос можно считать закрытым, правда после контрольной возник другой, но ответ на него я и у семинаристки получу, если сам не дойду...
-
-
24.03.2009 в 09:21-
-
28.02.2013 в 16:23