Мат ан

[Scream__]

MZ3
`TZ`Используя интеграл Пуассона, вычислить интеграл
`int_0^(+oo)(x*e^(-ax^2)*sinbxdx`[[/TZ]]


Я решала его по частям, но ничего не получилось(((

@темы: Интегралы

Comments

[Dieter Zerium]

Scream__
вроде по частям и надо.. видно плохо(

[Scream__]

[Scream__]

Там нужно использовать интеграл Пуассона, чтобы вычислить тот интеграл

[Scream__]

А я решала тот интеграл по частям, и он никак не приводится к интегралу Пуассона((((

[Trotil]

Maple выдал ответ:



Это соответствует вашему уровню сложности задач?

[Dieter Zerium]

Trotil
erf в Maple - это Q-функция или интеграл вероятности?

судя по ответу, здесь не по частям...

[Trotil]

Прошу прощения, первый интеграл я набрал без сомножителя "x".

Правильная картинка вот:

[Scream__]

Спасибо за ответ.А можно поподробнее узнать, как вообще его решать?

[Scream__]

Нужно использовать дифференцирование или интегрирование?или что-то другое?

[Trotil]

Scream__

Да я вот сам думаю...
Вам к какому сроку нужно?

[Trotil]

Я пока дошел до того, что осталось взять интеграл ∫ exp(-ax^2)*cos(bx) dx. От "x" я избавился по частям.

[Trotil]

Решение такое:



Косинус представляется в сумму экспонент, и таким образом получаются два интеграла ошибок, которые при подсчете упрощаются до моего ответа.

---------------------

Итак:

1) Исходный - по частям - избавляемся от "x"
2) ∫ exp(-ax^2)*cos(bx) dx - используя тот факт, что косинус = сумма двух экспонент. Комплексные значения erf в конечном итоге сократятся.

P.S.

erf(0) = 0
erf(infinity) = 1

На вопросы, видимо, если они будут, отвечу после сна.

[Scream__]

1-ую часть - избавится от x я тоже сделала, а вот во второй части мне не понятно.....может объясните поподробнее,пожалуйста!!))))

[Trotil]

ожет объясните поподробнее,пожалуйста!!))))

cos расписываешь в сумму двух экспонент по формуле, что я дал

Получаются два интеграла вида exp(-ax^2)*exp(-bix) - значения коэффициентов там другие какие-то . Тебе его нужно собрать в некоторый ∫ exp( -a[x+mi]^2)dx) - интеграл ошибок со сдвигом. И далее - см. коммент выше.

[Scream__]

спасиба) может получится, но точно не уверена....

[Scream__]

Но мне ведь нужно использовать при вычислении интеграл Пуассона. Или когда вычислять два интеграла вида exp(-ax^2)*exp(-bix) он и используется?

[Trotil]

Тут дело вот в чем.

Способ нахождения интеграла, пользуясь только интергалом Пуассона мне неизвестен.
Я его решил, но у меня получился сдвиг в переменной.
Ну, пример, ∫ exp(-(x-1)^2) dx
Это в свою очередь сдвигает пределы интегрирования - и получается уже не интеграл Пуассона, а более общий вид - интеграл ошибок (erf).

Если действовать строго, то нужно действовать, примерно, как тут:
www.nsu.ru/matlab/Exponenta_RU/educat/class/cou...
К сожалению, объяснить полностью строгие выкладки я не могу - комплексный анализ я знаю плохо.

Но можно немного схитрить и обойти комплексный анализ стороной, используя запись erf(x+p), где p - комплексное число. Комплексные значения просто сократятся..

[Trotil]

\int \!{e^{-{x}^{2}}}\cos \left( x \right) {dx}=\frac12\,\int \!{e^{-{x}^{
2}}} \left( {e^{{\it ix}}}+{e^{-{\it ix}}} \right) {dx} = 1/2\,\int \!{e^{-{x}^{2}+{\it ix}}}{dx}+1/2\,\int \!{e^{-{x}^{2}-{\it
ix}}}{dx}=1/2\,{e^{-1/4}}\int \!{e^{- \left( x-1/2\,i \right) ^{2}}}{d
x}+1/2\,{e^{-1/4}}\int \!{e^{- \left( x+1/2\,i \right) ^{2}}}{dx}



Переводите это в

1/4\,{e^{-1/4}}\sqrt {\pi }{\it erf} \left( x+1/2\,i \right)



и

1/4\,{e^{-1/4}}\sqrt {\pi }{\it erf} \left( x-1/2\,i \right)



И осталось решить, как несобственные интегралы по двум пределам.

На коды не обращай внимания. Картинки видны?

[Scream__]

Да,спасибо.всё видно.Большое спасибо за помощь.Вы мне очень помогли дорешать контрольную по мат.анализу))))

[Maxeem]

Здравствуйте! Не могли бы Вы мне помочь с аналогичнм интегралом.
Решаю интеграл:

В процессе следую Вашей схеме, получаю следующее:


На сайте www.sosmath.com/tables/integral/integ38/integ38... имеется решение этого интеграла, но только с другими пределами. Решения Maple красивого результата не дают.
Спасибо заранее

[Trotil]

Maxeem

Дык вроде тоже самое... Свести к erf() и вычислить несобственные интегралы.

[Maxeem]

Trotil ,

Спасибо за ответ
Просто в моём случае всё время получается, что при сворачивании в квадрат суммы или разности, комплексное i выносится в множителе exp((i-alpha)^2/2*mu) и нигде не сокращается.

[Trotil]

Maxeem

Ты, наверное не понял мысль.
Сразу сокращаться не должно.

www.diary.ru/~eek/p63657366.htm?from=last&discu...

Получаются две erf с комплексами, подставляешь туда пределы интегрирования и только после этого исходя из свойств erf можно будет что-то сократить.

[Maxeem]

Получается вот что
первый интеграл:

Второй интеграл:

Экспонента с параметром и с i выносится и в любом случае комплексность остаётся.

Может быть, я не понял, как свести к erf и этой комплексности не будет?
Я уже, можно сказать, в отчаянии )

[Maxeem]

Даже если я просто Maple применяю, у меня получается комплексный ответ вне erf

[Trotil]

Да, действительно, что-то тут не так. Хм...
Покопаюсь, примерно через час напишу про итоги.

[Maxeem]

Спасибо большое

[Trotil]

Так, вот до чего докопался:

1) В maple ответ громоздкий потому, что в зависимости от мю функция может быть сходящаяся или расходящаяся. Поэтому в нем необходимо дописать строчку assume(мю>0).
2) Даже с учетом этой приписки ответ там выражается через комплексы, но это не страшно, я думаю, по-другому не записать без геморроя.
3) Ответ в справочниках дан в комплексах (стр. 367 Прудников, Брычков, Маричев.) или Градштейн (стр. 494)
4) В maple появляется cos() - видимо, выдирается по этой формуле.

P.S. Как вариант, без комплексов, можно разложить в ряд (либо сразу, либо разложить в ряд выражение exp()*erf() + exp()*erf() и сократить комплексы - проще сразу разложить и интегрировать ряд), получить некоторый ряд и попробовать свернуть в maple (для начала с какими-то простенькими параметрами типа a=1/2, b=1, потом, если получится, в общем виде)

[Maxeem]

Спасибо большое, попробую

[Trotil]

Ответы везде немного разные... Сказывается то, что есть несколько похожих функций (erf и erfc) и то, что одни комплексные функции могут переходить в другие. Но главное - ты метод не зря освоил, ибо, судя по всему все ответы получены похожим способом, т.е. тем, который я здесь описал.