геометрия,доказательсво

[.пристрастие]

Помогите пожалуйста доказать,что
AK1+AM1=BK2+BM2,если
треугольник равнобедренный,
надеюсь по рисунку понятно.
очень нужна ваша помощь.
(даны указания)

@темы: Планиметрия

Comments

[liric]

возможно, пригодиться, что угла с взаимоперпендикулярными сторонами равны(или дополняют друг друга до 180 градусов)

[3DSpaceinvaders]

не уверена, но вроде доказывается через образовавшиеся прямоугольные треугольники или прямоугольную трапецию.
например , если провести высоту,то высота будет проходить через пересечение прямых AM1 и BK2. и делит(вот там треугольничек в середине) на 2 равных прямоугольных треугольника. значит что гипотенузы этих прямоугольных треугольников равны ,так же и катеты.отсюда следует, что точки А и В лежат на одинаковых расстояниях от проведенной высоты.
И раз треугольник равнобедренный, то проведенный перпендикуляры к этим точкам будут тоже равны между собой.
А по скольку перпендикулярные прямые параллельны друг другу,то видно 2 прямоугольные трапеции,которые по всем измерениям равны так же между собой.
отсюда и получается что AK1+AM1=BK2+BM2 равно между собой.

Изменяюсь если это полный бред, но я так понимаю эту задачу,ведь она на логику и строгих доказательств не требует, вроде ))

[.пристрастие]

3DSpaceinvaders у тебя всё правильно сказано,только вот точки А и В взяты произвольно,и если прочертить высоту,они не будут ровны-треугульники

[3DSpaceinvaders]

чувствуй.меня
ну тогда если высота совпадет с точкой пересечения BK2 и AM1, то тогда рвенство AK1+AM1=BK2+BM2 верно, а если нет то обратное. ^^
так получается чтоль.

[Adjirranirr]

Еще можно через подобие треугольников вывести следующий набор равенств:
AK₁·BN – AK·BM₂ = 0;
AM₁·BK – AN·BK₂ = 0;
AM₁·BN – AN·BM₂ = 0;
AK₁·BK – AK·BK₂ = 0.
Если их все сложить, то после преобразований получится равенство (AK₁ + AM₁)(BN + BK) – (BK₂ + BM₂)(AN + AK) = 0. Так как AN + AK = BN + BK = KN ≠ 0, то можно сократить, и получить равенство (AK₁ + AM₁) – (BK₂ + BM₂) = 0 <=> (AK₁ + AM₁) = (BK₂ + BM₂).

[.пристрастие]

Adjirranirr идея хорошая,только вот не совсем понятны первые шаги,умножение это...
видемо мы такое ещё не проходили

[Adjirranirr]

Умножение не проходили? =)

Поясню первый шаг, например.
Треугольники AKK₁ и BNM₂ подобны по двум углам (один прямой, другие равны как углы при основании равнобедренного треугольника). Поэтому их соответствующие стороны пропорциональны — т.е., AK₁/AK = BM₂/BN. Умножая это равенство на BN·AK, получим AK₁·BN = BM₂·AK. Или же, AK₁·BN – BM₂·AK = 0. (Можно кстати и не переносить и оставить все равенства как AK₁·BN = BM₂·AK; тогда в итоге, после суммирования четырех равенств, получится сразу (AK₁ + AM₁)·(BN + BK) = (BK₂ + BM₂)·(AN + AK))

Точно так же получаются остальные 3 равенства.

[Adjirranirr]

А причем здесь, кстати, математическая логика?)

[Robot]

Мне кажется, что здесь лучше через площади
Обозначим боковую сторону а
Тогда площадь всего треугольника с одной стороны как сумма площадей треугольников KLB и BLN равна
(1/2)*а*(ВК2+ВМ2)
С другой стороны она же (1/2)*а*(АМ1+АК1)

[mpl]

Владелец дневника видит IP-адреса пользователей, оставивших комментарии!