Помогите разобраться с диффурой плс

[Romey]

Помогите, плз, разобраться с решением диффуры:

(для облегчения копипаста: (1-x^2)y''-xy'=2 )

Пробовал брать подстановку р=у', и решать как линейное первого порядка, но выходит какая-то ересь с интегрированием. Имеет значимость до послезавтрашнего утра.

 

P.S. spiny.at.org/~cola/tex2img/ - а здесь можно переносить строку чтобы вписывать многострочные решения? вчера хотел воспользоваться, но к счастью разобрался сам.

вообще у меня матика всегда легко шла, что в школе, что в первом семестре, а тут видимо налетел на потолок...

@темы: Дифференциальные уравнения

Comments

[Robot]

Вообще-то указанная Вами подстановка традиционна.
Вот здесь, например, пункт 2
www.ostu.ru/vzido/resurs/matem/marketing/2semes...
y'=z(x)
(1-x^2)z'-xz=2
z'-[x/(1-x^2)]*z=2/(1-x^2)
И далее метод Бернулли - пробовали?
(метод Бернулли www.ostu.ru/vzido/resurs/matem/marketing/2semes...)
==
насчет

spiny.at.org/~cola/tex2img/

не знаю
Я вообще-то набираю в Worde с помощью редактора формул - так легче получается

[Robot]

Если решали именно так и трудности именно с взятием интеграла, то давайте разбираться вместе.

[Adjirranirr]

Maple говорит по этому поводу

вот что:

вот что:

Я же считаю, что будет

вот так:

вот так:
y(x) = arcsin²(x) + C₁·arcsin(x) + C₂

Это одно и то же, или кто-то неправ?

[Robot]

У меня арксинусы получались, но немного не так, но я делала начерно и не до конца.
У тебя чему равняется z=y'?

[Robot]

Adjirranirr
Пересчитала. Да, все как у тебя.

[Robot]

Меня знаешь, что мучает.
Когда мы решаем уравнение
∫dv/v=(-1/2)∫d(1-x^2)/(1-x^2), то получаем
ln|v|=(-1/2)ln|1-x^2|
И вот как быть с модулями?
Я считала, сняв их вообще и получив v=1/sqrt(1-x^2) (отсюда потом и будет арксинус).Но правомерно ли это?

[Adjirranirr]

У тебя чему равняется z=y'?

z = (2arcsin(x) + A)/sqrt(1 – x²) = arcsin'(x)(2arcsin(x) + A)

По поводу модулей:

По поводу модулей:
|a| = b <=> a = ±b

|v| = |1 – x²|^–0,5 = 1/sqrt(|1 – x²|). Решаем, видимо, только в поле действительных чисел, поэтому
|v| = 1/sqrt(1 – x²) <=> v = ±1/sqrt(1 – x²)
Тогда
u' = ±2/sqrt(1 – x²)
u = ±2arcsin(x) + A, и
uv = [±1·(2arcsin(x) + A)]·[±1/sqrt(1 – x²)] = (±1)²(2arcsin(x) + A)/sqrt(1 – x²) = (2arcsin(x) + A)/sqrt(1 – x²) = y'_x

[Robot]

Adjirranirr
Да, z у меня такой (только я не переходила к arcsin'(x))
А с модулями значит и правда нужно было рассматривать два случая.
====
1/sqrt(|1 – x^2|)=1/sqrt(1 – x^2)
Вот это место мне по-прежнему не нравится. (дело в том, что в принципе можно ведь рассматривать и на промежутке (-∞, -1)∪(1, +&infin Тогда 1/sqrt(|1 – x^2|)=1/sqrt( x^2-1). Но это сильно усложняет решение и вообще не знаю, как тогда ответ записывать, и никогда такое не встречала). Так что , наверное, ничего не сделаешь.

[Adjirranirr]

А ведь и правда,

А ведь и правда,
y(x) = –ln²(x + sqrt(x² – 1)) + A·ln(x + sqrt(x² – 1)) + B = –arch²(x) + A·arch(x) + B
тоже является решением...

Видимо, надо рассматривать два случая.

[Robot]

Adjirranirr
Я этот случай не просчитывала. Что-то общее есть с решением Maple.
Но как тогда быть с промежутками?
Ты встречал когда-нибудь ситуацию, чтобы ответ записывался по-разному в зависимости от промежутков?
И еще. Тогда уж надо рассматривать и случаи х=±1 (потому что мы делили в предположении, что 1-x^2≠0)
(Утро вечера мудренее. У тебя уже, наверное, светать скоро начнет)

[Romey]

Сорри, что не отмечался, честно говоря даже не ожидал ответа сегодня.
Да, решал так. Проглядел одну некритическую ошибку в решении и не додумался до перехода к арксинусам...
Теперь, конечно, все понятно, спасибо вам огромное))) Особенно за комментарии про модули, почти все понял, кроме последнего комментария Robot. Завтра попробую перечитать на свежую голову.

P. S. Да, завтра тем более будет над чем подумать)

[Romey]

P. P. S. Понял все, кроме этого: откуда этой строчке появился первый минус? Ну и функция arch - непонятно что это и откуда взялось, но думаю мне это и не нужно)
y(x) = – ln2(x + sqrt(x2 – 1)) + A·ln(x + sqrt(x2 – 1)) + B

[Adjirranirr]

Первый минус, первый минус... Щаз объясню.

Предположение — x ∈ (–∞; –1) U (1; +∞
Тогда |1 – x²| = x² – 1.

|v| = 1/sqrt(x² – 1) => v = ±1/sqrt(x² – 1);
u'v = 2/(1 – x²) = –2/(x² – 1)
u' = [–2/(x² – 1)]/[±1/sqrt(x² – 1)] = ∓2/sqrt(x² – 1);
u = ∓2·∫dx/sqrt(x² – 1) = <тра-та-та> = ∓2·ln(x + sqrt(x² – 1))
uv = (∓2)·(±1)·ln(x + sqrt(x² – 1))·ln'(x + sqrt(x² – 1)) = –2ln(x + sqrt(x² – 1))·ln'(x + sqrt(x² – 1))
...

Функция ArCh(x) — ареакосинус, гиперболический арккосинус, etc.

[Romey]

Блин, точно, потерял его просто... Спасиб.

[Robot]

Romey
dxdy.ru/topic183.html#901

spiny.at.org/~cola/tex2img/ - а здесь можно переносить строку чтобы вписывать многострочные решения?

Я вчера посмотрела хэлп по math и TEX на форуме dxdy: dxdy.ru/topic183.html#901
В общем, я сама, когда пользуюсь spiny.at.org/~cola/tex2img/, использую MathMode (ставлю там галочку)
И в этом режиме там по-видимому переносить нельзя.
Но если этот режим отключить и обрамлять формулы $$ на каждой строчке, то получаются многострочные формулы
Пример:

Вбивается так:
$$x^2-1$$
$$\sqrt{x-1}$$
$$log_2(x^3+x^2-1)$$

[mpl]

Владелец дневника видит IP-адреса пользователей, оставивших комментарии!