C5 - вторая волна, привет

[devromik]

Выяснить, при каких значениях х, f ( f ( x ) ) = x;

f( x ) = 4 * 7^( x - 4 ) + 3, при х <= 5;
f( x ) = 3 * ( х - 3 ) / ( х - 4 ), при х > 5;

Решил его, думаю. По крайней мере f ( f ( x ) ) у меня действительно х, что хорошо. Решение выкладывать не буду, пока. Хочу посмотреть, кто и как бы его решил, если этот некто захочет, конечно.

@темы: ЕГЭ

Comments

[devromik]

Кстати - пригодится тем, кто будет сдавать это в резервный день. Так что нужно, если чо.

[Trotil]

Я сейчас попробую решить и сверимся с ответом )

[devromik]

Ай-ай. Прости меня. Там 7 в степени ( х - 4 );

[devromik]

Задание С3, к слову, было точно таким же, как и в заданиях первой волны. Абсолютно. Поэтому хочу поблагодарить тех, кто выложил его решение на pedsovet, и конечно же местную аудиторию. Вы мне очень помогли, я вас никогда не забуду. Аминь.

[Trotil]

Мда.
В исправленном варианте вроде как проще...

[devromik]

Ну да, проще. Типа первая функция на промежутке ( -бесконечность : 5 ] является монотонной, возрастает, и достигает максимума в граничной точке 5, который равен 31. Считать его легче, это да. Ну прости, ошибся, с кем не бывает.

А что там у тебя с решением? ( ждём робот? )

[Trotil]

Пока нашел один корень: x=4. (Отрезок (3.75;5) )

f( x ) = 4 * 7^( x - 4 ) + 3, при х <= 5;
f( x ) = 3 * ( х - 3 ) / ( х - 4 ), при х > 5;

f(f(4)) = f(4+3) = f(7) = 3*4/3 = 4

Есть и другие.

[Trotil]

Второй корень: 7/2+(1/2)*sqrt(13) ~ 5.3 (Из промежутка (5;5.5) )

f(f(7/2+(1/2)*sqrt(13))) = f(7/2+(1/2)*sqrt(13)) = 7/2+(1/2)*sqrt(13)

Интересная неподвижная точка

Осталось исследовать один промежуток...

[Trotil]

Да, на промежутке (5.5;+inf) тоже нашел корень: 7

f( x ) = 4 * 7^( x - 4 ) + 3, при х <= 5;
f( x ) = 3 * ( х - 3 ) / ( х - 4 ), при х > 5;


f(f(7)) = f(4) = 7.

О, так это получается 4 -> 7 -> 4 -> 7... Забавно

Блин. Следовало бы догадаться, что так и должно быть, а не исследовать...

[devromik]

Ты крут!

[Trotil]

devromik

А ты?

Я так понял из первого сообщения, что ты нашел только один корень. Мне интересно, какой?

[devromik]

Я? Нет, не крут.

Этот корень, о котором ты говоришь равен 7. Кроме того, я нашёл ещё один "корень", который на самом деле таковым не является: -1; Тогда я почему-то его не проверил, ну стресс наверное. А решал я вообще самым тупым образом, который возможно придумать ( естественно это неправильно, но мне больше ничего не пришло в голову - я такой математикой не занимаюсь ): исследовал обе функции, доказал что одна из них сразу не нужна тут, а потом, ты только не смейся, мне почудилось, будто:

f ( f ( x ) ) = x,

То есть эти функции равны. В предположении, что для каждой из них существует обратная ( а для f( x ) = 3 * ( х - 3 ) / ( х - 4 ) таковая существует ), я нашёл результат этой обратной функции. Для f ( f ( x ) ) он, очевидно, равен f ( x ), а x в правой части - это обратная по отношению к f ( x ) функция от аргумента у = f ( x ). Получилось квадратное уравнение, корни которого нашлись очень легко, что и подтолкнуло меня признать этот вариант правильным. И, как не странно, один из корней оказался правильным, а второй, почему-то, не очень. Если ты не понял, как я решал, могу расписать по подробнее.

И, кстати, если считать, что первая функция не нужна, то мы рассматриваем только те значения х, которые
>= 5.
Следовательно, -1 отпадает.
Следовательно, остаётся 7;

Если что - не смейся. А расскажи мне как решал ты, просто мне хочется знать, как решать подобные задачи.

[devromik]

В своём предыдущем посте, который мне запретили редактировать полчища модераторов, я имел ввиду, что:

f ( f ( x ) ) = x <=>
f^( -1 )( f ( x ) ) = f^( - 1 )( x ) <=>
f ( x ) = f^( - 1 )( x );

f^( - 1 )( x ) = x * ( x - 4 ) / 3 + 3;
3 * ( х - 3 ) / ( х - 4 ) = x * ( x - 4 ) / 3 + 3;
( В каких точках пересекаются отображения 3 * ( х - 3 ) / ( х - 4 ) и x * ( x - 4 ) / 3 + 3 )
Они ( f(x) и обратная по отношению к ней функция пересекаются в двух точках: -1 и 7 )
-1 не рассматриваем, ввиду области определения 3 * ( х - 3 ) / ( х - 4 ).
Остаётся 7;

Естественно, предполагая, что и f ( f ( x ) ) и f ( x ) - биекции.

[Trotil]

Так, я по-другому решал.

Для удобства

f( x ) = 4 * 7^( x - 4 ) + 3, при х <= 5;
g( x ) = 3 * ( х - 3 ) / ( х - 4 ), при х > 5;


Сначала исследовал f(x) и g(x)

Обнаружил, что
1) f(x) > x

следовательно f(f(x)) ! = x

f(x) = 5 - > x ~ 3.64

x < 3.64 - решений нет

2) При 5 < x < 5.5 g(x) переходит в g(x), причем g(g(5) = 4.5 и g(g(5.5)) = 6
g(g(x) - непрерывна - значит есть корень.


3) При 3.64 < x < 3.75 получается g(f(x)) = g (5 > x > 5.5) > 5 - отбрасываем (в принципе не обязательно было уточнять этот промежуток)

4) При 3.75 < x < 5 значение g(f(x)) будет 5 > g(f(x)) > 3.11 - есть один корень
5) Аналогично при 5.5 < x < 8.66 есть один корень.

6) x > 8.66 корней нет, т.к. f(g(x) < 5 получается.


Потом собираются уравнения и решаются обычным способом.

[devromik]

Спасибо.

При исследовании функции, я сначала доказал, что первая функция ( у тебя f ) монотонно возрастает на всей D( f ). Значит, она непригодна. Потом проанализировал g. Ну а дальше - ты знаешь (;


P.S: Я немного подправил предыдущий пост. Там теперь немного больше информации о моём решении.

[Trotil]

монотонно возрастает на всей D( f )

Возьмем f(x) = x - функция монотонно возрастает.

Она не пригодна?

[devromik]

Она не пригодна?

Да? А что возрастает быстрее? (;


Немного расскажу об остальных заданиях. Может кто будет сдавать 31, пригодится. Про С3, С5 уже рассазал. С1 - изменили. Теперь там надо было не исследовать функцию, с целью нахождения экстремума ( в зависимости от условия надо было найти минимум или максимум ), а сравнить функцию f ( x ) = ( не помню, честно. Но во всех вариантах - это была функция, после некоторых преобразований - квадратичная, в формате ax2 + bx + c ) в двух точках. Мои точки: 3,4357 и 3,4355. Решение ( это тем, кто будет сдавать ): график функции - парабола, ветви которой куда-то направлены ( у меня вверх ). Следовательно, вам нужно найти корни уравнения ax2 + bx + c = 0 и посмотреть на поведение f в окрестности, содержащей обе точки. У меня такой окрестностью был промежуток [ -1; 7 ]. Кстати, заметьте как этот промежуток совпадает с моим решением С5. Функция на этом промежутке, например, убывает. Значит, f( 3,4357 ) > f( 3,4355 ); C2. Там было тригонометрическое уравнение. Подобное уравнение было и в заданиях первой волны. Что касается частей A и B; Часть а - изменили 1 задание, но это не страшно. В части B, эти очень умные, изменили где-то 3 задания. Задача и геометрия остались те же. Поменяли B4 - теперь там не нужно применять формулу произведения синусов/косинусов - там совершенно другая задача.

[devromik]

Смотри. f^(-1 ) меньше x в точке 5. Убывает быстрее. Это значит, что она не равна х ни при каком х, очевидно. Это, примерно, как рассуждал я.

( f - это первая функция, в данном случае )

Где я не прав?

[devromik]

Я ни на что не претендую, мне просто интересно - я заблуждаюсь или нет. Пойми, я нервничаю, так как у меня последний шанс поступить. Вот и хочу узнать, могут ли мне хотя бы 1/2 балла поставить. Кстати, не скажешь, сколько примерно баллов будет, если решена вся часть А, все, кроме 3-х заданий часть В и С1, C2, C3 ( тут может быть 2-3 балла ) и С5 в таком виде. Заранее Спасибо за ответ.

[Trotil]

До завтра мой ответ потерпит?

Я тут параллельно другими вещами занимаюсь, а то, что ты написал - нужно хорошенько обмозговать

[devromik]

Конечно. (;

[Robot]

У меня случаев поменьше почему-то получается
И вообще чует мое сердце, что можно как-то проще

[Robot]

devromik
Спасибо за информацию
Насчет оценивания - проверять где будут? Как и первую волну?
Тогда 1/2 балла не поставят, либо 0, либо 1.
Вообще-то вторую волну по опыту прошлых лет оценивают жестче, чем первую. То есть можно решить больше задач, чем в первой волне, а получить такое же или даже меньшее количество баллов. Но здесь тебе никто не скажет, сколько у тебя получится. Это совершенно сейчас непредсказуемо.

[devromik]

Ну кто же сравнится с Robot (;

Но мне, субъективно, кажется, что решить квадратное уравнение - проще, чем сложносочинённые дроби вкупе с логарифмами. Но твой вариант больше похож на стиль демонстрационных вариантов госэкзамена, и скорее всего так и надо было решать.

Тогда 1/2 балла не поставят, либо 0, либо 1.

Это не правильно, я думаю. Но наверное это так. А что касается 0 баллов - так это предсказуемо, но не справедливо, в любом случае. Ведь объективно, я обосновал решение, и оно возможно, уже хотя бы потому, что приводит к правильному ответу. Я не думаю, что это совпадение. Правда я написал в ответе ещё один корень, и формально это неправильное решение. Заканчиваю болтать, всё же не то сообщество, чтобы чесать языком. Просто нервничаю - поймите.

Насчет оценивания - проверять где будут? Как и первую волну?

Вроде да. И результаты обещают поскорее - завтра.

[Robot]

devromik

Ведь объективно, я обосновал решение, и оно возможно, уже хотя бы потому, что приводит к правильному ответу.

Ты получил корень, рассматривая случай f(f(x))=f2(f2(x)) (это вообще-то соответствует промежутку (5;5,5)
Что-то мне кажется, что ты неправильно нашел обратную для у=3(х-3)/(х-4)=3+3/(х-4)
Обратная будет у=4+3/(х-3)
f ( x ) = f^( - 1 )( x )
3+3/(х-4)=4+3/(х-3)

Просто нервничаю - поймите.

Господи, конечно, мы понимаем..
Напиши, как узнаешь результаты

[Trotil]

Разобрался в решения.
Доля истинности в нем есть

Но оно работает только в том случае, когда мы действуем одной функцией g. Как заметила Robot, это соответствует случаю (5,5.5)

Что-то мне кажется, что ты неправильно нашел обратную для у=3(х-3)/(х-4)=3+3/(х-4)

Да, неправильно. См. скриншот.




Используя такую технику, можно найти корень на промежутке (5,5.5).

А комбинируя обратные для f и g (всего 4 случая, правда можно f(f(x)) отбросить) - получим три уравнения, каждое дает нам по одному корню.

Например g ^ (-1) (x) = f (x) дает корень x=4

[Trotil]

Фактически, это просто способ решения уравнения g(g(x) = x, f(g(x) = x и т.д.
Вместо того, чтобы комбинировать из двух функций одну и приравнивать ее к "x", здесь используется техника обратных функций - записать вместо g(g(x) = x выражение g ^ (-1) (x) = g(x) - они равносильны на промежутках монотонности.

Тогда 1/2 балла не поставят, либо 0, либо 1.

Наверное, ближе к нулю...
Про промежутки ничего не сказано
Обратная функция найдена неверно...
Только исследовал функции, но никак этим фактом не воспользовался.

[Robot]

Я вот еще подумала - а может можно вообще обойтись без промежутков?
Рассмотреть все комбинации f(f(x))=x, f(g(x))=x, g(f(x))=x, g(g(x))=x ( в обозначениях Тротила) Найти все возможные корни и проверить их постановкой

[Trotil]

Robot

Не все комбинации имеют аналитическое решение.
Там придется доказывать единственность решения. (что других корней быть не может)

[Robot]

А в моем решении так и получается (единственность доказывается, исходя из того, что одна из частей уравнения представляет возрастающую, а другая убывающую функцию, и все равно делается проверка)