Дифуры

[miss inconstancy]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, с РГР по матанлизу (1 курс).

1

1.

2

2.

По поводу 2ого задания были мысли, но что-то не получается..

а)дошла до интеграла и никак не могу его взять..

б)ну.. почему-то ответ не сходится.. где ошибка?

кстати, а вот у(1)=1 вообще для проверки дают или еще зачем-то??

3

3.

@темы: Дифференциальные уравнения

Comments

[lvenochekk]

у(1)=1 вообще для проверки дают или еще зачем-то??

нет, это дается для того,чтобы решить задачу Коши. Т.е. ты найдешь решение уравнения с произвольной постоянной С, и для того,чтобы найти С, тебе дают это условие. Позже посмотрю что там у тебя получается-сейчас немного поработаю только(если к этому времени не помогут)

[Adjirranirr]

Интеграл a) (2), который ∫dx/(x^2 * e^(1/x)) = [a = -1/x, da = 1/x^2] = ∫da/e^-a = ∫da e^a = e^a = e^(-1/x)

Не забывайте про постоянные интегирования.

В б) у Вас ошибка, там где "W" в кружочке: db/dx = -ln(x)/x^2 => db = -ln(x)dx/(x^2) => b = ln(x)/x + 1/x. Ну и соотвественно дальше.

[lvenochekk]

по поводу третьего (в и г) посмотрите тут
www.ostu.ru/vzido/resurs/matem/marketing/2semes...
это линейное неоднородное ДУ с постоянными коэффициентами 4-го порядка. Правда по этой ссылке рассматривается второго порядка, но это не очень важно. задавайте вопросы, если будет непонятно.

[lvenochekk]

в третьем а) делаете замену y"=z, получаете линейное неоднородное уравнение, его решаете(не забывайте про константы!), далее получаете уравнение вида y"=z(x). и интегрируете полученное 2 раза. Получаете ответ. решите-пишите ответ-сверимся.

[Robot]

В 3а) ввести замену y''=z
Тогда xz'+z=sqrt(x)
z'+(1/x)z=1/sqrt(x)

[Robot]

lvenochek_84
Ой, пока набирала - совет дан)

[lvenochekk]

Robot

[Robot]

Зад 1 Уравнение в полных дифференциалах
Теория тут
www.ostu.ru/vzido/resurs/matem/marketing/2semes...

(кстати, сперто у Рябушко том 2)

[miss inconstancy]

lvenochek_84 3(в):
собственно, у меня возник вот какой вопрос.. что дальше делать? там же, наверное, Унеоднор.=Уоднор.+Участн. ??
вот то, что сделала:

[miss inconstancy]

Adjirranirr, lvenochek_84

Интеграл a) (2), который ∫dx/(x^2 * e^(1/x)) = [a = -1/x, da = 1/x^2] = ∫da/e^-a = ∫da e^a = e^a = e^(-1/x)

с этим разобралась, спасибо) вот подставила его в уравнение, и получилось, что у=х^2.

Не забывайте про постоянные интегирования.

это значит, что надо так: у=х^2+С ? а потом? у(1)=1.

того,чтобы найти С, тебе дают это условие

это значит, что 1=1*1+С? т.е. С=0? такое может быть? и что будет решением задачи Коши?

[Robot]

miss inconstancy3в)
Неправильно к1 к2 записали
к1=2+2i
k2=2-2i

Так как правая часть спец. вида, то Участн=e^x(Acosx+Bsinx)
Далее методом неопределенных коэф. находим А и В

[miss inconstancy]

Robot это ведь вот этот случай получатся?
ну, тогда по этой табличке А=2 и В=2.. т.е. там описка.. если оно так, конечно)

[miss inconstancy]

Adjirranirr

В б) у Вас ошибка, там где "W" в кружочке: db/dx = -ln(x)/x^2 => db = -ln(x)dx/(x^2) => b = ln(x)/x + 1/x. Ну и соотвественно дальше.

ага, я мастер глупых ошибок))
получилось, что у = 1/(lnx+1).. тот же вопрос.. что делать с С и про Коши.

[Adjirranirr]

miss inconstancy
2 а), система, пункт (1) - Вы приравниваете слагаемое к нулю, получается d ln[sqr(x) exp(1/x)] = d ln[u] => u = A sqr(x) exp(1/x), A ≠ 0
Этот результат подставляете в пункт (2), т.е. dv = dx/(A sqr(x)exp(1/x)) = 1/A dx/(sqr(x)exp(1/x)) => v = 1/A exp(-1/x) + B
Подставляя в разложение y = uv, получаем y = AB sqr(x)exp(1/x) + sqr(x)exp((x-1)(x+1)/x)
y(1) = 1
AB sqr(1)exp(1) + sqr(1)exp(0) = AB e + 1
AB e = 0
AB = 0
y = x^2

2 б) Принцип тот же, в кружочке (1) - d ln[a] = d ln[x] => a = Cx
Cxb' = -ln[x]/x
b = ∫dx/(C x^2 * e^(1/x)) = 1/C ∫dx/(x^2 * e^(1/x)) = 1/C e^(-1/x) + D
Дальше подставляете и решаете.

Хотя, навсякий случай дождитесь более авторитетного мнения того, кто шарит в этом больше)

[Robot]

miss inconstancy
3в)
Табличка относится к нахождению общего решения однородного уравнения
Так как k1,2=2+-2i, то Уоднор=e^2x(C1*cos2x+C2*sin 2x) (как у Вас)
Теперь надо найти частное решение
Участн=e^x(Acosx+Bsinx)
Надо найти У'частн, У''частн, подставить в уравнение и отсюда найти А и В
Дочитайте до конца по ссылке, которую дала lvenochek_84

[lvenochekk]

miss inconstancy получилось все?

[miss inconstancy]

Adjirranirr А, В - в 2(а) и С,D - в 2(б) и есть константы? а почему на первую умножаем, а вторую прибавляем?
и непонятно, как получилось

y = AB sqr(x)exp(1/x) + sqr(x)exp((x-1)(x+1)/x)

у меня получается, что
y=uv
у= A*sqr(x)exp(1/x) * (1/A*exp(-1/x)+B) =(А*1/А)exp(1/х-1/х)sqr(х) + АВ*sqr(x)exp(1/x) = sqr(х) + АВ*sqr(x)exp(1/x)

[miss inconstancy]

lvenochek_84

получилось все?

нет, еще в процессе))
к вам вот какой вопрос. и к Robot тоже)

В 3а) ввести замену y''=z
Тогда xz'+z=sqrt(x)
z'+(1/x)z=1/sqrt(x)

это понятно, но как их разделить? получается, во втором слогаемом х и z вместе..

[lvenochekk]

не поняла вопроса...в смысле-разделить?

[lvenochekk]

z'+(1/x)z=1/sqrt(x) - это уравнение подобно 2а, также ищете решение как произведение z=uv

[Adjirranirr]

3а)
z' + z/x = 1/sqrt(x)
dz/dx + z/x = 1/sqrt(x)
(x·dz + z·dx)/xdx = 1/sqrt(x)
x·dz + z·dx = sqrt(x)dx
d(xz) = sqrt(x)dx
xz = ∫sqrt(x)dx = ∫(x^1/2)dx = 2/3 · x^(3/2)
z = 2/3 · sqrt(x)

В 2а и б - A, B, C, D - константы, с рассчетами я ошибся, забыл про то, что там не x, а 1/x. Т.е. у Вас получается правильно, а AB все равно = 0, и y = sqr(x)
На первую умножаем, потому что
d ln[u] = d ln[sqr(x) exp(1/x)] (lnA - константа, дифференциал нулевой, т.е. такая запись допустима с учетом неравенства нулю)
∫d ln[u] = ∫d ln[sqr(x) exp(1/x)] = ln[sqr(x) exp(1/x)] + F; F = ln[exp(F)] = ln[const] = lnA
ln[u] = ln[sqr(x) exp(1/x)] + ln A
u = A·sqr(x) exp(1/x)

[lvenochekk]

Adjirranirr позвольте не согласиться с решением..все-таки это линейное неоднородное уравнение...поэтому таким способом, как Вы показали его решать нельзя.

[Adjirranirr]

Нельзя?) Очень жаль. Получается красивое короткое решение и верный ответ, без лишних записей, замен и пр.

[lvenochekk]

ну ответ не совсем верный..теряется одно слагаемое. ответ z=2/3 sqrt(x)+c/x

[lvenochekk]

и теперь этот ответ интегрируем 2 раза

[lvenochekk]

miss inconstancy можете выложить, что получается теперь у вас во втором задании (в а) и б))?

[Adjirranirr]

lvenochek_84
Да, и правда, забыл константу. Яхужефсехяхужефсехяхужефсех...
Все равно в 3а) должно получиться y = 8/45 · x^(5/2) + Cx·lnx + Dx.



miss inconstancy
В 2б) в правой части равенства y'lnx или все-таки y^2 lnx, как Вы решали?

[miss inconstancy]

Adjirranirr

можете выложить, что получается теперь у вас во втором задании (в а) и б))?

в а) получилось у= sqr(х) + АВ*sqr(x)exp(1/x)
потом подставлять у(1)=1?
1= 1*1 + АВ*1*1*exp(1/1)
1= 1+АВ*е
АВ*е=0
АВ=0
у=sqr(х)

в б): а=Ах
тогда
b=ln(x)/(Ax)+ 1/Ax + B
v=ab = Ax*(ln(x)/(Ax)+ 1/Ax + B) = ln(x)+1+B
y= 1/v = 1/(ln(x)+1+B)
y(1)=1
1= 1/(ln(1)+1+B)
1= 1/(1+B)
B=0
а как быть с А? получается от нее ничего не зависит?
у= 1/(ln(x)+1)

[Adjirranirr]

в 2 б)
a = Ax
b = ln[x]/Ax + 1/Ax + B
v = Ax(ln[x]/Ax + 1/Ax + B) = ln(x) + 1 + ABx
y(1) = 1
1/y(1) = v(1) = 1
v(1) = ln(1) + 1 + ABx = 1
ABx = 0
v = ln(x) + 1
y = 1/[ln(x) + 1]

2а) вроде правильно. Ответ у меня получился такой же. Энивей, подставьте в исходное уравнение и проверьте - должно сойтись.

[miss inconstancy]

Adjirranirr ну 2(а) явно сходится, а вот в 2(б)..
xy' + y = y^2 ln(x)
x*(1/(lnx+1))' + 1/(ln(x)+1) = ln(x)/(ln(x)+1)^2
(1/(lnx+1))' = (ln(x)+1-1/x)/(ln(x)+1)^2 = (x* ln(x)+ x-1)/x*(ln(x)+1)^2)
x*ln(x)+x-1+lnx-lnx=0
x*ln(x)+x-1=0
эээ... а оно равно нулю?