Дифуры

[miss inconstancy]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, с РГР по матанлизу (1 курс).

1

1.

2

2.

По поводу 2ого задания были мысли, но что-то не получается..

а)дошла до интеграла и никак не могу его взять..

б)ну.. почему-то ответ не сходится.. где ошибка?

кстати, а вот у(1)=1 вообще для проверки дают или еще зачем-то??

3

3.

@темы: Дифференциальные уравнения

Comments

[Adjirranirr]

y' = [1/(lnx + 1)]' = (lnx + 1)' · -1/(lnx + 1)^2 = -1/x(lnx + 1)^2
xy' + y = y^2 ln(x)
-1/(lnx + 1)^2 + (lnx+1)/(lnx + 1)^2 = lnx /(ln(x) + 1)^2
(lnx + 1 - 1)/(lnx + 1)^2 = lnx /(ln(x) + 1)^2
По-моему, правильно)

[miss inconstancy]

lvenochek_84

z'+(1/x)z=1/sqrt(x) - это уравнение подобно 2а, также ищете решение как произведение z=uv

помогите, пожалуйста, с интегралом

[Adjirranirr]

∫sqrt(x)exp(x)dx не берется в элементарных функциях...

[Adjirranirr]

А куда Вы 'x' дели в 7 строке сверху?

[miss inconstancy]

Adjirranirr аа.. сейчас попробую исправить))

[Robot]

miss inconstancy
Там в правой части в 7-восьмой строчке сверху 1/sqrt(x)

[miss inconstancy]

теперь интеграл вообще не вычисляется(( или, может, опять ошибка где-то?
надеюсь, хоть как-то видно

[miss inconstancy]

Robot спасибо, еще раз исправлю))

[Adjirranirr]

Интеграл от ∫xdx, кстате, равен x^2/2 + C =)

[miss inconstancy]

опять неправильно? что-то же не так с этим интегралом.. или, может быть, тут константы не надо?

[Adjirranirr]

О5 неправильно.
Так.
xz' + z = sqrt(x)
z' + z/x = 1/sqrt(x)
[z = uv, z' = u'v + v'u]
u'v + v'u + uv/x = 1/sqrt(x)
v(u' + u/x) + v'u = 1/sqrt(x)
{u' = -u/x (1)
{v'u = 1/sqrt(x) (2)
(1): du/dx = -u/x
du/u = -dx/x
ln u = - ln Ax = ln 1/Ax
u = 1/Ax
(2):
v'u = 1/sqrt(x)
v'/Ax = A sqrt(x)/x
v' = Asqrt(x)
v = A∫sqrt(x)dx = A 2/3 x^3/2 + B

z = uv = (A 2/3 x^3/2 + B)·(1/Ax) = 2/3 sqrt(x) + B/Ax
y = ∬(2/3 sqrt(x) + B/Ax) dxdx= ∫(4/9 x^(3/2) + B/A ln(x) + C)dx = 8/45 x^5/2 + B/A∫ln(x)dx + Cx + D = 8/45 x^5/2 + B/A xlnx - (B/A)x + Cx + D = 8/45 x^5/2 + E x lnx + Fx + D.

Проверьте. /другой способ я выкладывал выше - если не забывать константы, то тот же результат получится гораздо быстрее и изящней. Хотя говорят, что это неправильно)/

[Robot]

Вроде все так
Только обычно полагают при нахождении u А=1

[miss inconstancy]

А как вычислить ∫ln(x)? У меня в таблице интегралов его нет..
с остальным разобралась))

[Adjirranirr]

А как вычислить ∫ln(x)?

Будем интегрировать по частам.
∫ln(x)dx = [u = lnx; dv = dx; du = dx/x; v = x] = x·ln(x) - ∫x·dx/x = x·ln(x) - ∫dx = x·ln(x) - x.
Чтобы избежать ошибок, можно продифференцировать - (x·ln(x) - x)' = x'ln(x) + ln(x)'x - 1 = ln(x) + 1/x · x - 1 = ln(x) + 1 - 1 = ln(x) ∎

[miss inconstancy]

Adjirranirr понятно.. но почему тогда y = 8/45 x^5/2 + B/A xlnx - (B/A)x + Cx + D = 8/45 x^5/2 + E x lnx + Fx + D. ? там же минус был:

x·ln(x) - x.

[Robot]

- (B/A)x + Cx

Эти слагаемые сгруппировали и ввели новую константуF

[miss inconstancy]

Robot понятно, спасибо))
в 3(б) запуталась..
y''-4y'+8y=e^x *(3sinx+5cosx)
характеристическое уравнение:
k^2 - 4k+8=0
D=16-31=-16
sqrt(D)=4i
k1=2+2i
k2=2-2i
y(общ.однор.)=е^2x(C1*cos2x + C2*sin2x)
pассмотрим f(x)=e^x *(3sinx+5cosx):
e^ax *[Pn(x)*cosbs+Qm(x)*sinbx]
a=1, b=1, Pn(x), Qm(x)
т.к. а не=0 и b не=0
у(част.неоднор.)=x^r * e^ax *[Nl(x)*cosbx + Ml(x)*sinbx]
Nl(x) и Ml(x) - многочлены степени l=max{n,m}, записанные с неопределенными коэффициентами
r равно числу корней зарактеристического уравнения
r=2

как дальше и что такое m и n?

[Robot]

miss inconstancy
m и n - степени многочленов, которые стоят множителями у синуса и косинуса
Перед sin x и cosx стоят числа 3 и 5 - это многочлены нулевой степени
Поэтому m=n=0 А значит, в выражении у(част.неоднор.)=x^r * e^ax *[Nl(x)*cosbx + Ml(x)*sinbx]
Около синуса и косинуса тоже будут стоять многочлены нулевой степени, то есть числа, которые пока нам неизвестны - обозначаем их А и В

r равно числу корней характеристического уравнения

Не совсем так
Оно равно числу корней характеристического уравнения, которые совпадают с числом z=a+bi=1+i
У нас ни один корень характеристического уравнения с z не совпадает, поэтому r=0
итого:
у(част.неоднор.)=e^x *[А*cosx + В*sinx]
А дальше

Участн=e^x(Acosx+Bsinx) Надо найти У'частн, У''частн, подставить в уравнение и отсюда найти А и В

[miss inconstancy]

Участн=e^x(Acosx+Bsinx)
Участн.'=e^x(Acosx+Bsinx)+e^x(Bcosx-Asinx)
Участн.''=e^x(Acosx+Bsinx)+e^x(Bcosx-Asinx)+e^x(Bcosx-Asinx)+e^x(-Bsinx-Acosx)
такие?

и потом эти длинные штуки подставлять в исходное уравнение??

[Robot]

miss inconstancy
Ну, я бы еще вынесла e^х, привела бы подобные.
Да, потом подставлять и приравнивать коэфф. в левой части и в правой при sin x и cosx

[miss inconstancy]

Участн=e^x(Acosx+Bsinx)
Участн.'=e^x(Acosx+Bsinx+Bcosx-Asinx)
Участн.''=e^x(Acosx+Bsinx+Bcosx-Asinx+Bcosx-Asinx-Bsinx-Acosx)=e^x(2Bсosx-2Asinx)
e^x(2Bсosx-2Asinx)-4e^x(Acosx+Bsinx+Bcosx-Asinx)+8e^x(Acosx+Bsinx)= e^x(5cosx+3sinx)

система должна получиться?
{2B-4А-4B+8А=5
{-2А-4В+4А+8В=3

[Robot]

Да, такая.
Только привести подобные в правых частях

[miss inconstancy]

А=13/10
В=1/10
Уобщ.неоднор.=е^2x *(C1*cos2x+C2*sin2x) + e^x *(1.3cosx+0.1sinx)
правильно?

[Robot]

Да
(Будем надеяться, что нигде не ошиблись)

[miss inconstancy]

Robot урааааа!) все, завтра с новыми силами за следующее))

[Adjirranirr]

Т.е. в уравнении 3б) получается, что
y = exp(2x)(A·cos2x + B·sin2x) + exp(x)(1.3·cosx+0.1·sinx)?

[Robot]

Adjirranirr
Вроде бы так... Если при подсчетах нигде не ошиблись
А что?

[Adjirranirr]

Нет, ничего, на третий раз сошлось=) Просто пытался проверить, и как-то не получалось равенство.

[Robot]

Adjirranirr
Мне тоже не очень нравится ответ..
Но я вроде прорешала независимо - все так

[miss inconstancy]

3(в). Я перепутала задание, там нужно решить задачу Коши.
y''+16y=16/sin4x, y(п/8)=3,у'(п/8)=2п
характеристическое уравнение:
k^2+16=0
k1=4i
k2=-4i
Уобщ.однор.=С1cos4x+C2cos4x
pассмотрим f(x)=16/sin4x:
f(x)=e^ax *[Pn(x)*cosbs+Qm(x)*sinbx]
a=0, b=4, Pn(x)=0, Qm(x)=16
т.к. a=0, частный случай:
f(x)=Pn(x)cosBx+Qm(x)sinbx=Qm(x)sinbx

а что делать, если sin4x в знаменателе?