[SatiriK(rus)]

Здравствуйте.
Сдавать РГЗ скоро, а задачку одну осилить не могу.

Нужно найти площадь поверхности и объем тела, полученного вращением кривой вокруг ости oy
y=sin6x на интервале от 0 до pi\6

График я построил, объем посчитал - П^2\12

Уравнение площади у меня получилось следующее:
S= 2П ∫ (от 0 до П\6) sin6x * корень( 1 + 36*cos^2 6x) dx
по сути, загвоздка только в решении интеграла =) слабовато я в них разбираюсь пока.
Привожу его до вида 12*П ∫ корень(1+36t^2) dt , где t = cos6x

Помогите, коль есть время.

@темы: Приложения определенного интеграла

Comments

[Trotil]

третья подстановка Чебышева должна сработать...
Или t=tg(p)/8

Но сразу просто не будет, придется покопаться...

[Robot]

Я вот смутно этот раздел представляю
Но ведь такая формула для площади поверхности вроде работает при вращении вокруг оси ОХ

[Trotil]

Я вот смутно этот раздел представляю

Я кстати тоже
Поэтому саму формулу не проверял

[SatiriK(rus)]

ай, точно! Спс! По y надо дифференцировать =D
А то я-то думаю, как-то не складно получается =) А так, вынести синус за знак дифференциала остается.

>.< 2 часа мучалсо в пустую

[Robot]

Кстати и для объема тогда посмотри на всякий случай.
И пределы другие

[SatiriK(rus)]

В смысле другие? Как для вращения по х, так и по у - одинаковые. Зависимость мы одну рассматриваем, только диференцируем по-другому, следовательно и площадь получаем другую, а там и объем.
Для объема - стандартно: V = П∫ (от а до б) (f(x))^2 dy
Правда опять в интегралах замутался XD

[Robot]

А разве не надо выражать х через у?
х=(1/6)arcsiny=f(y)
И пределы по у тогда от 0 до 1/2?
(учти, что я в таких задачах слаба)

[Trotil]

Robot

Существует отдельная формула вращения вокруг Ox и Oy (явный вид формул не помню)

А можно переобозначить переменные, и воспользоваться формулой для Ox вместо Oy, как ты сделала

[SatiriK(rus)]

Нет, если ты будешь выражать х через у, то получишь совсем другую кривую, взяв определенный интеграл которой получишь другую площадь, а там уже и объем другой будет.
Там получится обратная функция, дифференцируем ее по у, оставляя пределы интегрирования такими же, какими они и были, только переносим их с оси ох на оу.
Попробую еще так интеграл составить, авось пойдет дело.

[Robot]

[SatiriK(rus)]

помогла при разложении 12*П ∫ корень(1+36t^2) dt

[Robot]

SatiriK(rus)
Если ты в задании правильно написал про ось ОУ, то сейчас ты вычисляешь совсем не ту площадь и объем.
Фигуры разные
Посмотри скан выше
Рис. 190
Представь, что параболу ты вращаешь вокруг оси ОХ и вокруг оси ОУ - ведь разные тела.
Посмотри там х через у выражается

[Robot]

Это из Антидемидовича (тут интегрируется по dx, но под интегралом x*f(x))
А вообще не буду тебя путать - вы наверняка решали задачи на вращение вокруг оси ОУ, какие-то записи у тебя есть

[SatiriK(rus)]

=) Если честно, я ни на одной лекции по вышмату не был. Работа все время занимает.
А Ваши статьи очень даже в тему приходятся! Огромное спасибо!
Я просто сделаю все по оси ОХ, авось прокатит =D