Коробящий вопрос

[Pavlissimus]

Если теорема Лапласа, это отсекание строки и столбца по элементу, для упрощения нахождения определителя общей матрицы, то КАК находятся таким способом(или как?) определители странного рода матриц, вроде
или
Подозреваю, что к первому нужно подогнать свойства определителя вроде пропорциональности строк/столбцов, но я от передозировки кофе в упор общего множителя не вижу. Во втором случае так вообще нет никаких идей. Что значат пропуски во втором примере - для меня тайна покрытая мраком.
Кто что думает по способу нахождения определителя подобных этим матриц.

@темы: Линейная алгебра, Определители, Матрицы

Comments

[Robot]

Кто что думает по способу нахождения определителя подобных этим матриц.

В такое время уже не думается
Предлагаю скачать книгу Проскурякова Сборник задач по линейной алгебре

www.poiskknig.ru/cgi-bin/poisk.cgi?lang=ru&st=%...
(там куча ссылок)на стр. 28 книжного варианта 1984 года решение вашего первого определителя

[Trotil]

Вот здесь еще можно посмотреть доказательство:

www.intuit.ru/department/mathematics/algmatrix/...

[Robot]

Второй определитель устроен так - все его элементы, кроме элементов побочной диагонали равны 2, а по побочной диагонали стоят сверху вниз (справа налево) 1, 2, 3, 4, 5..., n-1,n
При вычислении подобных определителей надо их расписывать чуть подробнее

[Trotil]

Тупо нашел определители разных порядков:

n=2 |A|=2
n=3 |A|=2
n=4 |A|=-4
n=5 |A|=-12
n=6 |A|=48
n=7 |A|=240
n=8 |A|=-1440
n=9 |A|=-10080
n=10 |A|=80640

Потом полез сюда в поисках формулы: ссылка

Получается, что формула: 2*(n-2)! - без учета знака!

[Robot]

я еще подумаю завтра
Вообще там ответ [(-1)^(n^2-n+2)/2]*2*(n-2)!

[Trotil]

Преобразования:

1) Последний столбец умножаем на 2 и вычитаем его из всех остальных
2) Раскладываем определитель по первой строке (выносим (-1)^(n+1))
3) В A_(n-1) прибавляем последний столбец ко всем остальным
4) Выносим из последнего столбца двойку
5) Ракладываем определитель по первой строке (выносим (-1)^(n))
Получили антидиагональную матрицу из элементов 1,2,3,...(n-2) определитель которой (без учета знака) равен (n-2)!

(-1)^(n(n+1)) = 1

Итого: 2*(n-2)! * знак антидиагональной матрицы.

Исправлено: 4 апреля, в 14.30 MSK.

[Trotil]

А теперь про знак антидиагольной матрицы

(-1)^((n-2)+1) * (-1)^((n-3)+1) * ... = (-1)^(n-1) * (-1)^(n-2) * ... = (-1)^(3 + 4 + ... + (n-1)) = (-1)^(n(n-1)/2 -3) = (-1)^(n(n-1)/2 -3) * (-1)^4 = (-1)^((n^2-n+2)/2)

[Pavlissimus]

Спасибо-преспасибо за разъяснение. Дальше неспеша постараюсь сам решать такие матрицы.

[Pavlissimus]

По второй матрице всё же возник вопрос. После второго действия, получаем матрицу A_(n-1), в которой за исключением обратной диагонали(-2,-1,0,1,2...n-4), все элементы равны -2(в том числе и в новом последнем столбце). Но тогда, после третьего действия, все элементы вне обратной диагонали будут равны -4.(В самой диагонали от-4 до n-6). Если столбцы ОТНЯТЬ, то получится, что все элементы, А_(n-2) кроме обратной диагонали равны нулю а обратная диагональ от 1 до n+2, что вроде как верно ... Я что-то перепутал? Вроде как больше, чем по формуле, -1 за определитель не выносили.
P.S. Re: "А теперь про знак АНТИДИАГОЛЬНОЙ матрицы" Очяпатку допустили.

[Pavlissimus]

Я правильно расценил ваше вычисление знака, вынесенного за определитель? (-1)^(n+1)*(-1)^(n)=(-1)^(n(n+1)) а не (-1)^((n+1)+n)... просто тут вы написали, что (-1)^(n(n+1)) = 1, но это следует из выноса за определитель(-1)^(n+1) и (-1)^(n), иначе откуда вообще мог взяться такой показатель степени?

[Trotil]

Pavlissimus

Ага... Значит я запутался чуток

Да, степень (n+1)+n = 2*n + 1
(-1)^(2*n+1) = (-1)

Получается так...

[Pavlissimus]

Re: "Итого: 2*(n-2)!"
Самое интересное, что со знаком в предварительном ответе, Вы ничего не перепутали, так как за определитель матрицы мы должны были вынести не 2 а -2. (По крайней мере у меня все элементы последнего столбца после второго действия были -2). Недочёты "взаимоскомпенсировались". Вы ведь специально, я уверен.

[Trotil]

Короче, вы разобрались? )

Ответ нужный получился?

[Pavlissimus]

Да всё получилось сразу, только под сомнение ответ ставили допущенные Вами четыре очепятки, в промежуток между часом и двумя ночи, но слава богу, не один Вы в ответе со мной сошлись.

[Trotil]

Pavlissimus

Сомнения должны были разрешить табличка результатов (|A2|..|A10|)
Там уж правильно должно быть.
Если формула работает для них - значит верная....

У меня тоже ошибки могут быть, вполне нормальное явление для людей )

[mpl]

Владелец дневника видит IP-адреса пользователей, оставивших комментарии!