пожайлуста,решите примеры!:)

[Анастасия@]

Мне очень нужно решения двух уравнений.Очень срочно до 20 часов 23 февраля.
2sinx+3cosx=3
2cosx+3sinx=3

@темы: Тригонометрия

Comments

[knesinka]

решается по формуле вспомогательного угла.этот метод описан на этом сайте

math.arptek.ru/folder12903804/source/folder1516...

[Дилетант]

Анастасия@
Очень схематично это выглядит так:
вычтем из первого уравнения второе.
Получим:

cosx-sinx=0
cosx=sinx
tgx=1

Дальше сами сможете?
Может, правда, я какие-то решения потеряла... Сейчас еще посмотрю.

[Likeriya]

Дилетант, если я правильно поняла, вы решаете систему, а это больше похоже на 2 независимых уравнения.
Но может у меня глазки/мозги кривые

[Дилетант]

Likeriya
а-а!
Семен Семеныч! (((
а я ни секунды не сомневалась, что это система...
Еще думаю странная она какая-то ))))
Если так, тогда конечно...
Без вопросов...

[Дилетант]

Likeriya
Тем более, что решение-то неправильное (((
Жуть какая (((((((((

[Гость]

Нет ,это не система. а отдельные уравнения .тема тригонометрические уравнения.там что-то с tg.Я совсем запуталась

[Likeriya]

По поводу решения: подели все уравнение 2sinx+3cosx=3 например, на cosx
Тогда получишь: 2tgx+3=3/cosx
1/cosx=&radic(1+(tgx)^2)
а дольше введи замену(хотя это и необязательно) tgx=у
Тогда 2у-3 &radic(1+у^2)+3=0
Надеюсь, как это решать, понятно?
Только проверь точки пи/2, -пи/2, чтоб корни не потерять

[Дилетант]

Ну на самом-то деле, если не пороть горячку, сразу видно, что в первом уравнении решения х=Пk, а во втором — х=П/2+Пk

А в общем виде я бы не через тангенс решала, а выразила бы синус через косинус.
Получается квадратное уравнение, которое легко решить.
...
Попробовала и с помощью вспомогательного угла, но что-то числа у меня вышли не слишком красивые...

[Гость]

напишите,ПОЖАЙЛУСТА,решение в общем виде без углов.Спасибо!

[Дилетант]

Гость
дело в том, что тут примеры решаются коллективными усилиями: ВАШИМИ+нашими!
Мы помогаем, подсказываем, обучаем.
Иначе это делается не здесь и, как правило, за деньги.

Первое уравнение:

2sinx+3cosx=3

Решаем в общем виде. Делаем замену:
sinx=sqr(1-cos²x), где sqr() - квадратный корень.
Получаем уравнение относитльно cosx:

2sqr(1-cos²x)+3cosx=3

Делаем замену: y=cosx

2sqr(1-y²)+3y=3

3y переносим в правую часть.
Возводим обе части в квадрат, решаем квадратное уравнение относительно у.
Пока понятно?
Тогда сделайте это.
Если (вдруг) возникнут вопросы по дальнейшему ходу решения, будем разбираться дальше.

[Robot]

Нет, мы не имеем права делать так sinx=sqr(1-cos2x) или так 1/cosx=√(1+(tgx)^2)
Поскольку мы сразу себя ограничиваем только неотрицательными значениями sinx и cosx
Здесь или введение вспомогательного угла, как правильно сказала knesinka, или переходом к половинному углу. Второй способ сейчас напишу

[Дилетант]

Robot
сегодня не мой день )))

[Robot]

2sinx+3cosx=3=3*1
Используем формулы двойного угла
sinx=2sin(x/2)cos(x/2)
cosx=cos^2(x/2)-sin^2(x/2)
и основное тригонометрическое тождество
1=cos^2(x/2)+sin^2(x/2)

Тогда подставляя, получаем
2*2*sin(x/2)cos(x/2)+3(cos^2(x/2)-sin^2(x/2))=3(cos^2(x/2)+sin^2(x/2))
4sin(x/2)cos(x/2)-6sin^2(x/2)=0 Выносим sin(x/2)
sin(x/2)(2cos(x/2)-3sin(x/2))=0
sin(x/2)=0 или 2cos(x/2)-3sin(x/2)=0 (второе уравнение сводится после деления на cos(x/2) к tg(x/2)=2/3)
Остается решить простейшие тригонометические уравнения
sin(x/2)=0 <=>x/2=pi*n <=> x=2*pi*n
tg(x/2)=2/3 <=> x=2arctg(2/3)+2*pi*n

[Дилетант]

Robot
Гениально! )))
Здорово!

[Robot]

Вычисления, конечно, надо проверять
Второе уравнение так же
Дилетант
Да ответы может быть даже и совпадут. просто опасно, могут потеряться решения
---
И еще ответы по формуле вспомогательного угла или сведением к половинному по виду будут не совпадать: в первом случае выражается через синус/косинус, а во втором - тангенс

[Анастасия@]

ЧТО ОЗНАЧАЕТ* И <?

[Dieter Zerium]

А через тангенс половинного аргумента можно?
всё-таки, универсальная тригонометрическая замена)

[Robot]

Дилетант

[Robot]

Анастасия@
* - знак умножения
^ - знак возведения в степень
sin^2(x/2) - синус в квадрате от х/2
<=> равносильно -это вспомогательный знак, можно на него не обращать внимание
3=3*1 делается для того, чтобы заменить 1 по основному тригонометрическому тождеству

[Анастасия@]

Robot А КАК СО ВТОРЫМ СПРАВИТЬСЯ?

[Robot]

Dieter Zerium
Нельзя (точнее можно, но с дополнительными действиями)
Дело в том, что область определения исходного уравнения : х- любое действит. число
tg(x/2) определен не при всех х: х не равно pi+2*pi*k
Поэтому при введении подстановки о.о. сужается и возможна потеря решения.
Если мы эту опасность осознаем, то использовать подстановку можно. Но надо обязательно проверить - не потеряли ли мы решение х = pi+2*pi*k. Для этого его надо подставить в исходное уравнение.

[Dieter Zerium]

Robot
ясно)
так мы вроде же всегда когда делаем такую замену, не забываем про эту оговорку - поэтому я думаю, что это как раз тот случай, когда одним из вариантов будет универсальная тригонометрическая замена))

[Robot]

Анастасия@
Со вторым точн0 также

Заменяй в уравнении 2cosx+3sinx=3 число 3 на 3*1 и подставляй
вместо sinx=2sin(x/2)cos(x/2)
вместо cosx=cos^2(x/2)-sin^2(x/2)
вместо 1=cos^2(x/2)+sin^2(x/2)
Раскрываешь скобки, приводишь подобные и т.д.
Делай проверим.
По образцу ты по идее должна сделать
Ты в первой задаче все поняла?

[Robot]

Во второй задаче выноситься общий множитель не будет
2(cos^2(x/2)-sin^2(x/2))+3*2sin(x/2)cos(x/2)=3(cos^2(x/2)+sin^2(x/2))
5sin^2(x/2)-6sin(x/2)cos(x/2)+cos^2(x/2)=0
Делим на cos^2(x/2)
5tg^2(x/2)-6tg(x/2)+1=0
Ввводим замену t=tg(x/2)
Решаем квадратное уравнение, возвращаемся к тангенсу
---
Ты в условии уверена? Посмотри, может другие коэффициенты или правая часть

[Robot]

Dieter Zerium
Школьники не всегда о потере корня помнят
Анастасия@
можешь воспользоваться идеей Dieter Zerium

[Robot]

Анастасия@
Я там в решении зад 2 сначала вместо + написала минус -
Сейчас исправила

[mpl]

Владелец дневника видит IP-адреса пользователей, оставивших комментарии!