производная и чуть физики

[Natalija]

srok do voskresenija ve4era.

Дана усечённая регулярная 4-ёх угольная пирамида, основания которой 1 и 2 дециметра. Пирамида поставлена меньшим основанием вниз и имеет дно снизу. Боковое ребро с большим основанием образует угол 60 градусов. Каждую секунду втекает 1 литр воды.

С какой скоростью увеличивается уровень воды в пирамиде?
С какой скоростью увеличивается уровень воды в пирамиде в момент времени, когда заполнено уже половина пирамиды?

помогите пожалуйста

@темы: Задачи на экстремум, Производная

Comments

[Robot]

Своеобразно как-то..
Я таких способов , чтобы dV/dh*dh/dt ранее не встречала

[Trotil]

Я таких способов , чтобы dV/dh*dh/dt ранее не встречала

Да неужели?
Вот ты, когда сложную производную находишь, что делаешь?

[Robot]

Я про задачу говорю)
Не встречала задач на экстремумы, решаемых вот так))

[Trotil]

Не встречала задач на экстремумы, решаемых вот так))

Где ты в условии задачи видишь экстремумы?

[Robot]

Нету)
просто в теме написано - задачи на экстремум....

А еще

[Trotil]

Сурово ты восприняла все это
Проще надо

Мне вот интересно, что скажет Natalija про решение...

[Robot]

Я всегда сурово все воспринимаю, что меня касается - пора бы привыкнуть
Natalija пока не поняла, почему PT=1+2h/sqrt(3)
Без этого далее двигаться трудно)

[Robot]

А я, кстати, долго врубалось, почему это трансформировалось в 1+(2/3)*h*sqrt(3)
Совсем туплю)

[Trotil]

Я всегда сурово все воспринимаю, что меня касается - пора бы привыкнуть

А тебе бы пора привыкнуть, что у меня в мыслях нет тебя обидеть как-то или расстроить
Ни в каких формах

[Trotil]

Совсем туплю)

В таких случаях говорят - утро вечера мудренее

[Robot]

Trotil
А тебе бы пора привыкнуть, что у меня в мыслях нет тебя обидеть как-то или расстроить
Я это знаю

[Natalija]

Trotil,
вроде со всем разобралась, только немогу понять это #Объем воды высотой h равен .......... (после упрощений и раскрытия скобок)# . Что надо в формулу обема подставить vmesto S1 и S2?

[Trotil]

Что надо в формулу обема подставить vmesto S1 и S2?

Площади нижнего и верхнего оснований....

Сторона нижнего основания равна 1.
Сторона верхнего - 1 + 2h/sqrt(3)

Площадь - это в квадрате )

[Natalija]

ага, всё так и получается.


было 2 вопроса:

может на первый надо отвечать как относение V/h, а на второй через производную и как основания брать BC (h) и QR (h/2). иначе мне кажется нет смысла во втором вопросе указывать "в момент времени"

[Natalija]

ведь именно скорость в момент времени находится через производную.

[Trotil]

Я находил скорость от уровня. потому как в пункте 2 нужно необходимый уровень подставить..

[Natalija]

да, я понимаю что ты делал .
Я просто при условии что заполнено половина пирамиды предлагаю брать другие основания BC (h) и QR (h/2).

и решать также

[Robot]

Natalija
Но ведь речь идет о половине заполнения конкретной пирамиды (данной, с высотой sqrt(3)/2)

[Natalija]

вроде всё понимаю, только неполучается сформулировать ответы на вопросы.

на 1 - ответом может служить график Trotila
а на 2- выражение dh/dt

или?

[Robot]

На 1 - ответ
+ график
На 2 -При h/2= AE/2 = sqrt(3)/4 скорость равна 4/9 (если подставить и подсчитать)(дм в сек размерность такая наверное)

[Robot]

dh/dt- скорость изменения уровня, то есть приращение уровня за единицу времени (по формуле она зависит от высоты уровня h)
Если половина бака заполнена, то есть высота равна h= sqrt(3)/4, то получаем конкретное значение скорости

[Robot]

Trotil
Я так все понимаю?

[Trotil]

Вообще-то скорость принято записывать от времени. Попробуем ее найти.

Прежде всего заметим, что dV/dt=1 или V=t+C
Возъмем С=0, т.e. вода начала литься в момент времени t=0

V(t) = t;
h(t) можно искать в виде h(v(t)), то есть найти h(V), а затем вместо V подставить t.

V(h) мы нашли:

Теперь найдем обратную функцию к ней.

1) Умножим выражение на 18 и прибавим 3*sqrt(3):

Справа получился куб выражения:

Извлекем куб с каждой части и оставим справа h:
( там вместо y надо написать V)

Это окончательное выражение для h(V).

h(t) = тоже самое, только вместо "y" написать "t"

То есть h(V) = h(V(t)) = h(t).

[Trotil]

Можно проверить выражение.

Можно подсчитать, что полный объем бака: (7/6)*sqrt(3), высота sqrt(3)/2.

И если подставить: y=(7/6)*sqrt(3), то h будет равна sqrt(3)/2.

Осталось найти производную по времени dh/dt от h(t). Но это сделать совсем несложно, а мне картинку делать влом )

И проверка N2 (показывает связь между скоростью через h и через t): если мы подставим в формулу производной по t значение t = (19/48) * sqrt(3) (это объем воды с высотой sqrt(3)/4 = AE/2)

Производная будет равна те же 4/9, как и тогда, когда мы считали ее через h!

Потому что мы считали одну и ту же величину (dh/dt), только в первый раз мы ее выразили через h, в другой - через t. Через t ее выражать правильней (наверное). Значения этой величины будут одинаковыми в одинаковые моменты времени.

Подсчитайте например, какая скорость будет на самой вершине бака. И через h, и через t получится одно и тоже довольно простое значение.

[Natalija]

Trotil
oгромное спасибо и тебе и Robotu за помощь ! Без вас я б не справилась
Вроде со всем разобралась , осталосй теперь только всо оформить в кучку.

[Trotil]

Последний штрих

(что-то мне самому понравилась эта задача)

Взаимосвязь dh/dt в разной системе координат графически:



в нижней части - dh/dt от h
в левом верхнем углу dh/dt от t
в правом верхнем углу - V(h) - переход от одной системы координат к другой.

По линиям связи наглядно показано, что значения одни и те же.
Выбраны значения скорости 0.7, 0.4, 0.3.

Собственно мы расчетами показали, но графиком нагляднее