Геометрия

[Seilamend]

MZ
Пожалуйста, помогите решить! 9 класс, до вторника.
`TZ`
1. В треугольнике АВС АВ:ВС:АС=6:3:5; L-середина АВ; О-центр вписанной и описанной в треугольник окружности. Прямая LO пересекает сторону BC в точке K. Найдите ВК:КС.
2. Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию равен `root(4)(3)*(sqrt(3)-1)`. Найдите площадь трапеции, если ее острый угол равен 60.
3. Из точки D, находящейся на стороне Вс треугольника АВС, параллельно сторонам АВ и АС проведены прямые, которые эти стороны пересекают в точках Р и Е. Площадь треугольника EDC равна 4, а площадь параллелограмма AFDE равна 12. Найдите площадь треугольника АВС.

[[/TZ]]
Чертежи к №2 и №3 в комментариях.
Заранее премного благодарен.

@темы: Планиметрия

Comments

[Robot]

Хорошо бы, еcли бы привели чертежи с обозначениями хотя бы к задачам 1 и 3, чтобы легче было объяснить решение
Делать же 4 чертежа, наверное, не всякий Решатель захочет

[Хранитель печати]

так. А куда делась задача с окружностью? Вы уж определитесь, что вам нужно

[Seilamend]

Хранитель печати
Извините, пожалуйста. Это я случайно ту задачу написал.

[Seilamend]

Чертеж №2

[Seilamend]

Чертеж №3

[Trotil]

N3.

H - высота большого тр-ка
h - высота маленького, с площадью=4

Обозначим AC=x*EC, AE=AC-EC=EC(x-1)

S= 1/2 * H*AC = 1/2 * (x*h) * (x*EC) = 4 * x^2.

С другой стороны S = 1/2 * AE * (H-h) + 12 + 4 = 1/2 * EC(x-1) * h(x-1) + 16 = 4(x-1)^2+16 = 4 x^2

(x-1)^2+4=x^2
-2x+1+4=0
x = 2.5

S = 4 * 2.5^2 = 25.

[Trotil]

Кхм... А если взять трапецию: 16 = 1/2 * (FD+AC)*h = 1/2 AE (x-1+x) h = 4 (2x-1)
4 = 2x - 1
2x = 5
x = 2.5

Тоже самое, только быстрее.

[Trotil]

2) Опустим перпендикуляр из O на AD (обозначим точку пересечения - К)

DOK - это тр-к с углами 90, 60, 30 град. и известным катетом (=R)
=> можно найти пар-ры тр-ка, а именно KD, затем AD=KD+R

Осталось найти BC.

Опустим перпендикуляр из С на AD. Опять тр-к с углами 90, 60, 30 град и с известным катетом (=2R)

Можно найти катет длиной (AD-BC), отсюда найти ВC и площадь.

[Robot]

Trotil
А где точка О? -центр?
И что-то я в твоем решении не разобралась

AD=KD+R

- почему

[Trotil]

О - центр.
AK = R. Поэтому.

[Robot]

Можно быстрее. Высота трапеции равна 2R, остается найти полусумму оснований
Так как в трапецию можно вписать окружность, то по свойству описанного четырехугольника
AB+CD=BC+AD
АВ нам известно, АВ= 2R,
А СD можно найти так, как ты предлагаешь - опустить перпендикуляр CH из точки С на AD и рассмотреть треугольник CHD

[Robot]

AK = R. Поэтому.

Поняла

[Robot]

Trotil
Как ты считаешь - в задании 1 LO пересекает сторону Вс или ее продолжение?

[Robot]

Продолжение, а иначе там не получится прямоугольный треугольник

[Robot]

Зад1

[Robot]

Пусть АВ=6х, ВС=3х, АС=5х
Так как О -центр описанной окружности, то это точка пересечения серединных перпендикуляров
L -середина АВ, поэтому LO- серединный перпендикуляр к отрезку АВ (я точку О не рисовала, она не нужна). LB=3x
Этот серединный перпендикуляр пересекает ВС в точке К. Если бы точка К лежала на отрезке Вс, то мы получили бы прямоугольный треугольнк LBK с прямым углом L катетом LB=3x и гипотенузой ВК, причем гипотенуза была бы меньше 3х
Поэтому К лежит на продолжении ВС
По теореме косинусов из треугольникаАВС находим косинус угла В
cosB=5/9 (вроде бы)
Рассмотрим треугольник LBK, LB=3x,cosB=5/9, LB/BK=5/9=> BK=(9/5)LB=(9/5)*3x=(27/5)*x
CK=BK-BC=(27/5)*x-3x
Остается досчитать
Вычисления надо проверять

[Robot]

Непонятно, к чему дано, что О одновременно центр вписанной окружности
Может я вообще не права?

[Trotil]

Я раньше думал, что такое может быть только у равностороннего трегольника... Нет?

[Robot]

Trotil
Я тоже думала

[Robot]

Треугольник по сути тупоугольный, центр вписанной лежит внутри, описанной- вне
Ошибка в условии?

[Seilamend]

Проверил, напечатал я правильно, это из билетов, так что вряд ли там какая-то опечатка
Благодарю за помощь!

[Robot]

Seilamend
В задаче 1 условие неверно
Треугольник со сторонами 6:3:5 является тупоугольным, так как АВ^2>BC^2+AC^2
В тупоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит вне треугольника
Центр вписанной всегда лежит внутри треугольника. Они не могут совпадать!
Так что в билетах ошибка

[Гость]

Ок, буду знать)

[Ariella]

в первой задаче неправильное условие- там центр только вписанной окружности

[Robot]

Ну, тогда все решение зад 1 не такое, потому что я опиралась на О -центр описанной