Логарифмы, задание из ЕГЭ

[vice.versa]

MZ
1) Логарифмы, показат. ф-и.
2)10 класс, учительница сказала, что задание С из ЕГЭ, но что-то не вериться. Крайний срок получения ответа - примерно до 21.00 сегодняшнего дня.
3) Задание:
`TZ`
При каких значениях m уравнение имеет один единственный корень?
`2007^(2x)-6*2007^x+m^2-8m=0`
[[/TZ]]
Я его решила, но почему-то не очень уверена, проверьте, пожалуйста.

Решала так:
Чтобы уравнение имело один единственный корень, дискриминант должен быть равен нулю, тогда:
64 - 4*(2007 - 6*2007) = 0
64 - 4*2007 + 24*2007) = 0
Замена t=2007, тогда:
-4t + 24t + 64 = 0
4t - 24t -64 = 0
D = 1600
t = 8; t = -2 -не уд. условию

Тогда 2007 = 8
Ответ: log8

4) И еще одно задание из того же самого сборника. Но как решать не врубаюсь.
`TZ`
Решить уравнение: `lg^2(x^2 + 3x +3) + sqrt(x^2 - 4x - 5) = 0`
[[/TZ]]

@темы: Задачи с параметром, ЕГЭ

Comments

[Trotil]

3) Неправильно. Сейчас поясню, почему.

[Хранитель печати]

vice.versa
Рассмотрим уравнение 2007^2x-6*2007^x+m²-8m=0
Введём замену 2007^x=t
Тогда имеем:
t²-6t+m²-8m=0
Неизвестная здесь t!!!
Один корень должен быть по t.
Действительно, один корень, когда дискриминант равен нулю, т.е.
D/4=9-(m²-8m)=9-m²+8m
Решим уравнение
9-m²+8m=0
D/4=16+9=25
m1,2 = 4+-5 = 9, -1.

Не забывайте условие: при каких значениях m ! Т.е. в ответе должны быть значения m!

[vice.versa]

Ах черт) Дейсвительно, забыла условие. Спасибо, поняла.

[Sensile]

Исходное уравнение будет иметь единственное решение
1) если дискриминант квадратного уравнения t²-6t+m²-8m=0 равен 0 и при этом получается положительное значение t
2) если уравнение имеет два корня, но один из них положительный. а другой отрицательный неположительный (то есть меньше или равен 0, спасибо Хранителю печати за поправку)

[Хранитель печати]

4

[Sensile]

Зад 4
Здесь в левой части стоит сумма неотрицательных выражений (квадрат и квадратный корень), поэтому равенство нулю будет выполняться, когда каждое из слагаемых равно 0,
то есть необходимо решить систему


Или иначе
систему

[Хранитель печати]

Sensile

2) если уравнение имеет два корня, но один из них положительный. а другой отрицательный

точно. Кстати, хороший подвох =)
Для показательных вроде бы не просто отрицательный, а неположительный?
Но для ЕГЭ сложновато будет.
Получаем решение t = 3 +- sqrt (9-m²+8m)
Одно решение, если 3-sqrt (9-m²+8m)<=0
откуда 9-m²+8m>=9
m²-8m<=0
m(m-8)<=0
0<=m<=8

Тогда получим, что ответы m = -1; 9; [0;8]

[Sensile]

Для показательных вроде бы не просто отрицательный, а неположительный?

Нет, любая величина a^x>0

[Хранитель печати]

Sensile я это и имею в виду, т.е. если получаем t=0, то этот корень также отбрасываем. Поэтому интервал получаем с включением концов

[Sensile]

А поняла теперь о чем речь))
Да, один из них положительный, а другой не положительный))))

[vice.versa]

Sensile, Хранитель печати - с четвертым разобралась теперь, спасибо.
Только не поняла в 3 про отрцательный и положительный корень:

2) если уравнение имеет два корня, но один из них положительный. а другой отрицательный

о.О

[Sensile]

Но для ЕГЭ сложновато будет

Нет, это тянет на С1 и С2, в крайнем случае С3
Задания С4 и С5 в ЕГЭ сногсшибательны

[Sensile]

vice.versa
Представь, что уравнение t²-6t+m²-8m=0 имеет корнями t1=1 и t2=-3
Тогда 2007^x=1 b 2007^x=-3
Второе уравнение не имет решений и получается, что исходное уравнение имеет единственное решение

[Sensile]

Хранитель печати
А еще можно так: рассмотреть два случая
1) выяснить при каких m , один из корней =0 (m=0 и m=8 проверить, что положительный корень все же есть)
2) при каких корни квадратного уравнения имеют разные знаки t1*t2<0m^2-8m<0
(теорема Виета)

[Trotil]

Введем замену y=2007^x и посмотрим, как "работает" уравнение при различных m.

y^2-6y+(m^2-8m)=0 (2)

Допустим, что y - корень уравнения (2). Тогда мы должны найти x = log[2007](y) и этот x будет корнем первоначального уравнения.

Отсюда накладывается ограничение у>0 - не для всех y мы найдем нужный x.

Можно предложить такой алгоритм:

1) y^2-6y+(m^2-8m)=0 решить относительно y

y1,2 = 3 +- sqrt(-(m+1)(m-9))

m=-1
m=9

=> D=0, y=3, x =...

Если рассмотреть промежуток для m [-1,9] легко понять, что разница между корнями y1,2 будет расти до m=4, а затем плавно уменьшаться до нуля в точке m=9.

Кроме всего прочего, существует интервал, при котором меньший корень будет =<0. По свойству степенной функции, нельзя будет подобрать такой x, что 2007^x<=0. В этом интервале будет существовать также единственное решение x0. которое будет будет давать y2 = 2007^x0 и обращать исходное уравнение в ноль. Подобрать x1, т.ч. y1 = 2007^x1 мы не сможем в силу 2007^x1>0.

Итак: 3 - sqrt(-m^2+8m+9)<=0 => m: [0,8].

Ответ: -1, [0,8], 9.

Логарифмы считать не пришлось.

[vice.versa]

Sensile, аа поняла Спасибо.

Задания С4 и С5 в ЕГЭ сногсшибательны

, черт.

[Trotil]

ВОт вы сколько уже забабахали текста, пока я неспеша набирал ))

[Sensile]

Trotil
Да уж "бабахать" мы умеем)))